普遍语言、国际语言和数学家皮亚诺（Peano）——读皮亚诺之一

自德国人莱布尼兹有了普遍语言的设想之后，逻辑的现代发展，在欧洲，好像走的一条从西到东的路径。英国人布尔用代数来设想逻辑，开创出逻辑学现代发展的一条新路。接着，就是一批德国人对于数学基础问题的研究。戴德金、弗雷格包括康托等人有关数字基础，特别是算术基础的研究成果，孕育着现代逻辑的进一步拓展。在研究地域上进一步向东，这次轮到古老而又现代的意大利了。那里是算术基础研究的一座高峰，同时也是一个奇观，如同海涅的一首著名诗篇提到的，意大利西西里岛上的埃特拉火山口一样。海涅诗篇中的那个埃特拉火山口，即属于古老却又现代的意大利地块。

标题一、从莱布尼兹的普遍语言到皮亚诺的国际语

意大利的古城比萨那里，传说有做过落体实验的比萨斜塔，那是产生物理学家伽利略的地方。而在意大利的另一古城都灵那里，则有让算术理论公理化的都灵大学，那是产生数学家皮亚诺的地方。
让我用海涅的这段编译诗篇，开启阅读皮亚诺的又一段旅程。

我从挪威的森林里
拔下最高的枞树，
把它插入埃特拉的火山口，
那里烈焰飞腾。
我用这饱蘸火焰的巨灵之笔
在暗黑的天穹上写下我的心声
阿格拉斯，我爱你。

逻辑的现代发展，在欧洲这几个国家的轮回，分别使用了不同的语言来讨论现代逻辑所关注的问题。至少是用了英语、德语和意大利语，对于母语为汉语的我们而言，欧洲有关现代逻辑的学术著作，多有从英语翻译过来的经典，但德语的少，意大利语的更少。
欧洲各国，地域都不算广阔，人口也不算众多，却几乎是一国有一国的语言，一国之中，也常常是各地域有各地域的语言。这让人联想起，犹太《圣经》中提到的那个“巴别塔”。这个“巴别塔”的故事，不就是说，最初的人类，只有一种通用的语言么？因为语言相通，人际之间的合作就很容易，通向天堂的“巴别塔”自然就很容易建成。但上帝突然有一天感觉到，这单一的共通语言让俗界太为强大。于是，就把这世界单一通用的语言，拆分成无数种。结果是，快要到达天顶的“巴别塔”，因为这语言的不通就再也建不起来了。
然而，欧洲人注定要和上帝过不去，这在逻辑发展的脉络中颇有体现。先是17世纪末叶，有莱布尼兹关于普遍语言的设想。而到了19世纪末叶，现代逻辑从德国、英国、德国，朝东走向意大利。意大利产出了一个皮亚诺，他既是一个数学家，对现代逻辑贡献卓著。他还和莱布尼兹一样，也醉心于某种普遍性的语言创建。这就是皮亚诺创立的国际语，一种对学者，特别是科学家通用的国际语。
皮亚诺一生都对语言兴趣浓厚，有非常高的驾驭语言天赋。意大利语就不用说了，他还可以用英语、德语、波兰语写各种书评。20世纪初叶，他开始对国际辅助语产生兴趣。从1903年起，他在其主编的《数学杂志》上开始发表他关于国际语的一些观念。并构造了一种基于拉丁文字的国际语。1908年，皮亚诺被推选为国际语协会主席。他还于1915年出版了一本词典，词典收录欧洲主要各国的公共词汇14000条，书名为：
《拉丁语-意大利语-法语-英语-德语公共词汇》
(Vocabulario Commune ad Latino-italiano-francais-english-deutsch),
由此，皮亚诺被誉为是国际语的创始人。

标题二、皮亚诺学术生涯几乎全在都灵

前年年初去意大利十多天，意大利的海滩，还有弗洛伦萨，比萨和西耶那等意大利名城，有缘亲见亲历。早就景仰皮亚诺，也知其在意大利都灵一生，如同欧洲很多为学术纠缠一生的戴德金、弗雷格、布尔等科学家一样。由是思忖，日后还有机会再来，就到都灵看看皮亚诺曾经生活和思考过的地方。谁知，一场弥漫全球的新冠疫情，竟然可以拖至经年。真可谓世事难料，好梦难圆。
好在皮亚诺的英文译本在这个网络的年代不是很难找到，一番努力就找到了。读了德国戴德金的随笔两篇，继戴德金之后，算术基础理论在皮亚诺那里可说是集为大成。所以，20世纪最著名的一个定理，哥德尔不完全性定理，其中提到的基数算术公理化系统，就是由皮亚诺在1899年完成的（见内格尔《哥德尔证明》第88页）。你要理解哥德尔的东西，皮亚诺的算术理论，恐怕是一个绕不过的坎。
皮亚诺照片

