利用南十字星座测量经纬度的方法
一.球面三角形测量经纬度
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下面介绍一种利用南十字星座测量经纬度的方法，
如下图1所示
在地球球心O观察天球上的4个星星，这4个星星在天球上面形成的球面四边形是等边球面四边形。设球面正方形的中心是P，直线OP垂直于平面ABCD。OP和地球表面的交点是O。在地球上O点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O1点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O2点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD。这四个星星在天球上面形成的球面正方形ABCD由两个球面三角形ABC,ADC组成。设直线AC和地球上的南北方向所在的直线平行，设直线BD和地球上的东西方向所在的直线平行，如下图2所示
在上图3中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形ABC中，设球面三角形的三个角分别是A1,B,C1,三条边分别为BC=a1,AC=b,AB=c1，∠BOC=a1,∠AOB=c1,∠AOC=b,
cosb-cosa1cosc1
cosB=
sina1sinc1
cosb-cosa1cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1sinc1
在上图4中，根据尤拉球面三角形的定理，可知, 在球面三角形ADC中，设球面三角形的三个角分别是A2,D,C2,三条边分别为CD=a2,AC=d,AD=c2, ∠AOD=c2,∠DOC=a2,∠AOC=d,
cosd-cosa2*cosc2
cosD=
sina2*sinc2
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
在上图5中，根据尤拉球面三角形的定理，可知,
在球面三角形ABD中，设球面三角形的三个角分别是A,B1,D1,三条边分别为BD=a,AD=b1,AB=d1, ∠BOD=a,∠AOD=b1,∠AOB=d1,
cosa-cosb1*cosd1
cosA=
sinb1*sind1
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
在上图6中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形BCD中，设球面三角形的三个角分别是B2,C,D2,三条边分别为DC=b2,BD=c,BC=d2，∠DOC=b2,∠BOD=c,∠BOC=d2,
cosc-cosb2*cosd2
cosC=
sinb2*sind2
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
在上图7中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到, 球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D,
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1
因为,
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图8所示，球面四边形ABCD由球面三角形ABC,ADC组成,
因为球面四边形每条边都相等，所以,
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD, ∠A=∠B=∠C=∠D=k,
因为,
cosb-cosa1cosc1
k1=arc cos( )
sina1sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k=arc cos( )
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
=arc cos( )
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
=arc cos( )
sinb2*sind2
因为OP垂直于平面ABCD,P是正方形ABCD的中心，P,O,O在一条直线上,
所以，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD,
. 如图9所示,
在地球上从O点开始沿南北方向AC向C点方向移动，到达M1点, 得到，直线M1O∥直线AC, 设 ∠O`OM1=m1,地球的半径是r, 得到, ∠AM1B=∠AM1D=s1,∠CM1B=∠CM1D=s2,
根据球面三角形BCD的性质可知,
s1-s2 m1
=
k4 2πr
2πr(s1-s2)m1=k4
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M1点的经度是j2,纬度是w2,
ji=j2, w2=w1+m1,
2πr(s1-s2)w2=w1+k4如图10所示,
在地球上从O点开始沿南北方向AC向A点方向移动，到达M2点, 得到，直线M2O∥直线AC, 设 ∠O`OM2=m2,地球的半径是r, 得到∠AM2B=∠AM2D=s3,∠CM2B=∠CM2D=s4,
根据球面三角形ABD的性质可知,
s3-s4 m2
=
k3 2πr
2πr(s1-s2)m2=k3.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M2点的经度是j3,纬度是w3,
ji=j2,
w3=w1+m2,
2πr(s3-s4)w3=w1+k3
如图11所示, 在地球上从O点开始沿东西方向BD向D点移动，到达N1点, 得到，直线N1O∥直线BD, 设set ∠O`ON1=n1,地球的半径是r, 得到, ∠AN1B=∠AN1D=h1,∠CN1B=∠CN1D=h2, 根据球面三角形ADC的性质可知
h1-h2 n1
=
k2 2πr
2πr(h1-h2)n1=k2.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N1点的经度是j4,纬度是w4, j4=j1+n1,
2πr(h1-h2)
j4=j1+
k2.
