&运算符的作用是，比较两个数的二进制位，均1取1，否则该位为0。常用于：

• 判断某个非负整数的二进制最后一位是否为1：

  int x = 4;
  if (x & 1 == 1) {printf("最后一位为1\n");
  }
  

• 和移位运算符>>结合，统计一个非负整数的二进制中1的个数：

  int x = 4;
  int count = 0;
  while (x)  {  // 直到x=0if (x & 1 == 1) {count += 1;}x >>= 1;  // 右移1位，相当于除以2
  }
  printf("共 %d 个1\n", count);
  

---

矩阵快速幂思想

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：AAAAAA => (AA)(AA)(AA)

这样变的好处是，你只需要计算一次AA，然后将结果(AA)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。

大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！

计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。 好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。

回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如$A^{19}=>（A^{16}）\ast （A^2）\ast （A^1）$，显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如$A^4$能通过$(A^2)\ast (A^2)$得到，$A^8$又能通过$(A^4)\ast (A^4)$得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求$A^{1}56$,而156(10)=10011100(2)

也就有$A^{1}56$=>$(A^4)$$(A^8)$$(A^{16})$*$(A^{128}$) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：

while(N)
{if(N & 1)  // 位与res = res*A;n >>= 1;  // 移位并赋值A = A*A;
}