leetcode: cat and mouse

状态表示

考虑状态state[step][mouse][cat]={0, 1, 2}，表示第step步后，老鼠在mouse位置，猫在cat位置，此时猫和老鼠在最佳状态下的游戏结局。

初始化

根据游戏规则，我们可以直接推理出

1. 老鼠必胜： state[step][0][cat] = 1
2. 猫必胜：state[step][i][i] = 2
3. 根据抽屉原理，当只能走t个点时，第t+1步必然与前面的某一步重复，根据题意猫只能走n-1个点，老鼠可以走n个点，那么当猫走了n-1步，老鼠走了n步后，猫的下一步必然会落在猫之前走过的点上，可以得到state[2*n][i][j] = 0

状态转移

1. 轮到老鼠走时，target表示老鼠可以走到的下个节点
   1. 当存在state[step+1][target][cat]=1时，当前状态下老鼠必胜
   2. 否则，当存在state[step+1][target][cat]=0时，老鼠必然选择和棋策略
   3. 否则，老鼠必输
2. 轮到猫走时，和老鼠的状态是一样的，但需要注意对于猫target!=0

时间复杂度计算

step, mouse, cat取值都是O(n)，在记忆化搜索的情况下，总体搜索的复杂度为O(n^3)