w4=w1,
如图12所示, 在地球上从O点开始沿东西方向BD向B点移动，到达N2点, 得到，直线N2O∥直线BD, 设 ∠O`ON2=n2,地球的半径是r, 得到, ∠AN2B=∠AN2D=h3,∠CN1B=∠CN1D=h4, 根据球面三角形ABC的性质可知,
h3-h4 n2
=
k1 2πr
2πr(h3-h4)n2=k1.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N2点的经度是j5,纬度是w5, j5=j1+n2,
2πr(h3-h4)j5=j1+k1.
w5=w1,
例如在南半球南回归线附近观察南十字座的4颗星, 南十字座的四颗星如下图13所示,
当AC朝向南北方向，CD朝向东西方向时在地球上的O`点观察4颗星星, 也就是说当南十字座指向南天极时在地面观察这4颗星星, 这4颗星星在天球上面组成了一个球面四边形ABCD，如下图14所示,
在地面O`点观察这4颗星星，O是地球的球心, 在上图14中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到,
球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图15所示，在地球上G点观察星星，设O点的经纬度已知，经度是j1,纬度是w1，O，G两点在相同时间同时观察4颗星星, 设G点的经纬度未知，经度是j6,纬度是w6，
∠AGB=s1,∠CGB=s2,
∠AGD=s3,∠CGD=s4,
∠AGB=h1,∠CGB=h2,
∠AGD=h3,∠CGD=h4,
根据上面的证明，我们有,
2πr(h1-h2) 2πr(h3-h4)
+
k2 k1
j6=j1+
2
πr(h1-h2) πr(h3-h4)
j6=j1+ +
k2 k1
2πr(s1-s2) 2πr(s3-s4)
-
k4 k3
w6=w1+
2
πr(s1-s2) πr(s3-s4)
w6=w1+ -
k4 k3
或者,
2πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2
4πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
2
4πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
通过上面的公式我们就利用O`点的经纬度，星星和观察者之间的夹角就计算得到未知点的经纬度.
推导过程可见《三角学专门教程下册》C.И诺屋塞洛夫著1986年版,
由于星星距离地球很远，所以O1,O2,O3可以看成一点O, 如图16所示，在O1点观察三个星星形成的球面三角形A1B1C1，以O为球心，设球面三角形A1B1C1的三条边分别为a1,b1,c1,三个角分别为A1,B1,C1,
注：尤拉球面三角形定理如下：
对于任何的球面三角形，有三面角与之对应。该三面角的顶点在球面的中心，而棱是连接球面中心至三角形顶点的半径，反之，对于任意的，顶点在球面中心的三面角，有球面三角形与之对应，它是三面角在球面上所截成的, 如图5所示，互相对应的球面三角形和三面角的元素之间有下面的关系：
三角形的角A,B和C的大小是三面角的二面角的大小，而三角形的边a,b,c的大小是三面角的面角的大小。球面三角形（三面角）的元素间的关系可以解释为三面角（球面三角形）元素间的关系. 如上图5所示：互相对应的球面三角形ABC和三面角ABC有下面的关系, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角ABC中二面角的大小, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角ABC中二面角的大小, 就是说, 角A等于平面BOC和平面ABC的夹角，角B等于平面AOC和平面ABC的夹角，角C等于平面AOB和平面ABC的夹角，球面三角形ABC的三个边a,b,c的大小是三面角ABC中面角的大小, ∠BOC=a,∠AOC=b,∠AOB=c, 同时，根据球面三角形边的余弦公式，我们有,
cosa-cosbcosc
cosA=
. sinbsinc
cosb-cosa*cosc
cosB=
. sina*sinc
cosc-cosa*cosd
cosC=
. sina*sinb
二.星座测量经纬度的方法
下面介绍一种利用地球上已知经纬度地点，在未知经纬度地点测量和星座的夹角，来计算改点经纬度的方法, 如下图1所示，地球上的•A点,C点经纬度已知，A,B,C三点在地球球面上, A点纬度是a1，经度是a2，它的经纬度已知, B点纬度是b1，经度是b2，它的经纬度未知, C点纬度是c1，经度是c2，它的经纬度未知, 在同一时间，在A,B两点同时观察星星, AB=L1,BC=L2,AC=L3,
如图2所示，以地球球心纬坐标轴原点，以0°经线作为X轴，以东经90°经线作为Y轴，地球的南北极连线作为Z轴，作坐标系, A,C是地球表面上的两个点，它们在平面XOY上的投影分别是A,C, A点在正交坐标系下的坐标是(x1,y1,z1), B点在正交坐标系下的坐标是(x2,y2,z2), C点在正交坐标系下的坐标是(x3,y3,z3), 设地球的半径是r, 作AA1⊥OX,AA2⊥OY, 所以在直角三角形OA1A中, ∠A1OA就是A点的经度值a2, 即∠A1OA=a2, 所以, A1O=r*cosa2, A2O=A1A=rsina2, 所以,
x1=rcosa2 (1)
y1=rsina2 (2)
所以在直角三角形OAA中, ∠AOA就是A点的纬度值a1, 即∠AOA=a1, 所以, AA=rsina1, 所以,
z1=rsina1 (3)
这样就通过A点的经纬度计算出A点的坐标(x1,y1,z1), 作CC1⊥OX,CC2⊥OY, 所以在直角三角形OC1C中, ∠C1OC就是C点的经度值c2, 即∠C1OC=c2, 所以, C1O=r*cosc2, C2O=C1C=rsinc2, 所以,
x3=rcosc2 (4)
y3=rsinc2 (5)
所以在直角三角形OCC中, ∠COC就是C点的纬度值c1, 即∠COC`=c1, 所以, CC``=rsinc1, 所以
z3=rsinc1 (6)
这样就通过C点的经纬度计算出C点的坐标(x3,y3,z3), 如下图3所示，在正交坐标系中，
设OC,OA,AC均为空间向量，记作, OC, OA, AC
由向量的减法性质可知
AC = OA - OC
设set
AC =x4i+y4j+z4k
所以, x4i+y4j+z4k=(x1i+y1j+z1k)-(x3i+y3j+z3k)
x4i+y4j+z4k=(x1-x4)i+(y1-y3)j+(z1-z3)k
所以,
x4=x1-x3, y4=y1-y3, z4=z1-z3,
因为AC是向量, 所以,
2 2 2
｜AC｜= x4 +y4 +z4
2 2 2
｜AC｜= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3)
2 2 2
L3= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3) (7)
把(1),(2),(3),(4),(5),(6)代入(7)，得
2 2 2
L3= [(rcosa2)-(rcosc2)] -[(rsina2)-(rsinc2)] -[(rsina1)-(rsinc1)]
2 2 2
L3=r* (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) (8)
如下图4所示，在球面上的两点A,C，可以看成一个圆上的两点A,C,
