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- 求和表达式的构造
英文原文(What happens inside Eigen, on a simple example)
求和表达式的构造
现在我们的向量已经构建完毕，让我们继续下一行：
u = v + w;
操作符 + 返回一个“向量之和”表达式，但实际上此时并不执行计算。执行计算的是运算符=（其调用随后发生）。
现在让我们看看 Eigen 这时做了什么：
v + w
这里，v 和 w 的类型为 VectorXf，它是 typedef 定义的Matrix，Matrix 是 MatrixBase 的子类。所以被称为：MatrixBase::operator+(const MatrixBase&)
该运算符的返回类型是：CwiseBinaryOp<internal::scalar_sum_op<float>, VectorXf, VectorXf>
CwiseBinaryOp类是我们第一次接触到表达式模板。如前所述，操作符+本身并不执行任何计算，它只返回一个抽象的“向量和”表达式。由于还有“向量差”和“系数逐个乘积”的表达式，因此我们将它们统一为“系数逐个二元操作”，缩写为CwiseBinaryOp。 “系数逐个”表示按系数进行操作。 “二元”的意思是有两个操作数。
对于
v + w + u;
第一个v + w将返回如上所述的CwiseBinaryOp，因此为了使其编译，需要在CwiseBinaryOp类中定义一个操作符 + ，但是，难道要在每个表达式类中定义所有运算符吗，当然不可能，解决方案是CwiseBinaryOp本身，以及Matrix和所有其他表达式类型，都是MatrixBase的子类。因此，只需在MatrixBase类中定义所有运算符即可。由于MatrixBase是不同子类的共同基类，因此依赖于子类的方面必须从MatrixBase中抽象出来。这被称为多态性。
在C ++中，多态的经典方法是通过虚函数来实现的。这是动态多态性。在这里，不使用动态多态性，因为Eigen的整个设计都基于这样一个假设：所有复杂性、所有抽象都在编译时解决。这是至关重要的：如果抽象无法在编译时解决，Eigen的编译时优化机制就会变得无用，更不用说如果该抽象必须在运行时解决，那么它本身就会产生开销。
在这里，想要的是将单个MatrixBase类作为许多子类的基类，以这样的方式，使得每个MatrixBase对象（无论是矩阵、向量还是任何类型的表达式）在编译时（而不是运行时）知道它是哪个特定的子类对象（即它是矩阵、表达式，以及是什么类型的表达式）。
解决方案是递归模板模式（Curiously Recurring Template Pattern）。
简而言之，MatrixBase采用模板参数Derived。每定义一个子类子类（Subclass），我们实际上是让Subclass继承MatrixBase<Subclass>。关键在于不同的子类继承不同类型的MatrixBase。由于这个原因，每当我们有一个子类的对象，并调用它的一些MatrixBase方法时，即使在 MatrixBase 方法内部，我们仍然记得我们正在讨论哪个特定子类。
这意味着我们可以将几乎所有的方法和运算符放在基类MatrixBase中，并在子类中只保留最少的方法。如果你看一下Eigen中的子类，比如CwiseBinaryOp类，它们只有很少的方法。有coeff()和有时返回系数的coeffRef()方法，有返回行数和列数的rows()和cols()方法，但并没有更多的方法。所有的基础方法都在MatrixBase中，因此它只需要为所有类型的表达式、矩阵和向量编写一次即可。
那么，让我们结束这个题外话，回到我们当前正在分析的示例程序中的代码片段：
v + w
现在我们对 MatrixBase 已经很熟悉了，让我们完整地编写此处调用的运算符+的原型（此代码来自 src/Core/MatrixBase.h）：
template<typename Derived>
class MatrixBase
{// ...template<typename OtherDerived>const CwiseBinaryOp<internal::scalar_sum_op<typename internal::traits<Derived>::Scalar>, Derived, OtherDerived>operator+(const MatrixBase<OtherDerived> &other) const;// ...
};
这里的Derived和OtherDerived都是VectorXf。
正如我们所说，CwiseBinaryOp也用于其他操作，例如减法，因此它需要另一个模板参数来确定将应用于系数的操作。这个模板参数是一个函数对象（functor），也就是说，它是一个具有operator()的类，因此它的行为类似于函数。在这里，使用的函数对象是internal::scalar_sum_op。它定义在src/Core/Functors.h中。
现在让我们解释一下internal::traits。internal::scalar_sum_op类需要一个模板参数：要处理的数字类型。当然，在这里我们想传递VectorXf的标量类型（即数字类型），它是float。我们如何确定Derived的标量类型呢？在整个Eigen中，所有的矩阵和表达式类型都定义了一个typedef Scalar，它给出了它的标量类型。例如，VectorXf::Scalar是float的typedef。因此，在这里，如果一切都很简单，我们可以找到Derived的数字类型，如下所示：
typename Derived::Scalar
不幸的是，在这里我们无法这样做，因为编译器会报错，类型Derived还没有定义。因此，我们使用一个变通办法：在src/Core/util/ForwardDeclarations.h中，我们声明（而不是定义！）了所有的子类，比如Matrix，还声明了以下类模板：
template<typename T> struct internal::traits;
在src/Core/Matrix.h中，在定义类Matrix之前，我们为T=Matrix<任意模板参数>定义了internal::traits的部分特化。在这个特化版本中，我们定义了Scalar typedef。因此，当我们实际定义Matrix时，使用 typename internal::traits<Matrix>::Scalar 这样的语句是合法的。
无论如何，我们已经声明了我们的操作符 +。在我们的情况下，Derived和OtherDerived都是VectorXf，因此上述声明相当于：
class MatrixBase<VectorXf>
{// ...const CwiseBinaryOp<internal::scalar_sum_op<float>, VectorXf, VectorXf>operator+(const MatrixBase<VectorXf> &other) const;// ...
};
让我们现在跳到src/Core/CwiseBinaryOp.h来看它是如何定义的。它所做的就是返回一个CwiseBinaryOp对象，而这个对象只是存储了对左侧和右侧表达式的引用，CwiseBinaryOp对象也存储了一个（空）函数对象的实例，这里不必在意，因为这只是一个次要的实现细节。
因此，操作符+没有执行任何实际的计算。总之，操作v + w只是返回了一个CwiseBinaryOp类型的对象，它仅仅是存储了对v和w的引用而已。
