算法|4.归并排序及应用

1.归并排序算法

题意：归并排序的递归和非递归实现

解题思路：

递归实现：

预处理：数组为空或者长度小于2的直接返回
调用子过程
子过程终止条件L==R
分解成[L,mid]，[mid+1,R] ，子数组有序，合并子问题的解，全数组有序
合并使用的是双指针法，最终需要将辅助数组的值再还给原数组。

非递归实现：

注意：**当N非常接近整数最大值时，*必须加那一句if(mergeSize>N/2){ break;}不然2之后可能滚成一个负数，但是加了只是保证循环能够停止，结果可能最后一部分右组没有归并完成，但是不加很可能死循环。
主要解决的就是拆分过程：两种办法①模拟栈Stack②自底向上有序
这里主要使用第二种，模拟栈的话需要压入的参数就是左右的坐标，可以封装一个成类，针对对象操作，暂无需要，略。
还是先预处理：处理特殊情况
这里引入了步长的概念，多少步长为1组，然后组内有序（直接拷贝到原数组，不再需要辅助数组）
之后不断扩大步长，然后使用merge合并，直至全数组有序

优化的点：

这里主要是非递归实现的版本
这里合并使用的是左组和右组——我们每次需要指定左组下标和右组下标
控制左指针的边界条件:L<N
控制中间指针边界条件（左组存在）：mergeSize+L-1，M<N（不满足就是左组不够或者右组没了,不满足直接不做合并）
控制右指针的边界条件(右组存在)：R=M+mergeSize-1,右组只要有够不够都需要做合并，只不过R的值需要重新赋值判断一下去边界值和当前计算的最小值
每次重置步长之后，L的起始位置都是0

核心代码：

递归实现：

//递归实现
public static void mergeSort1(int[] arr){if(arr==null||arr.length<2){return ;}process(arr,0,arr.length-1);
}private static void process(int[] arr, int L, int R) {if(L==R){return ;}int mid=L+((R-L)>>1);process(arr,L,mid);process(arr,mid+1,R);merge(arr,L,mid,R);
}private static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {int[] help=new int[R-L+1];int index=0;int p1=L;int p2=M+1;while(p1<=M&&p2<=R){help[index++]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p1++]:arr[p2++];}while(p1<=M){help[index++]=arr[p1++];}while(p2<=R){help[index++]=arr[p2++];}for (int i = 0; i < help.length; i++) {arr[L+i]=help[i];}
}

非递归实现：

//非递归实现
public static void mergeSort2(int[] arr){if(arr==null||arr.length<2){return ;}int N=arr.length;int mergeSize=1;while(mergeSize<N){int L=0;while(L<N){int M=L+mergeSize-1;//左组不够了或者根本左组够了，但是右组没有if(M>=N){break;}int R=Math.min(M+mergeSize-1,N-1);merge(arr,L,M,R);L=R+1;}if(mergeSize>N/2){}mergeSize<<=1;}
}

测试代码：

// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;
}// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;
}// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;
}// for test
public static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();
}// for test
public static void main(String[] args) {int testTime = 500000;int maxSize = 10;int maxValue = 100;System.out.println("测试开始");for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr2 = copyArray(arr1);mergeSort1(arr1);mergeSort2(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {System.out.println("Oops!Error!");printArray(arr1);printArray(arr2);break;}}System.out.println("测试结束");
}

测试结果：

$[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-z5wiiOeG-1685098557569)(F:\typora插图\image-20230526174128752.png)]$

2.小和问题

题意：在一个数组中，一个数左边比它小的数的总和，叫该数的小和，数组中所有数的小和累加起来，叫数组小和。给定一个数组arr，求数组小和。

暴力方法：O(N^2)
归并排序应用：O(NlogN)

解题思路：

注意：ans+=arr[p1]<arr[p2]?(R-p2+1)*arr[p1]:0;在复制之前求
合并过程中计算小和
小和产生规则：左组拷贝产生小和，右组拷贝不产生小和，相等先拷贝右组：小和是左边比当前数小的总和。要的是原数组中的小和。
总体来说，是一个规则的转换：左边有多少数比当前数小转变成右边有多少数比当前数要大。
指针不回退技巧：单调的，已经排好序了