这个圆的半径就是球体的半径r即地球的半径r, O是圆的圆心，A,C是圆上的两点, 在三角形AOC中，作OP⊥AC, 设∠AOC=g, 在直角三角形OPA中，∠AOP=g/2, AP=AC/2=L3/2, sin(g/2)=AP/OA, sin(g/2)=L3/2r, sin(g/2)=L3/2r,
2 2 2
sin(g/2)= (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2
2 2 2
g/2=arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2]
2 2 2
g=2*arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2] (8)
因为圆的周长是2πr, 圆弧AC的弧长是,
AC =gr (9)
下面介绍利用地球上已知经纬度点，通过观测星星高度角，来计算未知经纬度点的方法,
如上图5所示, 在地球上两点A经纬度已知，B点,C点经纬度未知，设C点也在地球表面，三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 在地球上一点B和A点的距离AB=L1,在地球上一点C和A点的距离AC=L2,在地球上一点B和C点的距离BC=L3, 在A点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α1，β1，γ1, 高度角就是在该点垂直于地面的直线和星星到该点的连线的夹角, 在B点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α2，β2，γ2, 假设在C点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α3，β3，γ3, 上面的α3，β3，γ3是未知量，需要计算才能得到, 由于北斗星7颗星都是恒星，且距地球比较遥远，大概都在2000光年左右，所以可以近似的将北斗星看成在一个平面上，并可设这个平面和地球上3点连线组成的平面ABC平行, 设北斗星中3颗星分别是D,E,F, 做AA垂直于地球表面，做BB垂直于地球表面,做CC垂直于地球表面, 由于北斗星距离地球非常遥远，所以可以近似的认为, A点是A点在平面DEF上面的投影，B点是B点在平面DEF上面的投影，C点是C点在平面DEF上面的投影，则有, 平面ABC平行于平面ABC,AA≈BB≈CC=H, 作AA⊥DA,作EE``⊥AB,作FF⊥AB,作DD1⊥AB,作EE1⊥AB,作FF1⊥AB,则有, ∠AAD=α1，∠AAE=β1，∠AAF=γ1，
∠BBD=α2，∠BBE=β2，∠BBF=γ2， ∠CCD=α3，∠CCE=β3，∠CCF=γ3，
在直角三角形AAD中, AD=AA*tgα1=H*tgα1, AD=AA/cosα1=H/cosα1,
在直角三角形AAE中, AE=AA*tgβ1=H*tgβ1, AE=AA/cosβ1=H/cosβ1,
在直角三角形AAF中, AF=AA*tgγ1=H*tgγ1, AF=AA/cosγ1=H/cosγ1,
在直角三角形BBD中, BD=BB*tgα2=H*tgα2, BD=BB/cosα2=H/cosα2,
在直角三角形BBE中, BE=BB*tgβ2=H*tgβ2, BE=BB/cosβ2=H/cosβ2,
在直角三角形BBF中, BF=BB*tgγ2=H*tgγ2, BF=BB/cosγ2=H/cosγ2,
在直角三角形CCD中, CD=CC*tgα3=H*tgα3, CD=CC/cosα3=H/cosα3,
在直角三角形CCE中, CE=CC*tgβ3=H*tgβ3, CE=CC/cosβ3=H/cosβ3,
在直角三角形CCF中, CF=CC*tgγ3=H*tgγ3, CF=CC/cosγ3=H/cosγ3,
在直角三角形AD1D中, 2 2 2 (AD) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(H*tgα1) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(Htgα2) -(BD1) =(DD1) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgα1) -(AD1) =(Htgα2) -(B`D1)
2 2 2 2
(Htgα1) -(Htgα2) =(AD1) -(BD1)
2 2
(Htgα1) -(Htgα2) =(AD1+BD1)(AD1-BD1) (10)
在直角三角形AE1E中, 2 2 2 (AE) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E1) =(EE1)
在直角三角形BE1E中, 2 2 2 (BE) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(Htgβ2) -(BE1) =(EE1) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgβ1) -(AE1) =(Htgβ2) -(B`E1)
2 2 2 2
(Htgβ1) -(Htgβ2) =(AE1) -(BE1)
2 2
(Htgβ1) -(Htgβ2) =(AE1+BE1)(AE1-BE1) (11)
在直角三角形AF1F中, 2 2 2 (BF) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F1) =(FF1)
在直角三角形BF1F中, 2 2 2 (BF) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(Htgγ2) -(BF1) =(FF1) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgγ1) -(AF1) =(Htgγ2) -(B`F1)
2 2 2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1) -(BF1)
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1+BF1)*(AF1-BF1) (12)
因为A,D1,E1,F1,B在一条直线上, 所以,
AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,
如上图6所示，作DD2⊥AB,作EE2⊥AB,作FF2⊥AB, 则有 , 在直角三角形AD2D中,
2 2 2
(AD) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(DD2)
在直角三角形BD2D中,
2 2 2
(BD) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) -(BD2) =(DD2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(H/cosα2) -(BD2)
2 2 2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2) -(BD2)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
在直角三角形AE2E中,
2 2 2
(AE) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) -(AE2) =(EE2)
在直角三角形BE2E中,
2 2 2
