root_scalar

scipy.optimize提供了统一的一元函数求根方法，其函数定义为

scipy.optimize.root_scalar(f, args=(), method=None, bracket=None, fprime=None, fprime2=None, x0=None, x1=None, xtol=None, rtol=None, maxiter=None, options=None)

其中，f是待求根的函数，args为除了待求的自变量之外的其他函数。bracket为函数的两个异号端点，x0和x1为可能用到的根的估计值。

xtol, rtol与精度有关，越小越精，maxiter为最大迭代次数。

其中，method为最关键的参数，用来决定root_scalar采用的求根方法，其中一部分方法在optimize中实现了独立的函数，下表列出了这些方法的对应关系

参数	估计参数	独立方法	备注
'bisect'	bracket	'bisect'	二分求根
'brentq'	bracket	'brentq'	brent方法
'brenth'	bracket	'brenth'	brent方法+双曲外推
'ridder'	bracket	'ridder'	ridder方法
'toms748'	bracket	'toms748'	我也不知道什么方法
'newton'	x0	'newton'	牛顿法
'secant'	x0, x1	-	弦截法
'halley'	x0	-	三阶方法

root_scalar的返回值是一个RootResults对象，里面的.root属性，即为所求的根。

具有独立函数的求根算法，参数与root_scalar大同小异，以bisect为例，其参数为

• bisect(f, a, b, args=(), xtol=2e-12, rtol=8.881784197001252e-16, maxiter=100, full_output=False, disp=True)

其中，args, xtol, rtol, maxiter, full_output, disp为所有求根算法函数共有的参数，除此之外，求根函数的参数列表如下

• toms748(f, a, b, k=1)
• bisect(f, a, b)
• brentq(f, a, b)
• brenth(f, a, b)
• ridder(f, a, b)
• newton(func, x0, fprime=None, fprime2=None, x1=None)

其中，(a,b)相当于root_scalar中的bracket，其他参数与root_scalar中含义相同。

参数差异

之所以会有(a,b)或是x0这种参数差别，可从二分法和牛顿法的原理来一窥一二。

二分法是最简单的求根算法，如果已知$f(a)\cdot f(b)<0$，则快速选取$c=\frac{a+b}{2}$，如果$f(a)\cdot f(c)<0$，则说明根在$(a,c)$之间，否则即说明根在$(a,b)$之间，然后不断迭代下去。为了完成二分法，则必须输入一对(a,b)。

牛顿法则利用了导数，其迭代公式可表示为

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$

为了执行牛顿法，则必须给一个初始的$x_0$。

测试

下面随便写一个函数，来测试这些求根方法

import scipy.optimize as sodef func(x):return x*x - 2so.bisect(func, 0, 2)
# 1.4142135623715149
so.newton(func, 0)
# 1.4142135623715149

这两种方法可以写成等价的root_scalar的形式

so.root_scalar(func, bracket=(0,2), method='bisect')
'''返回值converged: Trueflag: 'converged'function_calls: 42iterations: 40root: 1.4142135623715149
'''

由于root_scalar返回了迭代次数，故而可用这个函数，测试一下不同方法的运算效率。

method=['bisect', 'brentq', 'brenth', 'ridder', 'toms748', 'secant']
bk = (0,2)
x0, x1 = 0, 2res = []
for m in method:print(m)res.append(so.root_scalar(func, method=m, bracket=bk, x0=x0, x1=x1))for r,m in zip(res, method):print(m, r.iterations, r.root**2-2)

最后结果如下

bisect 40 -4.469535852535955e-12
brentq 8 1.1723955140041653e-13
brenth 8 3.9968028886505635e-15
ridder 6 -2.8170799026838722e-12
toms748 5 -4.440892098500626e-16
secant 7 -4.440892098500626e-16

效率最低的是二分法，效率最高的是toms748。