对数器：

穷举遍历

核心代码：

public static int smallSum(int[] arr){if(arr==null||arr.length<2){return 0;}return process(arr,0,arr.length-1);
}private static int process(int[] arr, int L, int R) {if(L==R){return 0;}int mid=L+((R-L)>>1);return process(arr,L,mid)+process(arr,mid+1,R)+merge(arr,L,mid,R);
}private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {int ans=0;int[] help=new int[R-L+1];int index=0;int p1=L;int p2=M+1;while(p1<=M&&p2<=R){ans+=arr[p1]<arr[p2]?(R-p2+1)*arr[p1]:0;help[index++]=arr[p1]<arr[p2]?arr[p1++]:arr[p2++];}while(p1<=M){help[index++]=arr[p1++];}while(p2<=R){help[index++]=arr[p2++];}for (int i = 0; i < help.length; i++) {arr[L+i]=help[i];}return ans;
}

测试代码：

// for test
public static int test(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int res = 0;for (int i = 1; i < arr.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {res += arr[j] < arr[i] ? arr[j] : 0;}}return res;
}

非特殊情况，不再放生成随机数组代码，只放对数器代码。

$[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-87ikTikr-1685098557570)(F:\typora插图\image-20230526175839813.png)]$

3.逆序对个数

题意：在一个数组中，任何一个前面的数a，和任何一个后面的数b，如果(a,b)是降序的，就称为降序对。给定一个数组arr，求数组的降序对总数量。

暴力方法：O(N^2)
归并排序应用：O（NlogN）

解题思路：

注意：ans+=arr[p1]>arr[p2]?(p2-M):0;help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];下边拷贝规则相等先右边，上边的顾好！！！！！结合例子反复验算谨慎！！！！！不要再反复改了！醉了…
转换指标：从左向右，当左边比右边大的个数，转换成从右向左，右边比当前左数小的个数
计数规则：左边产生，右边不产生，相等的先拷贝左边的
对应的，归并的顺序改变一下

核心代码：

public static int reversePairNumber(int[] arr){if(arr==null||arr.length<2){return 0;}return process(arr,0,arr.length-1);
}private static int process(int[] arr, int L, int R) {if(L==R){return 0;}int mid=L+((R-L)>>1);return process(arr,L,mid)+process(arr,mid+1,R)+merge(arr,L,mid,R);
}private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {int ans=0;int[] help=new int[R-L+1];int index=help.length-1;int p1=M;int p2=R;while(p1>=L&&p2>=M+1){ans+=arr[p1]>arr[p2]?(p2-M):0;help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];}while(p1>=L){help[index--]=arr[p1--];}while(p2>=M+1){help[index--]=arr[p2--];}for (int i = 0; i < help.length; i++) {arr[L+i]=help[i];}return ans;
}

测试代码：

// for test
public static int test(int[] arr) {int ans = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {if (arr[i] > arr[j]) {ans++;}}}return ans;
}

测试结果：

$[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YrJznnb5-1685098557571)(F:\typora插图\image-20230526181737428.png)]$

4.大于其2倍右侧数的个数

题意：在一个数组中，对于任何一个数num，求有多少个(后面的数*2)依然<num，返回总个数

暴力方法：O(N^2)
归并排序方法：O(NlogN)

解题思路：

这部分判断逻辑需要单独判断，否则会污染数据或者越界，不容易处理。
本质上来说，归并排序从左向右从右向左均可

核心代码：

public static int reversePairs(int[] arr){if(arr==null||arr.length<2){return 0;}return process(arr,0,arr.length-1);
}private static int process(int[] arr, int L, int R) {if(L==R){return 0;}int mid=L+((R-L)>>1);return process(arr,L,mid)+process(arr,mid+1,R)+merge(arr,L,mid,R);
}private static int merge(int[] arr, int L, int M, int R) {int ans=0;//[L,M],[M+1,R]//符合要求的是[M+1,p)int p=M+1;//遍历左组for (int i = L; i <= M; i++) {while(p<=R&&(long)arr[i]>(long)arr[p]*2){p++;}ans+=p-M-1;}int[] help=new int[R-L+1];int index=help.length-1;int p1=M;int p2=R;while(p1>=L&&p2>=M+1){help[index--]=arr[p1]<=arr[p2]?arr[p2--]:arr[p1--];}while(p1>=L){help[index--]=arr[p1--];}while(p2>=M+1){help[index--]=arr[p2--];}for (int i = 0; i < help.length; i++) {arr[L+i]=help[i];}return ans;
}

测试代码：

public static int test(int[] arr) {int ans = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {if (arr[i] > (arr[j] << 1)) {ans++;}}}return ans;
}