引言

二维球体（圆）的体积（面积）是$\pi r^2$，三维球体的体积是$\frac{4}{3}\pi r^3$，那么再高维的球体的体积是多少呢？是否存在通项公式呢？本文就带大家通过数学求出高维球体体积。

计算思路

在计算三位球体的时候，有这样一种思路，就是将球体分为极薄的圆层，通过积分求出体积：$$V={\int }_{-R}^R\pi {\sqrt{R^2-h^2}}^2\mathrm{d}h$$事实上，求高维球体体积也可以用类似方法。不难想到可以先求出递推式。

推导递推式

很明显，$n$维球体体积肯定和$R^n$成正比，因此设$$V_n=a_n{R}^n$$而$$V_n={\int }_{-R}^R{a}_{n-1}{\sqrt{R^2-h^2}}^{n-1}\mathrm{d}h$$因此$$a_n=a_{n-1}{\int }_{-1}^1{\sqrt{1-{\left(\frac{h}{R}\right)}^2}}^{n-1}\mathrm{d}\left(\frac{h}{R}\right)$$

积分

令$x=\sin t(-\pi /2\le x\le \pi /2)$，则$${\int }_{-1}^1{\sqrt{1-x^2}}^{n-1}\mathrm{d}x={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n-1}x\cos x\mathrm{d}x={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$$根据$Wallis$积分公式(似乎百度不到，可以见知乎-Wallis积分，证明方法用数归)，可知$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=2W_n=\{\begin{array}{cc}\pi \frac{(n-1)!!}{n!!}& n为偶数\\ 2\frac{(n-1)!!}{n!!}& n为奇数\end{array}$$

求通项

根据上述积分可知$$a_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}{a}_{n-1}\{\begin{array}{cc}\pi & n为偶数\\ 2& n为奇数\end{array}=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{(n-2)!!}{(n-1)!!}2\pi a_{n-2}=\frac{2\pi a_{n-2}}{n}$$当$n$为偶数时，$$a_n=\frac{2^{n/2}\cdot {\pi }^{n/2-1}{a}_2}{n!!}=\frac{2^{n/2}\cdot {\pi }^{n/2}}{n!!}$$当$n$为奇数时，$$a_n=\frac{3\cdot 2^{(n-3)/2}\cdot {\pi }^{(n-3)/2}\cdot a_3}{n!!}=\frac{2^{(n+1)/2}\cdot {\pi }^{(n-1)/2}}{n!!}$$将两式合并得到$$a_n=\frac{2^{\lceil n/2\rceil }{\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }}{n!!}$$其中，$\lceil x\rceil$表示$x$向上取整，$\lfloor x\rfloor$表示$x$向下取整。
特别地，当$n$为偶数时，$n!!=2^{n/2}(n/2)!$，故$a_n={\pi }^{n/2}/(n/2)!$

结论

$n$为球体的体积为$$V_n=\frac{2^{\lceil n/2\rceil }{\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }}{n!!}{R}^n$$下表为十一维以内的球体体积系数(即$a_n$)：

$n$	$a_n$	$n$	$a_n$
2	$\pi$	7	$16{\pi }^3/105$
3	$4\pi /3$	8	${\pi }^4/24$
4	${\pi }^2/2$	9	$32{\pi }^4/945$
5	$8{\pi }^2/15$	10	${\pi }^5/120$
6	${\pi }^3/6$	11	$64{\pi }^5/10395$

化成小数形式为：

$n$	$a_n$	$n$	$a_n$
2	$3.14159$	7	$4.72477$
3	$4.18879$	8	$4.05871$
4	$4.93480$	9	$3.29851$
5	$5.26379$	10	$2.55016$
6	$5.16771$	11	$1.88410$

画成图像为

总结

求高维球体体积首先先列出递推式，然后用积分公式化简递推式，最后转化为通项公式即可。