✨博主：命运之光
✨专栏：概率论期末速成（三套卷）

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前言：第一次尝试打数学公式，我是用语雀记得笔记然后直接导入了CSDN但导入后格式和公式都发生了变化，之后我会直接用图片写题解这样格式不会乱，而且比打公式效率高许多。

✨✨为了让大家看的清楚，我在文章的最后附上了导入前笔记的样子，供大家参考。

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✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）

1、设$A,B,C$为3个事件，则表示$A,B,C$中至少两个发生的事件是____.

第一题比较简单，我们通过答案就可以理解，所以这里就不过多阐述。

解题：
$\bar{A}BC+A\bar{B}C+AB\bar{C}+ABC$
2、设事件$A,B$独立，且$P(A)=0.4$，$P(B)=0.2$，则$P(A\cup \bar{B})=$____.
知识点：
$P(A\cup B)=\{\begin{array}{ll}P(A)+P(B)-P(AB)& \\ P(A)+P(B)& \text{if }AB=\varnothing \end{array}$
解题：套用上面知识点

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(\bar{B})-P(A\bar{B})\\ & =0.4+0.8-0.4\times 0.8\\ & =1.2-0.32\\ & =0.88\end{array}$

3、设在全部产品中有20%是废品，而合格品有85%是一级品，则任意抽出一个产品是一级品的概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

解题：
合格品：$1-20\%=80\%$
任取一个产品是一级品的概率为：$80\%\times 85\%=0.8\times 0.85=0.68$
4、设在一次试验中，事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验，则A至少发生概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

分析这题采用反证法：
$A$至少发生概率为：$1-A$一次也不发生的概率。
题解：
$A$至少发生概率为：$1-\bar{P}=1-(0.4\times 0.4\times 0.4)=0.936$
5、设离散型随机变量的$X$分布函数为$F(x)\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ 0.1,& -1\le x＜0\\ 0.5,& 0\le x＜2\end{array}$则$P\left\{\begin{array}{c}x=0\end{array}\right\}=$_____.

这题套用知识点直接解就行

知识点：
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\} P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}
解题：套用上面知识点
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } = 0.5 − 0.1 = 0.4 P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}=0.5-0.1=0.4 P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}=0.5−0.1=0.4
6、设随机变量X的分布函数为$F(x)=A+\frac{1}{\pi }arctanx$,则$A=$.
知识点：
$F(+\infty )=1$
$F(-\infty )=0$
解题：套用上面知识点
KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
解得： $A=\frac{1}{2}$
7、设随机变量$X\backsim N(1,4)$，且$\Phi (2)=0.9772$，则 P { 1 ≤ x ≤ 5 } = P\{1≤x≤5\}= P{1≤x≤5}=.
知识点：
正态分布$X\backsim N(\mu ,{\delta }^2)$
密度$P(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\delta }{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\delta }^2}}$
期望$E(x)=\mu$
方差$D(x)={\delta }^2$
P { a < x < b } = P { a − μ δ < x − μ δ < b − μ δ } = Φ ( b − μ δ ) − Φ ( a − μ δ ) P\{a<x<b\}=P\{\frac {a-\mu} \delta<\frac {x-\mu} \delta<\frac {b-\mu} \delta\}=\Phi(\frac {b-\mu} \delta)-\Phi(\frac {a-\mu} \delta) P{a<x<b}=P{δa−μ​<δx−μ​<δb−μ​}=Φ(δb−μ​)−Φ(δa−μ​)
$\Phi (0)=0.5$
解题：套用上面知识点
8.设随机变量$X\backsim P(\lambda )$，且$E[X(X-2)]=6$，则$\lambda$.
知识点：
分布律： P = { x = k } = λ 2 k ! e − λ ， ( k = 0 , 1 , 2... , n ) P=\{x=k\}=\frac {\lambda^2} {k!}e^{-\lambda}，(k=0,1,2...,n) P={x=k}=k!λ2​e−λ，(k=0,1,2...,n)
$E(x)=D(x)=\lambda$
$E(x^2)=D(x)+E^2(x)=\lambda +{\lambda }^2$
解题：套用上面知识点

KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

解得：$\lambda =3$
9、设二维随机变量$(X,Y)\backsim N(-1,0,4,9,0.2)$，则$cov(X,Y)=$.
知识点：
二维正态分布$(X,Y)\backsim N({\mu }_1，{\mu }_2，{\delta }_1^2，{\delta }_2^2，p)$
其中
$\begin{array}{rl}& {\mu }_1=E(X)\\ & {\mu }_2=E(Y)\\ & {\delta }_1^2=D(X)\\ & {\delta }_2^2=D(Y)\\ & P=P_{XY}\end{array}$
$cov(X,Y)=(\sqrt{D(X)}\times \sqrt{D(Y)})\times P$
$X\backsim N(\mu ,{\delta }_1^2)，Y\backsim N(\mu ,{\delta }_2^2)$
解题：套用上面知识点
$cov(X,Y)=(\sqrt{D(X)}\times \sqrt{D(Y)})\times P=2\times 3\times 0.2=1.2$
10.设$X\backsim U(0，2)，Y\backsim E_{xp}(1)$，且$X$与$Y$相互独立，则$D(2X-3Y+4)=$_____.
知识点：
均匀分布$X\backsim U(a，b)$
密度$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& 其他\end{array}$
方差$D(x)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
期望$E(x)=\frac{a+b}{2}$

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指数分布$X\backsim E_{xp}(\lambda )$
密度$P(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}，& a<x<b\\ 0,& 其他\end{array}$
方差$D(x)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
期望$E(x)=\frac{1}{\lambda }$
解题：套用上面知识点
$\begin{array}{rl}& {\mu }_1=E(X)\\ & {\mu }_2=E(Y)\\ & {\delta }_1^2=D(X)\\ & {\delta }_2^2=D(Y)\\ & P=P_{XY}\end{array}$
11.设$X_1,X_2,X_3$是来自总体$X$的样本，且$E(X)=\mu ,\hat{\mu }=\frac{1}{4}{X}_1+k{X}_2+\frac{1}{8}{X}_3$是$\mu$的无偏估计，则$k=$.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦
$k=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$
12.设$X_1,X_2,X_3,X_4$是总体$X\backsim N(0，2)$的随机样本，$Y=\frac{{X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2}{{C{X}_4}^2}\backsim F(3,1)$，则$C=$.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦，反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。
答案：3

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✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。

$X$	-2	-1	0	1	2
$P$	2a	a	1/8	a/2	5a

1. 试求（1）$a$；（2）概率 P { − 1 < X < 2 } P\{-1<X<2\} P{−1<X<2}；（3）$Y=2X^2+1$的分布律.

解题：
（1）
因为$2a+a+\frac{1}{8}+\frac{a}{2}+5=1$，故$a=\frac{7}{68}$
（2）

P { − 1 < X < 2 } = P { X = 0 } + P { X = 1 } = 1 8 + 7 136 = 3 17 \begin{aligned} P\{-1<X<2\}&=P\{X=0\}+P\{X=1\} \\&=\frac 1 8+\frac7 {136} \\&=\frac 3 {17} \end{aligned} P{−1<X<2}​=P{X=0}+P{X=1}=81​+1367​=173​​
（3）
$Y=2X^2+1$取值为1，3，9

$Y$	1	3	9
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{21}{136}$	$\frac{49}{68}$

