娃娃机的问题

某款娃娃机的设置如下：

1. 吊到娃娃的概率 ：任意一次吊到的概率为0.6%；
2. 保底机制 ：每90次抓取必定有一次可以吊到娃娃，即最多失败89次之后，必定在90次时可以吊到娃娃。

如果可以无限次玩这款娃娃机，问：

1. 吊到娃娃的平均概率是多少？
2. 请用Python程序仿真实现。

问题1：概率计算（由上至下）

1. 分析
   第1次吊到娃娃的概率（即条件概率）：0.006；
   第2次吊到娃娃的概率（即条件概率）：$0.994（第1次未吊到）\times 0.006（第2次吊到）$
   第3次吊到娃娃的概率（即条件概率）：$0.994^2（第1和第2次都未吊到）\times 0.006（第3次吊到）$
   …
   第89次吊到娃娃的概率（即条件概率）：$0.994^{88}（第1到第88次都未吊到）\times 0.006（第89次吊到）$
   第90次吊到娃娃的概率（即条件概率）：$0.994^{89}（第1到第89次都未吊到）\times 1（第90次吊到）$
2. 计算
   吊到娃娃的平均概率$\bar{P}$=$每次吊到的概率\times 需要90次吊到娃娃概率$
   $\bar{P}=\frac{(1+0.994+...+0.994^{88})\times 0.006+0.994^{89}\times 1}{1+0.994+0.994^2+...+0.994^{89}}$
   $=\frac{\frac{1-0.994^{89}}{1-0.994}\times 0.006+0.994^{89}\times 1}{\frac{1-0.994^{90}}{1-0.994}}=\frac{0.006}{1-0.994^{90}}=0.0143$
   这也就是数学期望了。

问题2：仿真（由下至上）

import random
bonusNum = 600000 # 吊娃娃的仿真次数
starNum = 90 # 保底机制
probability = 6 # 任意一次吊到娃娃的概率,单位为（千分之，即乘以1000）
num = 0 # 吊到娃娃的次数
rate = 0 # 连续没有吊到娃娃的次数
for j in range(1, bonusNum):numP = num # numP是前一次的numif random.randint(1, 1000) <= probability: # 一次就吊到了娃娃num += 1 # 吊到了娃娃rate = 0 # 连续没有吊到娃娃的次数清零if rate != starNum and numP == num: # 没有吊到娃娃，且没有触发保底机制rate += 1if rate == starNum and numP == num: # 触发了保底机制，吊到了娃娃num += 1rate = 0
print('总计吊到娃娃的次数：', num, '仿真次数内吊到娃娃的平均概率：', num/bonusNum)
print('保底机制吊到娃娃的概率：', 1/starNum)
print('仿真次数内吊到娃娃的平均概率比保底机制吊到娃娃的概率：', (num/bonusNum)/(1/starNum)-1)

结果

参考文献

1. 娃娃机使用说明