(BE) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE2) =(EE2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(AE2) =(H/cosβ2) -(BE2)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2) -(BE2)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
在直角三角形AF2F中,
2 2 2
(AF) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF2) =(FF2)
在直角三角形BF2F中,
2 2 2
(BF) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF2) =(FF2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(AF2) =(H/cosγ2) -(BF2)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2) -(BF2)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
因为A,D2,E2,F2,B在一条直线上, 所以,
AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC,平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα1) -(H*tgα2) =(AD1+BD1)(AD1-B`D1) (10)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
所以,
AD1=H*tgα1, BD1=Htgα2, AD2=H/cosα1, BD2=H/cosα2,
AB=Htgα1+Htgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
Htgα1+Htgα2 =H/cosα1+H/cosα2,
因为,
2 2
(Htgβ1) -(H*tgβ2) =(AE1+BE1)(AE1-BE1) (11)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
所以,
AE1=H*tgβ1, BE1=Htgβ2, AE2=H/cosβ1, BE2=H/cosβ2,
AB=Htgβ1+Htgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
Htgβ1+Htgβ2=H/cosβ1+H/cosβ2,
因为,
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1+BF1)(AF1-BF1) (12)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
所以,
AF1=H*tgγ1, BF1=Htgγ2, AF2=H/cosγ1, BF2=H/cosγ2,
AB=Htgγ1+Htgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
Htgγ1+H*tgγ2=H/cosγ1+H/cosγ2,
如上图7所示，作DD3⊥AC,作EE3⊥AC,作FF3⊥AC,则有, 在直角三角形AD3D中, 2 2 2 (AD) =(A`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα1) =(AD3) +(DD3) 2 2 2 (H*tgα1) -(AD3) =(DD3)
在直角三角形CD3D中, 2 2 2 (CD) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(Htgα3) -(CD3) =(DD3) 代入上式，得, 2 2 2 (H*tgα1) -(AD3) =(Htgα3) -(C`D3)
2 2 2
(Htgα1) -(Htgα3) =(AD3) -(CD3)
2 2
(Htgα1) -(Htgα3) =(AD3+CD3)(AD3-CD3) (16)
在直角三角形AE3E中, 2 2 2 (AE) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) -(AE3) =(EE3) 在直角三角形CE3E中,
2 2 2
(CE) =(CE3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) -(C`E3) =(EE3)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(AE3) =(H*tgβ3) -(CE3)
2 2 2 2
(Htgβ1) -(Htgβ3) =(AE3) -(CE3)
2 2
(Htgβ1) -(Htgβ3) =(AE3+CE3)(AE3-CE3) (17)
在直角三角形AF3F中, 2 2 2 (AF) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) -(AF3) =(FF3) 在直角三角形CF3F中,
2 2 2
(CF) =(CF3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ3) =(C`F3) +(FF3)
2 2 2
(Htgγ3) -(CF3) =(FF3) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgγ1) -(AF3) =(Htgγ3) -(C`F3)
2 2 2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3) -(CF3)
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3+CF3)*(AF1-CF3) (18)
因为A,D3,E3,F3,C在一条直线上, 所以,
AD3+CD3=AC,AE3+CE3=AC,AF3+CF3=AC,
如上图8所示，作DD4⊥AC,作EE4⊥AC,作FF4⊥AC, 则有, 在直角三角形AD4D中,
2 2 2
(AD) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD4) =(DD4)
在直角三角形CD4D中,
2 2 2
(CD) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD4) =(DD4)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosα1) -(AD4) =(H/cosα3) -(CD4)
2 2 2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4) -(CD4)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19)
在直角三角形AE4E中,
2 2 2
(AE) =(AE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ1) =(AE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ1) -(AE4) =(EE4)
