一、二分查找

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1.思路分析

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

2.解法

(1)第一种

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] 。区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：
1.while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
2.if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1。
例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：
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C++

// 版本一
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

// (版本一) 左闭右闭区间 [left, right]
int search(int* nums, int numsSize, int target){int left = 0;int right = numsSize-1;int middle = 0;//若left小于等于right，说明区间中元素不为0while(left<=right) {//更新查找下标middle的值middle = (left+right)/2;//此时target可能会在[left,middle-1]区间中if(nums[middle] > target) {right = middle-1;} //此时target可能会在[middle+1,right]区间中else if(nums[middle] < target) {left = middle+1;} //当前下标元素等于target值时，返回middleelse if(nums[middle] == target){return middle;}}//若未找到target元素，返回-1return -1;
}

(2)第二种

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：
1.while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
2.if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]
在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）
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C++

/ 版本二
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <int middle = left + ((right - left) >> 1);if (nums[middle] > target) {right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

// (版本二) 左闭右开区间 [left, right)
int search(int* nums, int numsSize, int target){int length = numsSize;int left = 0;int right = length;	//定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)int middle = 0;while(left < right){  // left == right时，区间[left, right)属于空集，所以用 < 避免该情况int middle = left + (right - left) / 2;if(nums[middle] < target){//target位于(middle , right) 中为保证集合区间的左闭右开性，可等价为[middle + 1,right)left = middle + 1;}else if(nums[middle] > target){//target位于[left, middle)中right = middle ;}else{	// nums[middle] == target ，找到目标值targetreturn middle;}}//未找到目标值，返回-1return -1;
}

二、相关例题

1.搜索插入位置

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思路分析

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这道题目，要在数组中插入目标值，无非是这四种情况:
1.目标值在数组所有元素之前 2.目标值等于数组中某一个元素
3.目标值插入数组中的位置 4.目标值在数组所有元素之后

2.解法

(1)暴力解法

C++

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {// 分别处理如下三种情况// 目标值在数组所有元素之前// 目标值等于数组中某一个元素// 目标值插入数组中的位置if (nums[i] >= target) { // 一旦发现大于或者等于target的num[i]，那么i就是我们要的结果return i;}}// 目标值在数组所有元素之后的情况return nums.size(); // 如果target是最大的，或者 nums为空，则返回nums的长度}
};