根据等差数列求和公式，我们知道 $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n-1)}{2}$。那么 $\sum _{i=1}^n{i}^2$ 的公式是什么呢？

平方和公式：

$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

证明考虑数学归纳法。

对于 $n=1$ 和 $n=0$，原式显然成立。

假设对于 $n-1$ 的公式已经得到证明，考虑对于 $n(n>1)$：

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{i}^2=n^2+\sum _{i=1}^{n-1}{i}^2 \\ =n^2+\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ =\frac{6n^2+2n^3-3n^2+n}{6} \\ =\frac{2n^3+3n^2+n}{6} \end{gathered}$$

考虑对分子因式分解。

$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

于是得证。

本来 $O(n)$ 的求值，直接变成了 $O(1)$。在某些时候，比如杜教筛可能有 $O(\sqrt{n})$ 的整除分块，这时候这一个小公式就很关键了。

发现二次方和一次方求和的公式很像。

继续探究：立方和公式。

百度发现，立方和公式长这样：

$$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$$

证明同样考虑数学归纳法，人力问题，不再展开。

到这里发现三次方与前两个公式的共同处变少了，内在的规律比较复杂。

再给出四次方和公式。

$$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$

由于作者只是一个初三蒟蒻，没有实力，也没有精力和时间去探索更加高阶的 $m$ 次方求和公式（即 $\sum _{i=1}^n{i}^m$），其中的复杂度难以想象，于是就此打住。

给出探究 $m$ 次方的一种可能思路：使用生成函数。