在直角三角形CE4E中,
2 2 2
(CE) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE4) =(EE4)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(AE4) =(H/cosβ3) -(CE4)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4) -(CE4)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
在直角三角形AF4F中,
2 2 2
(AF) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF4) =(FF4)
在直角三角形CF4F中,
2 2 2
(CF) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF4) =(FF4)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(AF4) =(H/cosγ3) -(CF4)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4) -(CF4)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
因为A,D4,E4,F4,C在一条直线上, 所以,
AD4+CD4=AC, AE4+CE4=AC, AF4+CF4=AC,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC,平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα1) -(H*tgα3) =(AD3+CD3)(AD3-C`D3) (16)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19)
所以, AD3=H*tgα1, CD3=Htgα3, AD4=H/cosα1, BD4=H/cosα3,
AC=Htgα1+Htgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
Htgα1+Htgα3=H/cosα1+H/cosα3
因为,
2 2
(Htgβ1) -(H*tgβ3) =(AE3+CE3)(AE3-CE3) (17)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
所以,
AE3=H*tgβ1, CE3=Htgβ3, AE4=H/cosβ1, CE4=H/cosβ3,
AC=Htgβ1+Htgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
Htgβ1+Htgβ3=H/cosβ1+H/cosβ3,
因为,
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3+CF3)(AF1-CF3) (18)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
所以, AF3=H*tgγ1, CF3=Htgγ3, AF4=H/cosγ1, CF4=H/cosγ3,
AC=Htgγ1+Htgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
Htgγ1+H*tgγ3=H/cosγ1+H/cosγ3,
如上图9所示，作DD5⊥BC,作EE5⊥BC,作FF5⊥BC,则有, 在直角三角形BD5D中, 2 2 2 (BD) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) -(BD5) =(DD5) 在直角三角形CD5D中,
2 2 2
(CD) =(CD5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D5) +(DD5)
2 2 2
(Htgα3) -(CD5) =(DD5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgα2) -(BD5) =(Htgα3) -(C`D5)
2 2 2 2
(Htgα2) -(Htgα3) =(BD5) -(CD5)
2 2
(Htgα2) -(Htgα3) =(BD5+CD5)(BD5-CD5) (22)
在直角三角形BE5E中, 2 2 2 (BE) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) -(BE5) =(EE5) 在直角三角形CE5E中,
2 2 2
(CE) =(CE5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E5) +(EE5)
2 2 2
(Htgβ3) -(CE5) =(EE5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgβ2) -(BE5) =(Htgβ3) -(C`E5)
2 2 2 2
(Htgβ2) -(Htgβ3) =(BE5) -(CE5)
2 2
(Htgβ2) -(Htgβ3) =(BE5+CE5)(BE5-CE5) (23)
在直角三角形BF5F中, 2 2 2 (BF) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ2) -(BF5) =(FF5) 在直角三角形CF5F中,
2 2 2
(CF) =(CF5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ3) =(C`F5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ3) -(CF5) =(FF5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgγ2) -(BF5) =(Htgγ3) -(C`F5)
2 2 2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5) -(CF5)
2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5+CF5)*(BF5-CF5) (24)
因为B,D5,E5,F5,C在一条直线上, 所以,
BD5+CD5=BC,BE5+CE5=BC,BF5+CF5=BC,
作DD6⊥BC,作EE6⊥BC,作FF6⊥BC, 则有, 在直角三角形BD6D中,
2 2 2
(BD) =(BD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα2) -(BD6) =(DD6)
在直角三角形CD6D中,
2 2 2
(CD) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD6) =(DD6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosα2) -(BD6) =(H/cosα3) -(CD6)
2 2 2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(BD6) -(CD6)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25)
