1. 定义

给定欧氏空间中的两点集 A = { a 1 , a 2 , . . . } \rm A=\left \{a_1, a_2,... \right\} A={a1​,a2​,...} 和 B = { b 1 , b 2 , . . . } \rm B=\left \{b_1, b_2,... \right\} B={b1​,b2​,...} ，$\mathrm{Hausdorff}$ 距离就是用来衡量这两个集合间的距离，定义其公式为：
$$\mathrm{H}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)=\max \left[h(A,B),h(B,A)\right]$$
其中，$$\mathrm{h}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)=\underset{\mathrm{a}\in \mathrm{A}}{\max }\underset{\mathrm{b}\in \mathrm{B}}{\min }\Vert \mathrm{a}-\mathrm{b}\Vert$$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{B},\mathrm{A}\right)=\underset{\mathrm{b}\in \mathrm{B}}{\max }\underset{\mathrm{a}\in \mathrm{A}}{\min }\Vert \mathrm{b}-\mathrm{a}\Vert$$ $\mathrm{H}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)$ 称为双向 $\mathrm{Hausdorff}$距离，$\mathrm{h}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)$称为从集合$\mathrm{A}$到集合$\mathrm{B}$的单向$\mathrm{Hausdorff}$距离，同理，$\mathrm{h}\left(\mathrm{B},\mathrm{A}\right)$称为从集合$\mathrm{B}$到集合$\mathrm{A}$的单向$\mathrm{Hausdorff}$距离。

2. 通过例子理解该定义

详见该篇blog中的例子：
https://blog.csdn.net/maizousidemao/article/details/105030333?ydreferer=aHR0cHM6Ly9ibG9nLnNjaWVuY2VuZXQuY24v

理解$\mathrm{Hausdorff}$衡量距离的计算逻辑后，在使用时，可以直接用Python包👇🏻
（看完例子还不懂怎么计算的，看下面的解释）

3. 用Python计算$\mathrm{Hausdorff}$距离

• 导入第三方包👇🏻

from scipy.spatial.distance import directed_hausdorff
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances

• 官方给出的算例，给定两个集合$\mathrm{u}$和$\mathrm{v}$👇🏻

u = np.array([(1.0, 0.0),(0.0, 1.0),(-1.0, 0.0),(0.0, -1.0)])
v = np.array([(2.0, 0.0),(0.0, 2.0),(-2.0, 0.0),(0.0, -4.0)])

• 调用函数directed_hausdorff(u,v)，求得单向$\mathrm{Hausdorff}$距离，并计算双向$\mathrm{Hausdorff}$距离👇🏻

directed_hausdorff(u,v)  # 计算u到v的单向Hausdorff距离
--->输出为：(2.23606797749979, 3, 0)directed_hausdorff(v,u)  # 计算v到u的单向Hausdorff距离
--->输出为：(3.0, 3, 3)hausdorff_distance = max(directed_hausdorff(u,v)[0],directed_hausdorff(v,u)[0]) #  计算u与v之间的双向Hausdorff距离
print(hausdorff_distance)
--->输出为：(3.0)

4. 结果解释与理解

（1） 关于directed_hausdorff(u,v)输出值的解释。

• \;\;\; 结果$(2.236,3,0)$中，第1个值指$\mathrm{u}$到$\mathrm{v}$的单向$\mathrm{Hausdorff}$距离为2.236，第2和3个值指的是，产生距离为2.236的两个数据点分别在集合$\mathrm{u}$和集合$\mathrm{v}$中的位置，如$(3,0)$指的是${\mathrm{u}}_3=[0,-1]$和${\mathrm{v}}_0=[2,0]$。
• \;\;\; 结果$(3.0,3,3)$同理，第1个值指$\mathrm{v}$到$\mathrm{u}$的单向$\mathrm{Hausdorff}$距离为3，第2和3个值指的是，产生距离为3的两个数据点分别在集合$\mathrm{u}$和集合$\mathrm{v}$中的位置，如$(3,0)$指的是${\mathrm{v}}_3=[0,-4]$和${\mathrm{u}}_3=[0,-1]$。

（2）手算该过程，直观地解释。

（3） 辅助理解。计算$\mathrm{u}$与$\mathrm{v}$、$\mathrm{v}$和$\mathrm{u}$之间的欧氏距离，更容易了解该过程。下述结果👇🏻一一对应上图中的手算结果。

euclidean_distances(u,v)  # 
---->输出为：
array([[1.        , 2.23606798, 3.        , 4.12310563],[2.23606798, 1.        , 2.23606798, 5.        ],[3.        , 2.23606798, 1.        , 4.12310563],[2.23606798, 3.        , 2.23606798, 3.        ]])euclidean_distances(v,u)
--->输出为：
array([[1.        , 2.23606798, 3.        , 2.23606798],[2.23606798, 1.        , 2.23606798, 3.        ],[3.        , 2.23606798, 1.        , 2.23606798],[4.12310563, 5.        , 4.12310563, 3.        ]])