皮亚诺著作英译本

都灵和都灵大学

皮亚诺的一生几乎全在都灵，他的出生地位于都灵南面50英里的Tetti Galant农庄。据载，这个农庄直到1967年还属于皮亚诺家族的财产。可惜，皮亚诺膝下无子女，他的财产无子女继承。但他留下的智慧财富，却为后代学子所景仰，因为那是扎扎实实的数学科学，毫无疑问地定会传承光大。
皮亚诺1858年出生，1876年中学毕业，入读都灵大学。1881年成为当时的著名数论学者，都灵大学教授杰诺齐（Angelo Genocchi）的助手。1889年杰诺齐教授逝世，皮亚诺取代其教授席位，在都灵大学一直工作到1932年谢世之时。
皮亚诺是现代符号逻辑的先驱，看过罗素那本《我的哲学的发展》的人大都会记得，促动罗素撰写《数学原理》，那是来自皮亚诺的一个启发，两个进步。缩编一下罗素的原话，大概可以这样描述：

皮亚诺所给我的启发来自两个纯粹是技术上的进步，一个进步是有关两类命题形式的区分，另一个进步则是单称类和单称词项的区分。这两个区分都来自皮亚诺。
（参见罗素《我的哲学的发展》中译本第六章）

而罗素撰写的《数理哲学导论》一书，第一章 自然数串，整个描述的其实就是皮亚诺的算术理论。
除了作为现代符号逻辑的先驱，皮亚诺也是数学公理化方法的推进者。但他对于逻辑本身的兴趣要弱于逻辑在数学上的运用，这也部分解释了，他为什么很少去进行推理规则的探讨。皮亚诺提倡的公理化方法，也应用到几何学领域。
皮亚诺一生著述丰厚，仅列出其英译选本部分著述，即可见其功力，无需赘言。
《演绎逻辑中的运算》1888年
《算术原理，用新方法给出的》1889年
《一个塞满空间的曲线》1890年，1908年
《数理逻辑法则》1891年
《论线性系统》1894年
《几何计算随笔》1896年
《数学科学中最普遍的问题》1896年
《数理逻辑研究》1897年
《论分析基础》1910年
就列这些吧，可以开始皮亚诺文本的阅读了。

标题三、皮亚诺阅读首篇：《演绎逻辑运算》中的等于运算，大于运算和小于运算

皮亚诺的文笔简洁清晰，从其英译本就可见其一斑。1888年，现代逻辑刚刚从初创趋向成熟，当时还是三十而立的皮亚诺，就写下《演绎逻辑运算》一文，分成四个部分来谈逻辑运算。用卷首评论的语言来描述，这是皮亚诺对于演绎逻辑的早期符号处理，几乎完全基于他对于欧美学者的文献研读，这些欧美学者包括布尔，施罗德，皮尔斯还有其它一些人。论文的四个部分共11节，分别是：1）符号，第1节。2）等同，第2-3节。3）命题，第4-5节。4）对于命题的运算，第6-11节。
这篇论文中，有趣的地方很多，但涉及到其后皮亚诺算术理论的地方倒是不多。不过，命题演算中会含有进行比较的大于、小于运算符号这一点，大出人意外，也许是鲜为人知的，值得在这里留下点阅读感受。我以第六节的开首几个条件命题为例，来展示皮亚诺这类特殊的逻辑运算符号。
皮亚诺的条件命题定义也很特殊，他所讨论的命题分为两类，一类是范畴命题，一类就是条件命题。皮亚诺的范畴命题，大抵属于三段论中A,E,I,O这种形式。皮亚诺的条件命题，他是这样来定义的：

***一个命题也许含有未确定的实体（即变元），这被称为条件的。被这样一个命题所表达的条件，一般属于某些确定的实体（entities），而非属于其它实体；但是，这个条件可以属于所有实体，或者一个都不属于。…因此，可以举例如下：命题”x 2- 3x + 2 = 0”就是条件的，因为这个命题含有那个未予确定的x。***（参见Kennedy翻译《皮亚诺选集》第80页）

限于篇幅，我仅以两个等于、大于、小于公式为例，来说明皮亚诺的命题运算，且以第六节的[1]和[3]，这两个公式为例吧：
‘=’表示等号运算，‘>’这个符号表示大于运算，’<’这个符号表示小于运算，字母符号A,B表示任意类，皮亚诺称作classes。于是，含有条件命题的逻辑等式[1]和[3]就成为：
[1] (A = B) = (B = A)
[3] (A > B) = (B < A)

今天的命题演算，大概不会把大于小于放进逻辑运算的范围之内，等式运算在逻辑范围内也大都以等价来代替。而皮亚诺在评论这两个公式时，却是这样来说的：

***等式[1]和[3]表明：每一个逻辑等式通过改变其成员的位置，通过把符号 =， <, >的位置变换为 =， >， <而变换为另一个等式。***（参见Kennedy翻译《皮亚诺选集》第83页）

看皮亚诺的这篇早期论文，明显地看得出来，他把命题演算和集合演算都看作是演绎逻辑的等价形式。但逻辑演算不是阅读皮亚诺的主题，他年轻时撰写命题演算论文的清晰、简洁和用词的精准，在转译的英文中都是如此明显，要是看他的意大利文本，岂不更让人拍案叫绝。
是为开篇。