在直角三角形BE6E中,
2 2 2
(BE) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE6) =(EE6)
在直角三角形CE6E中,
2 2 2
(CE) =(CE6) +(CE6)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE6) =(EE6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosβ2) -(BE6) =(H/cosβ3) -(CE6)
2 2 2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6) -(CE6)
2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26)
在直角三角形BF6F中,
2 2 2
(BF) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF6) =(FF6)
在直角三角形CF6F中,
2 2 2
(CF) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF6) =(FF6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosγ2) -(BF6) =(H/cosγ3) -(CF6)
2 2 2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6) -(CF6)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
因为B,D6,E6,F6,C在一条直线上, 所以,
BD6+CD6=BC, BE6+CE6=BC, BF6+CF6=BC,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC, 平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα2) -(H*tgα3) =(BD5+CD5)(BD5-C`D5) (22)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25)
所以, BD5=H*tgα2, CD5=Htgα3, AD6=H/cosα2, BD6=H/cosα3,
BC=Htgα2+Htgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
Htgα2+Htgα3=H/cosα2+H/cosα3,
因为,
2 2
(Htgβ2) -(H*tgβ3) =(BE5+CE5)(BE5-CE5) (23)
2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26)
所以, BE5=H*tgβ2, CE5=Htgβ3, BE6=H/cosβ2, CE6=H/cosβ3,
BC=Htgβ2+Htgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
Htgβ2+Htgβ3=H/cosβ2+H/cosβ3,
因为,
2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5+CF5)(BF5-CF5) (24)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
所以,
BF5=H*tgγ2, CF5=Htgγ3, BF6=H/cosγ2, CF6=H/cosγ3,
BC=Htgγ2+Htgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
Htgγ2+H*tgγ3=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC, 因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角, 2 2 2 AB =AC +BC 因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角,
2 2 2
AB =AC +BC
设 AB=x,AC=y,BC=z, AB=AB=x,AC=AC=y,BC=BC=z,
2 2 2
x =y +z
因为,
AB=Htgα1+Htgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
x=Htgα1+Htgα2, x=H/cosα1+H/cosα2,
AB=Htgβ1+Htgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
x=Htgβ1+Htgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2,
AB=Htgγ1+Htgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
x=Htgγ1+Htgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2,
AC=Htgα1+Htgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
y=Htgα1+Htgα3, y=H/cosα1+H/cosα3,
AC=Htgβ1+Htgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
y=Htgβ1+Htgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3,
AC=Htgγ1+Htgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
y=Htgγ1+Htgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3,
BC=Htgα2+Htgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
z=Htgα2+Htgα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
BC=Htgβ2+Htgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
z=Htgβ2+Htgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3,
BC=Htgγ2+Htgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
z=Htgγ2+Htgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为, x=Htgα1+Htgα2, y=Htgα1+Htgα3, z=Htgα2+Htgα3,
所以,
2 2 2
(Htgα1+Htgα2) = (Htgα1+Htgα3) +(Htgα2+Htgα3)
2 2 2
(tgα1+tgα2) = (tgα1+tgα3) +(tgα2+tgα3)
2 2 2 2 2 2
tgα1 +2tgα1tgα2+tgα2 = tgα1 +2tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 +2tgα2 tgα3+tgα3