14、已知随机变量的$X$密度函数为：$p(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+a,& 0<x<1\\ 0,& 其他\end{array}$试求（1）常数$a$；（2）$E(2X+1)$；（3）$X$的分布函数$F(x)$.
解题：
（1）
因为${\int }_0^1(2x^2+a)dx=\frac{2}{3}+a=1$
故$a=\frac{1}{3}$
（2）
$\begin{array}{rl}E(2x+1)& ={\int }_0^1(2x+1)(2x^2+\frac{1}{3})dx\\ & =\frac{7}{3}\end{array}$
（3）$X$的分布函数
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0;\\ \frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{3}x,& 0\le x＜1;\\ 1,& x\ge 1\end{array}$
15.设连续型随机变量$X$的密度函数为：$P_x(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi (1+x^2)},& x>0\\ 0,& x<0\end{array}$求：（1）求概率 P { X 2 ≤ 3 } P\{X^2≤3\} P{X2≤3}；（2）$Y=\ln X$的密度函数$p_Y(y)$.
解题：
（1）
P { X 2 ≤ 3 } = P { − ( 3 ≤ X ≤ ( 3 } = ∫ − ( 3 0 0 d x + ∫ 0 ( 3 2 π ( 1 + x 2 ) d x = 2 π arctan ⁡ ∣ 0 ( 3 = 2 3 \begin{aligned} P\{X^2≤3\}&=P\{-\sqrt{\mathstrut 3}≤X≤\sqrt{\mathstrut 3}\} \\&=\int_{-\sqrt{\mathstrut 3}}^00dx+\int_0^{\sqrt{\mathstrut 3}}\frac 2 {\pi(1+x^2)}dx \\&=\frac 2 \pi \arctan|_0^{\sqrt{\mathstrut 3}} \\&=\frac 2 3 \end{aligned} P{X2≤3}​=P{−(3 ​≤X≤(3 ​}=∫−(3 ​0​0dx+∫0(3 ​​π(1+x2)2​dx=π2​arctan∣0(3 ​​=32​​
（2）
$y=\ln x$在$0<x<+\infty$的反函数$x=e^y$，$-\infty <y<+\infty$
且$x^{、}=e^y$
$Y=\ln X$的密度函数$P_Y(y)=\frac{2e^y}{\pi (1+e^{2y})},-\infty <y<+\infty$
16.设二维随变量$(X,Y)$的密度函数为$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8}(6-x-y)& 0<x<2,2<y<4\\ 0& 其他\end{array}$求（1）边缘密度函数$p_X(x)$；（2）$p(X+Y\le 4)$.
解题：
（1）边缘密度函数
$\begin{array}{rl}{p}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy\\ & =\{\begin{array}{ll}{\int }_2^4\frac{1}{8}(6-x-y)dy,& 0<x<2^{\prime }\\ 0,& 其他，\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}(3-x),& 0<x<2;\\ 0,& 其他，\end{array}\end{array}$
（2）
p { X + Y ≤ 4 } = ∬ x + y ≤ 4 p ( x , y ) d x d y = ∫ 2 4 d y ∫ 0 4 − y 1 8 ( 6 − x − y ) d x = 2 3 \begin{aligned} p\{X+Y≤4\}&=\small\iint_{\mathclap{x+y≤4}}p(x,y)dxdy\\&=\int_2^4dy\int_0^{4-y}\frac1 8(6-x-y)dx \\&=\frac2 3 \end{aligned} p{X+Y≤4}​=∬x+y≤4​p(x,y)dxdy=∫24​dy∫04−y​81​(6−x−y)dx=32​​
17.设随机变量$(X,Y)$的分布律为
$\begin{array}{clcr}Y/X& \text{1}& \text{2}& \text{3}\\ 0& 0.2& 0.1& 0.1\\ -1& 0.15& 0.2& 0.25\end{array}$（1）求$X$及$Y$的边缘分布律，并判断$X$与$Y$的独立性；（2）求$Z=X+Y$的分布律.
解题：
(1)
$X$的边缘分布律
$\begin{array}{clcr}X& \text{1}& \text{2}& \text{3}\\ P& 0.35& 0.3& 0.35\end{array}$
$Y$的边缘分布律
$\begin{array}{clc}Y& \text{0}& \text{-1}\\ P& 0.4& 0.6\end{array}$
因为 P { X = 1 , Y = 0 } = 0.2 ≠ P { X = 1 } P { Y = 0 } = 0.35 × 0.4 = 0.14 P\{X=1,Y=0\}=0.2≠P\{X=1\}P\{Y=0\}=0.35×0.4=0.14 P{X=1,Y=0}=0.2=P{X=1}P{Y=0}=0.35×0.4=0.14
故$X$与$Y$不独立
（2）$Z=X+Y$的取值为0、1、2、3，其分布律
$\begin{array}{clcrc}X& \text{0}& \text{1}& \text{2}& \text{3}\\ P& 0.15& 0.4& 0.35& 0.1\end{array}$
18.设$X_1,X_2,...,X_n$是取自总体$X$的简单随机样本，且总体$X$的密度函数为：$p(x)=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1},& 0<x<1,\\ 0,& 其他\end{array}$其中$\theta >0$未知，求（1）$\theta$的矩估计量；（2）$\theta$的极大似然估计量.
解题：
（1）
$\begin{array}{rl}{a}_1=EX& ={\int }_0^{1}xp(x)dx\\ & ={\int }_0^1\theta x^{\theta }dx\\ & =\frac{\theta }{1+\theta }\end{array}$
故$\theta =\frac{a_1}{1-a_1}$
则$\theta$的矩估计量$\hat{\theta }=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}$.
（2）

后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~，打公式太慢了~

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✨三、应用题（10分）

19、设甲乙两袋，甲袋中有$n$只白球，$m$只红球，乙袋中有$N$只白球，$M$只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，(1)从乙袋取到白球的概率：(2)现发现从乙袋取到的球为红球，问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少？

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✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）