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层次分析法

层次分析法(运筹学理论)，简称AHP，是指将于决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析的决策方法。它是一种层次权重决策分析方法。

1.内容介绍

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

2.计算步骤

2.1建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层是指决策的目的、要解决的问题。最低层是指决策时的备选方案。中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

2.2构造判断(成对比较)矩阵

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。a(ij)为要素i与要素j重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：
在这里插入图片描述
判断矩阵元素a(ij)的标度方法如下：
表1 比例标度表：

两相邻判断的中间值：2，4，6，8

2.3层次单排序及其一致性检验

对应于判断矩阵最大特征根λ(max)的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，则需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中，n阶一致阵的唯一非零特征根为n；n 阶正互反阵A的最大特征根λ>=n ，当且仅当λ=n时，A为一致矩阵。

由于λ连续的依赖于a(ij)，则λ 比n 大的越多，A的不一致性越严重，一致性指标用CI计算，CI越小，说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为：
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CI等于0，有完全的一致性；CI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI：

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表2：
表2 平均随机一致性指标RI标准值(不同的标准不同，RI的值也会有微小的差异)
在这里插入图片描述
考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI和随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，公式如下：

一般，如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

2.4 层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

3.优缺点

优点	缺点
1.系统性的分析方法	1.不能为决策提供新方案
2.简洁实用的决策方法	2.定量数据较少,定性成分多,不易令人信服
3.所需定量数据信息较少	3.指标过多时,数据统计量大,权重难以确定
	4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂

整理来自–百度百科
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