2
tgα1tgα2 =tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 tgα3
2
tgα3 +(tgα1 +tgα2)tgα3-tgα1tgα2 =0
根据一元二次方程的求根公式可知,
一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
所以,
2
-(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
tgα3=
2
因为, x=H/cosα1+H/cosα2, y=H/cosα1+H/cosα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
2 2 2
(H/cosα1+H/cosα2) =(H/cosα1+H/cosα3) +(H/cosα2+H/cosα3)
2 2 2
(1/cosα1+1/cosα2) =(1/cosα1+1/cosα3) +(1/cosα2+1/cosα3)
2 2
(1/cosα1) +2(1/cosα1) (1/cosα2)+ (1/cosα2)
2 2 2 2
=(1/cosα1) +2(1/cosα1)(1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) +2(1/cosα2) (1/cosα3)+ (1/cosα3)
2
(1/cosα1) (1/cosα2) =(1/cosα1) (1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) (1/cosα3)
2
(1/cosα3) +[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] (1/cosα3)-(1/cosα1) (1/cosα2)=0
根据一元二次方程的求根公式可知,
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
1/cosα3=
2
2
cosα3=
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
同理可证：
2 - (tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
tgβ3=
2
2
cosβ3=
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1) (1/cosβ2)
2 - (tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
tgγ3=
2
2
cosγ3=
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
因为A点经纬度已知，星星的角度已知，B点经纬度未知，与星星的高度角已知, C点经纬度未知，和星星的高度角，可有上面的公式求得, ABC三点在同一时间观察星星，它们都在地球表面, 设地球的半径是r, 因为,
x=Htgα1+Htgα2, x=H/cosα1+H/cosα2, x=Htgβ1+Htgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2, x=Htgγ1+Htgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2, 所以,
x≈rtgα1+rtgα2, x≈r/cosα1+r/cosα2, x≈rtgβ1+rtgβ2, x≈r/cosβ1+r/cosβ2, x≈rtgγ1+rtgγ2, x≈r/cosγ1+r/cosγ2,
因为, y=Htgα1+Htgα3, y=H/cosα1+H/cosα3, y=Htgβ1+Htgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3, y=Htgγ1+Htgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3, 所以,
y≈rtgα1+rtgα3,
2 -(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2 ]
y≈rtgα1+r[
2
y≈r/cosα1+r/cosα3,
2 -[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ]
2
y≈rtgβ1+rtgβ3,
2 -(tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2 ]
y≈rtgβ1+r[
2
y≈r/cosβ1+r/cosβ3,
2 -[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ]
2
y≈rtgγ1+rtgγ3,
2 -(tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
y≈rtgγ1+r[ ]
2
y≈r/cosγ1+r/cosγ3,
2 -[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到AC两点的距离,
因为, z=Htgα2+Htgα3, z=H/cosα2+H/cosα3, z=Htgβ2+Htgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3, z=Htgγ2+Htgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3,
所以, z≈rtgα2+rtgα3,
2 -(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈rtgα2+r[ ]
2
z≈r/cosα2+r/cosα3,
2 -[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ]
2
z≈rtgβ2+rtgβ3,
2 -(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈rtgβ2+r[ ]
2
z≈r/cosβ2+r/cosβ3,
2 -[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ]
2
z≈rtgγ2+rtgγ3,
2 -(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈rtgγ2+r[ ]
2
z≈r/cosγ2+r/cosγ3,
2 -[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r*[ ]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到BC两点的距离, 在得到x,y,z的值，就想当得到直角三角形ACB三个边的值,
如上图11所示，在球面上三点A,B,C是直角三角形时，A点经纬度已知，三角形三边边长已知，B点的纬度等于A点的纬度加上一个直角边对应的圆心角度, B点的经度等于A点的经度加上另一个直角边对应的圆心角度,
