$$\left|\begin{array}{c}\text{ 三角函数小题 }\\ \text{Nightguard Series.}\end{array}\right|$$

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以下是一些废话 不愿意看的可以跳过

最近守夜人更新得很慢，守夜人拖更主要有三个原因：

• 高考临近：更新频率与距高考天数呈正相关
• 考太差电脑被没收：概率与成绩呈负相关，一经触发则更新频率为0
• 灵感枯竭：不知道什么时候触发

守夜人的to-do list：

三角形内角间的三角函数关系、三角换元、比大小、齐次化、洛伦兹力、工业流程大题、有机大题、黄夫人笔记*inf、一数笔记*inf……

慢慢来吧。

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任何$\omega$相关问题均转化为点/区间缩放问题

先来一道简单的小题来说明一下思想

$♣\text{例1}$ 已知 $\omega >0$ ，函数 $f(x)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{4})$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 上单调递减，求 $\omega$ 的取值范围。

首先，我们知道 $\omega$ 是一个控制三角函数图像伸缩的参数，

现在我们转化一下思想：将对函数的伸缩转化为区间的伸缩，问题即转化为：函数 $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 在 $(\frac{\omega \pi }{2},\omega \pi )$ 上单调递减，求 $\omega$ 的取值范围。

在这个区间伸缩时，一切操作与 $\varphi$ 无关，函数图像固定，这样去解决问题会比较清晰（至少对我来说）

第一步，初步确定 $\omega$ 的范围：区间长度 $\frac{\omega \pi }{2}\le \frac{T}{4}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \omega \in (0,2]$

第二部，开始伸缩：

初始状态：

$\omega =0\Rightarrow x\in (0,0)$

现在 $\omega$ 增大，区间的左右端点同时向右移动，并且右端点一直是左端点的两倍：

$\omega =\frac{1}{2}\Rightarrow x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$

此时区间左端点在极大值点处，且满足题意

$\omega =\frac{5}{4}\Rightarrow x\in (\frac{5\pi }{8},\frac{5\pi }{4})$

此时区间右端点在极小值点处，且满足题意

如果 $\omega$ 再变大：

到下一个位置时区间长度要求已经超过了。

于是可知 $\omega \in [\frac{1}{2},\frac{5}{4}]$ 。

可以去desmos上玩一玩 这个图像

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$♣\text{例2}$ 已知 $\omega >0$ ，函数 $f(x)=\sin (\omega x-\frac{\pi }{3})$ 在 $(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ 上没有零点，求 $\omega$ 的取值范围。

转化为函数 $f(x)=\sin (x-\frac{\pi }{3})$ 在 $(\frac{\omega \pi }{2},\frac{3\omega \pi }{2})$ 上没有零点，求 $\omega$ 的取值范围。

第一步，初步确定 $\omega$ 的范围：要求区间长度 $\frac{\omega \pi }{2}\le \frac{T}{2}=\pi \Rightarrow \omega \in (0,1]$

图像：

开始伸缩：

右端点为零点，$\frac{3\omega \pi }{2}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \omega =\frac{2}{9}$

左端点为零点，$\frac{\omega \pi }{2}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \omega =\frac{2}{3}$

右端点为零点，$\frac{3\omega \pi }{2}=\frac{4\pi }{3}\Rightarrow \omega =\frac{8}{9}$

所以 $\omega \in (0,\frac{2}{9}]\bigcup [\frac{2}{3},\frac{8}{9}]$