前置知识：积分第一中值定理
习题1
求证： lim n → + ∞ ∫ 0 π 2 sin n x d x = 0 \lim\limits_{n\to +\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=0 n→+∞lim∫02πsinnxdx=0
证明：
\qquad 令 δ → 0 + \delta\to 0^+ δ→0+，则
∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 − δ sin n x d x + ∫ π 2 − δ π 2 sin n x d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}-\delta}\sin^nxdx+\int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx ∫02πsinnxdx=∫02π−δsinnxdx+∫2π−δ2πsinnxdx
\qquad 由积分第一中值定理可得， ∃ ξ 1 ∈ [ 0 , π 2 − δ ] \exist\xi_1\in[0,\dfrac{\pi}{2}-\delta] ∃ξ1∈[0,2π−δ]和 ξ 2 ∈ [ π 2 − δ , π 2 ] \xi_2\in[\dfrac{\pi}{2}-\delta,\dfrac{\pi}{2}] ξ2∈[2π−δ,2π]，使得
∣ ∫ 0 π 2 − δ sin n x d x ∣ ≤ ∣ ( π 2 − δ ) ⋅ sin n ξ 1 ∣ |\int_0^{\frac{\pi}{2}-\delta}\sin^nxdx|\leq |(\dfrac{\pi}{2}-\delta)\cdot \sin^n\xi_1| ∣∫02π−δsinnxdx∣≤∣(2π−δ)⋅sinnξ1∣
∣ ∫ π 2 − δ π 2 sin n x d x ∣ ≤ ∣ δ ⋅ sin n ξ 2 ∣ ≤ δ |\int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx|\leq|\delta\cdot\sin^n\xi_2|\leq\delta ∣∫2π−δ2πsinnxdx∣≤∣δ⋅sinnξ2∣≤δ
\qquad 当 n → + ∞ n\to +\infty n→+∞时， sin n ξ 1 → 0 \sin^n\xi_1\to 0 sinnξ1→0，则 ∣ ( π 2 − δ ) ⋅ sin n ξ 1 ∣ → 0 |(\dfrac{\pi}{2}-\delta)\cdot \sin^n\xi_1|\to 0 ∣(2π−δ)⋅sinnξ1∣→0
\qquad 得证 lim n → + ∞ ∫ 0 π 2 sin n x d x = 0 \lim\limits_{n\to +\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=0 n→+∞lim∫02πsinnxdx=0
习题2
求证： lim n → + ∞ ∫ 0 1 x n 1 + x d x = 0 \lim\limits_{n\to +\infty}\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}dx=0 n→+∞lim∫011+xxndx=0
证明：
\qquad 令 δ → 0 + \delta\to 0^+ δ→0+，则
∫ 0 1 x n 1 + x d x = ∫ 0 1 − δ x n 1 + x d x + ∫ 1 − δ 1 x n 1 + x d x \int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}dx=\int_0^{1-\delta}\dfrac{x^n}{1+x}dx+\int_{1-\delta}^{1}\dfrac{x^n}{1+x}dx ∫011+xxndx=∫01−δ1+xxndx+∫1−δ11+xxndx
\qquad 由积分第一中值定理可得， ∃ ξ 1 ∈ [ 0 , 1 − δ ] \exist\xi_1\in[0,1-\delta] ∃ξ1∈[0,1−δ]和 ξ 2 ∈ [ 1 − δ , 1 ] \xi_2\in[1-\delta,1] ξ2∈[1−δ,1]，使得
∣ ∫ 0 1 − δ x n 1 + x d x ∣ ≤ ∣ ( 1 − δ ) ⋅ ξ 1 n 1 + ξ 1 ∣ |\int_0^{1-\delta}\dfrac{x^n}{1+x}dx|\leq |(1-\delta)\cdot\dfrac{\xi_1^n}{1+\xi_1}| ∣∫01−δ1+xxndx∣≤∣(1−δ)⋅1+ξ1ξ1n∣
∣ ∫ 1 − δ 1 x n 1 + x d x ∣ ≤ ∣ δ ⋅ ξ 2 n 1 + ξ 2 ∣ ≤ 1 2 δ |\int_{1-\delta}^{1}\dfrac{x^n}{1+x}dx|\leq|\delta\cdot\dfrac{\xi_2^n}{1+\xi_2}|\leq \dfrac12\delta ∣∫1−δ11+xxndx∣≤∣δ⋅1+ξ2ξ2n∣≤21δ
\qquad 当 n → + ∞ n\to +\infty n→+∞时， ξ 1 n 1 + ξ 1 → 0 \dfrac{\xi_1^n}{1+\xi_1}\to 0 1+ξ1ξ1n→0，则 ∣ ( 1 − δ ) ⋅ ξ 1 n 1 + ξ 1 ∣ → 0 |(1-\delta)\cdot\dfrac{\xi_1^n}{1+\xi_1}|\to 0 ∣(1−δ)⋅1+ξ1ξ1n∣→0
\qquad 得证 lim n → + ∞ ∫ 0 1 x n 1 + x d x = 0 \lim\limits_{n\to +\infty}\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}dx=0 n→+∞lim∫011+xxndx=0
总结
对于这些问题，不能直接用积分第一中值定理，要用一些技巧，比如分段解决。
