本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你一个正整数 n ，找出满足下述条件的 中枢整数 x ：

• 1 和 x 之间的所有元素之和等于 x 和 n 之间所有元素之和。

返回中枢整数 x 。如果不存在中枢整数，则返回 -1 。题目保证对于给定的输入，至多存在一个中枢整数。

示例 1：

输入：n = 8
输出：6
解释：6 是中枢整数，因为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 + 7 + 8 = 21 。

示例 2：

输入：n = 1
输出：1
解释：1 是中枢整数，因为 1 = 1 。

示例 3：

输入：n = 4
输出：-1
解释：可以证明不存在满足题目要求的整数。

提示：

• 1 <= n <= 1000

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解法1 枚举 或 前缀和

根据题意，我们从 $1$ 开始遍历到 $n$ ，并求前缀和，如果包含当前元素 $x$ 的前缀和 $sum$ 等于 $n\times (n+1)/2-sum+x$ ，则说明当前元素 $x$ 是中枢整数。

class Solution {
public:int pivotInteger(int n) {int sum = 0, tot = n * (n + 1) / 2;for (int x = 1; x <= n; ++x) {sum += x;if (sum == tot - sum + x) return x;}return -1;}
};

又或者，我们不用求前缀和，而是在 $[1,n]$ 的范围内枚举 $x$ ，判断以下等式是否成立。若成立，则 $x$ 为中枢整数。
$$(1+x)\times x=(x+n)\times (n-x+1)$$

class Solution {
public:int pivotInteger(int n) {for (int x = 1; x <= n; ++x)if ((1 + x) * x == (x + n) * (n - x + 1))return x;return -1;}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$ ，其中 $n$ 为给定的正整数 $n$ 。
• 空间复杂度：$O(1)$ 。

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解法2 数学O(1)

$1$ 到 $x$ 的元素和为 $\frac{x(x+1)}{2}$ ，$x$ 到 $n$ 的元素和为 $1$ 到 $n$ 的元素和减去 $1$ 到 $x-1$ 的元素和，即 $\frac{n(n+1)-x(x-1)}{2}$ 。两式相等，简化后即

$$x=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}$$

如果 $x$ 不是整数则返回 $-1$ 。

class Solution {
public:int pivotInteger(int n) {int m = n * (n + 1) / 2;int x = sqrt(m);return x * x == m ? x : -1;}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(1)$ 。计算平方根有专门的 CPU 指令，可以视作是 $O(1)$ 时间。Python 的 math.isqrt 用的牛顿迭代法，这里也视作 $O(1)$ 。
• 空间复杂度： $O(1)$ ，仅用到若干变量。

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解法3 查表O(1)

注意到 $\frac{n(n+1)}{2}$ 又叫三角数 triangular number（见 OEIS A000217），定义是：非负整数前 $n$ 项和，$0+1+2+\dots +n$ 。如 $0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,231,253,276,300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,780,820,861,903,946,990,1035,1081,1128,1176,1225,1275,1326,1378,1431,\dots$ 帮助理解的方式：想像有一堆包子摆成杨辉三角的形状，前 $n$ 行包子的数量之和就是第 $n$ 个三角数。

一个三角数是完全平方数的情况（见 OEIS A001108），定义是：第 $n$ 个（base 0）三角数同时是一个平方数。如 $0,1,8,49,288,1681,9800,57121,332928,1940449,11309768,65918161,384199200,\dots$ 比如：

• 第 $1$ 个三角数是 $1$ ，它是 $1$ 的平方
• 第 $8$ 个三角数，$8\times (8+1)/2=36$ ，它是 $6$ 的平方
• 第 $49$ 个三角数，$49\times (49+1)/2=1225$ ，它是 $35$ 的平方
• 第 $288$ 个三角数，$288\times (288+1)/2=41616$ ，它是 $204$ 的平方

一个数的平方数是三角数的情况（见 OEIS A001109）。如 $0,1,6,35,204,1189,6930,40391,235416,1372105,7997214,46611179,271669860,1583407981,\dots$ 比如：

• $1$ 的平方 $1$ 是三角数
• $6$ 的平方 $36$ 是三角数
• $35$ 的平方 $1225$ 是三角数
• $204$ 的平方 $41616$ 是三角数

即在本题数据范围下，这种「是三角数也是完全平方数的情况」是很少的。$n$ 只有 $$1,8,49,288$$
这四个，对应的答案为
$$1,6,35,204$$
上述数据用程序枚举 $[1,1000]$ 内的 $n$ ，调用上面的代码，即可得到。

class Solution {const unordered_map<int, int> m{{1, 1}, {8, 6}, {49, 35}, {288, 204}};
public:int pivotInteger(int n) {auto it = m.find(n);return it != m.end() ? it->second : -1;}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(1)$ 。
• 空间复杂度： $O(1)$ ，仅用到若干变量。