欧氏距离变换

edt，即Euclidean distance transform.，欧氏距离变换。对于一个二值矩阵$A$，元素$a\in A$，则$\mathrm{edt}(a)$为$a$到矩阵中0元素的最短距离。假设现有一矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

记$B=\mathrm{edt}(a)$，则

• 对于$A_{11}$而言，由于其本身为0，则对应的$B_{11}=0$
• $A_{12}=1$，距离$A_{12}$最近的0在$A_{11}$和$A_{22}$处，相隔均为1，所以$B_{12}=1$
• $A_{13}=1$，距离$A_{13}$最近的0在$A_{22}$处，由于在左下角，故距离为$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，即$B_{12}=\sqrt{2}$

以此类推，得到

$$B=\left[\begin{array}{ccccc}0.& 1.& \sqrt{2}& \sqrt{5}& 3.\\ 0.& 0.& 1.& 2.& 2.\\ 0.& 1.& \sqrt{2}& \sqrt{2}& 1.\\ 0.& 1.& \sqrt{2}& 1.& 0.\\ 0.& 1.& 1.& 0.& 0.\end{array}\right]$$

distance_transform_edt

在scipy.ndimage中，distance_transform_edt可计算欧式变换，

from scipy import ndimage
import numpy as np
a = np.array(([0,1,1,1,1],[0,0,1,1,1],[0,1,1,1,1],[0,1,1,1,0],[0,1,1,0,0]))ndimage.distance_transform_edt(a)
'''
array([[0.        , 1.        , 1.41421356, 2.23606798, 3.        ],[0.        , 0.        , 1.        , 2.        , 2.        ],[0.        , 1.        , 1.41421356, 1.41421356, 1.        ],[0.        , 1.        , 1.41421356, 1.        , 0.        ],[0.        , 1.        , 1.        , 0.        , 0.        ]])
'''

其完整定义为

distance_transform_edt(input, sampling=None, return_distances=True, return_indices=False, distances=None, indices=None)

其参数含义为

• sampling 网格间距，相当于$B$乘以一个系数
• return_distances 为True时返回距离矩阵
• return_indices 为True时返回特征变换矩阵
• distances, indices 用于指针传参的数组，不用管

其他距离变换函数

scipy.ndimage除了edt之外，还提供了另外两个距离变换函数

istance_transform_bf(input, metric='euclidean', sampling=None, return_distances=True, return_indices=False, distances=None, indices=None)
distance_transform_cdt(input, metric='chessboard', return_distances=True, return_indices=False, distances=None, indices=None)

二者和edt相比，多了个metric函数，其中bf可选三种euclidean, taxicab, chessboard，cdt无euclidean选项。二者其他区别主要是采用的算法不同。

这三种不同的metric在计算距离时采用的方案不同

• euclidean 即前面提到的欧几里得距离
• chessboard 会将对角线的距离算作1，而非$\sqrt{2}$
• taxicab 类似于曼哈顿距离，不处理对角线

二者差异如下

>>> ndimage.distance_transform_bf(a,'chessboard')
array([[0, 1, 1, 2, 3],[0, 0, 1, 2, 2],[0, 1, 1, 1, 1],[0, 1, 1, 1, 0],[0, 1, 1, 0, 0]], dtype=uint32)
>>> ndimage.distance_transform_bf(a,'taxicab')
array([[0, 1, 2, 3, 3],[0, 0, 1, 2, 2],[0, 1, 2, 2, 1],[0, 1, 2, 1, 0],[0, 1, 1, 0, 0]], dtype=uint32)
>>>