东京大学数理科学研究科 H31A 第二题 TDU分解题解

news/2024/10/18 22:27:45/

题目链接

原创：中梓星音
禁止转载；禁止任何培训机构盗用，本文仅供交流学习使用。

题目大意：

对矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 3 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ 进行 $A = T D U$ 分解，要求T为正交矩阵，D为所有对角元素为正的对角阵，U为单位上三角矩阵。

考察：

回想大学教科书和课上一般没有专门的练习题在做TDU分解，所以猜测TDU分解是由几个学过的矩阵分解组合而成。本题考验考生对矩阵分解的熟练度、组合能力和对矩阵的直觉。

首先根据“T是正交矩阵”的条件可以想到A可以三角化为 A=TB 的形式，B为上三角矩阵，但B不是单位上三角矩阵，所以还需要对B进行额外的分解。

这里容易想到可对B进行LU分解，因为这里的B已经是三角阵了，所以分解出来的L必然是对角阵（可做成D）且L保持B的对角元素不变，并且根据LU分解的性质，U完美符合单位上三角阵的条件，可做成本题的U。

想到这里，我们还差最后一块拼图，如何保证D的所有的对角元素为正？——其实在正交化的过程中，只要不改变正交向量的方向（乘以-1）就能做到所有B的对角元素为正，从而保证L（即D）的对角元素为正。

解：

对A的各个列向量进行Gram-Schmidt正交化，可直接确定一组正交基：
$\{ \mathbf{v_1} = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v_3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \}$
设： $:=(\mathbf{v_1 \quad v_2 \quad v_3})$ ，则 $A=TB,\quad B=\begin{pmatrix} \sqrt{6} & \sqrt{6} &\sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{3} & -2\sqrt{3} \\ 0 &0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix}$
接下来对B进行LU分解，可得到：
$BR_1R_2:=B\begin{pmatrix} 1 & -1 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{6} &0 &0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix} =:D \\ D(R_1R_2)^{-1}=B \\ TD(R_1R_2)^{-1}=TB=A ,\quad U:=(R_1R_2)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
综上所述，可求得一组：
$\newline T=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} & 0 \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix},\newline D=\begin{pmatrix} \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix},\newline U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
补充：
不难证明， $A = T D U$ 可分的充要条件是：A为可逆矩阵。
充分性：
根据上述题解，显然。
必要性：
因为 $D$ 为对角元素大于0的对角阵且 $U$ 为单位上三角阵， $D U$ 必为上三角阵且对角元素>0，这时 $∣ D U ∣ > 0$ ，可逆。又知道 $∣ T ∣ = 1 o r - 1$ ，所以 $∣ T D U ∣ = ∣ T ∣ ∣ D U ∣ \neq = 0$ ， $T D U$ 可逆， $A$ 也可逆。
证毕