1.最短路径定义及性质

有了加权有向图之后，我们立刻就能联想到实际生活中的使用场景，例如在一副地图中，找到顶点a与地点b之间的路径，这条路径可以是距离最短，也可以是时间最短，也可以是费用最小等，如果我们把 距离/时间/费用看做是成本，那么就需要找到地点a和地点b之间成本最小的路径，也就是我们接下来要解决的最短路径问题。

定义：
在一副加权有向图中，从顶点s到顶点t的最短路径是所有从顶点s到顶点t的路径中总权重最小的那条路径
性质：
1.路径具有方向性；
2.权重不一定等价于距离。权重可以是距离、时间、花费等内容，权重最小指的是成本最低
3.只考虑连通图。一副图中并不是所有的顶点都是可达的，如果s和t不可达，那么它们之间也就不存在最短路径，为了简化问题，这里只考虑连通图。
4.最短路径不一定是唯一的。从一个顶点到达另外一个顶点的权重最小的路径可能会有很多条，这里只需要找出一条即可。
最短路径树：
给定一副加权有向图和一个顶点s，以s为起点的一棵最短路径树是图的一副子图，它包含顶点s以及从s可达的所有顶点。这棵有向树的根结点为s，树的每条路径都是有向图中的一条最短路径。

2.最短路径树API设计

计算最短路径树的经典算法是dijstra算法

类名	DijkstraSP
构造方法	public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s)：根据一副加权有向图G和顶点s，创建一个计算顶点为s的最短路径树对象
成员方法	1.private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v)：松弛图G中的顶点v 2.public double distTo(int v):获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重 3.public boolean hasPathTo(int v):判断从顶点s到顶点v是否可达 4.public Queue pathTo(int v):查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边
成员变量	1.private DirectedEdge[] edgeTo: 索引代表顶点，值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边 2.private double[] distTo: 索引代表顶点，值从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重 3.private IndexMinPriorityQueue pq:存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边

3.松弛技术

松弛这个词来源于生活：一条橡皮筋沿着两个顶点的某条路径紧紧展开，如果这两个顶点之间的路径不止一条，还有存在更短的路径，那么把皮筋转移到更短的路径上，皮筋就可以放松了。松弛这种简单的原理刚好可以用来计算最短路径树。
在我们的API中，需要用到两个成员变量edgeTo和distTo，分别存储边和权重。一开始给定一幅图G和顶点s，我们只知道图的边以及这些边的权重，其他的一无所知，此时初始化顶点s到顶点s的最短路径的总权重disto[s]=0；顶点s到其他顶点的总权重默认为无穷大，随着算法的执行，不断的使用松弛技术处理图的边和顶点，并按一定的条件更新edgeTo和distTo中的数据，最终就可以得到最短路劲树。
边的松弛：
放松边v->w意味着检查从s到w的最短路径是否先从s到v，然后再从v到w？
如果是，则v-w这条边需要加入到最短路径树中，更新edgeTo和distTo中的内容：edgeTo[w]=表示v->w这条边的
DirectedEdge对象，distTo[w]=distTo[v]+v->w这条边的权重；
如果不是，则忽略v->w这条边。

顶点的松弛：
顶点的松弛是基于边的松弛完成的，只需要把某个顶点指出的所有边松弛，那么该顶点就松弛完毕。例如要松弛顶
点v，只需要遍历v的邻接表，把每一条边都松弛，那么顶点v就松弛了。

4.Dijstra算法实现

Disjstra算法的实现和Prim算法很类似，构造最短路径树的每一步都是向这棵树中添加一条新的边，而这条新的边是有效横切边pq队列中的权重最小的边。

public class DijkstraSP {//索引代表顶点，值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边private DirectedEdge[] edgeTo;//索引代表顶点，值从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重private double[] distTo;//存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边private IndexMinPriorityQueue<Double> pq;//根据一副加权有向图G和顶点s，创建一个计算顶点为s的最短路径树对象public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s){//创建一个和图的顶点数一样大小的DirectedEdge数组，表示边this.edgeTo = new DirectedEdge[G.V()];//创建一个和图的顶点数一样大小的double数组，表示权重，并且初始化数组中的内容为无穷大，无穷大即表示不存在这样的边this.distTo = new double[G.V()];for (int i = 0; i < distTo.length; i++) {distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;}//创建一个和图的顶点数一样大小的索引优先队列，存储有效横切边this.pq = new IndexMinPriorityQueue<>(G.V());//默认让顶点s进入树中，但s顶点目前没有与树中其他的顶点相连接，因此初始化distTo[s]=0.0distTo[s] = 0.0;//使用顶点s和权重0.0初始化pqpq.insert(s, 0.0);//遍历有效边队列while (!pq.isEmpty()) {//松弛图G中的顶点relax(G, pq.delMin());}}//松弛图G中的顶点vprivate void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v){//松弛顶点v就是松弛顶点v邻接表中的每一条边，遍历邻接表for (DirectedEdge e : G.adj(v)) {//获取边e的终点int w = e.to();//起点s到顶点w的权重是否大于起点s到顶点v的权重+边e的权重,如果大于，则修改s->w的路径：edgeTo[w]=e,并修改distTo[v] = distTo[v]+e.weitht(),如果不大于，则忽略if (distTo(w)>distTo(v)+e.weight()){distTo[w]=distTo[v]+e.weight();edgeTo[w]=e;//如果顶点w已经存在于优先队列pq中，则重置顶点w的权重if (pq.contains(w)){pq.changeItem(w,distTo(w));}else{//如果顶点w没有出现在优先队列pq中，则把顶点w及其权重加入到pq中pq.insert(w,distTo(w));}}}}//获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重public double distTo(int v){return distTo[v];}//判断从顶点s到顶点v是否可达public boolean hasPathTo(int v){return distTo[v]<Double.POSITIVE_INFINITY;}//查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边public Queue<DirectedEdge> pathTo(int v){//如果顶点s到v不可达，则返回nullif (!hasPathTo(v)){return null;}//创建队列Queue保存最短路径的边Queue<DirectedEdge> edges = new Queue<>();//从顶点v开始，逆向寻找，一直找到顶点s为止，而起点s为最短路劲树的根结点，所以edgeTo[s]=null;DirectedEdge e=null;while(true){e = edgeTo[v];if (e==null){break;}edges.enqueue(e);v = e.from();}return edges;}}//测试代码public class DijkstraSpTest {public static void main(String[] args) throws Exception {//创建输入流BufferedReader reader = new BufferedReader(newInputStreamReader(DijkstraSpTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("min_route_test.txt")));//读取顶点数目，初始化EdgeWeightedDigraph图int number = Integer.parseInt(reader.readLine());EdgeWeightedDigraph G = new EdgeWeightedDigraph(number);//读取边的数目int edgeNumber = Integer.parseInt(reader.readLine());//循环读取每一条边，并调用addEdge方法for (int i = 0; i < edgeNumber; i++) {String line = reader.readLine();int v = Integer.parseInt(line.split(" ")[0]);int w = Integer.parseInt(line.split(" ")[1]);double weight = Double.parseDouble(line.split(" ")[2]);G.addEdge(new DirectedEdge(v, w, weight));}//根据图G和顶点0，构建DijkstraSP对象DijkstraSP dsp = new DijkstraSP(G, 0);//获取起点0到顶点6的最短路径Queue<DirectedEdge> edges = dsp.pathTo(6);//打印输出for (DirectedEdge edge : edges) {System.out.println(edge.from() + "->" + edge.to() + "::" + edge.weight());}}
}