如上图12所示，设圆心角∠AOC=a,它对应的边长是AC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OP⊥AC, 在直角三角形APO中, sin(a/2)=AP/r, sin(a/2)=AC/2r, a/2=arc sin(AC/2r), a=2arc sin(AC/2r), 因为, AC=y,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1tgα2
y≈rtgα1+r*[ ]
2
a=2arc sin(AC/2r),
2 -(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
a≈2arc sin[tgα1/2+ ]
4
同理可证, 因为,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
a≈2arc sin[1/2cosα1+ ]
4
因为,
2 -(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
y≈rtgβ1+r[ ]
2
所以,
2 -(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
a≈2arc sin[tgβ1/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ]
4
所以,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
a≈2arc sin[1/2cosβ1+ ]
4
因为,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1tgγ2
y≈rtgγ1+r*[ ]
2
所以,
2 -(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
a≈2arc sin[tgγ1/2+ ]
2
因为,
2 -[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ]
4
所以,
2 -[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
a≈2arc sin[1/2cosγ1+ ]
4
如上图13所示，设圆心角∠BOC=b,它对应的边长是BC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OQ⊥BC, 在直角三角形BPO中, sin(b/2)=BQ/r, sin(b/2)=BC/2r, b/2=arc sin(BC/2r), b=2arc sin(BC/2r),
因为, BC=z, 因为,
2 -(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈rtgα2+r[ ]
2
所以,
2 -(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
b=2arc sin[ tgα2/2+ ]
4
因为,
2 -[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ]
4
所以,
2 -[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
b≈2arc sin[1/2cosα2+ ]
4
因为,
2 -(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈rtgβ2+r[ ]
2
所以,
2 -(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
b≈2arc sin[tgβ2/2+ ]
4
因为,
2 -[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ]
2
所以,
2 -[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
b≈2arc sin[1/2cosβ2+ ]
4
因为,
2 -(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈rtgγ2+r[ ]
2
所以,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1tgγ2
b=2arc sin[tgγ2/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
b≈2arc sin[1/2cosγ2+ ]
4
假设测量得到A点的经纬度是(w,s)，通过计算得到，B点的经度是w+a, B点的纬度是s+b, 也可以将上面的3个星星，换成3个电视信号源, 把信号源放在地球表面A,B,C，在高空中飞机上的A,B两点用3台电视机接收信号, 测量3台电视接收3个信号的最佳角度，就是高度角α1，α2，α3，β1，β2，β3，和上面一样假设一个C点，使得三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 同时平面ACB∥平面ACB,C点和信号源的高度角为γ1,γ2,γ3, 利用上面的公式通过A点的经纬度就可以计算出B点的经纬度,
三.弧度计算三角函数公式
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版,
推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版
用弧度计算三角函数值，利用下面的公式计算三角函数值，
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
sin nα=C sinαcos α-C sin αcos α+C sin α*cos α-…
n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos nα=cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin α*cos α-…
n n n
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinαcos α-C sin αcos α+C sin αcos α-…
n n n
tg nα=
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin αcos α-…
n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin αcos α-…
n n n
ctg nα=
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinαcos α-C sin αcos α+C sin αcos α-…
n n n
例如计算sin57°, 因为because,
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 193=C sin3cos 3-C sin 3cos 3+C sin 3cos 3-…
19 19 19
因为becuase
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 193=C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 57°=cos 193=cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
tg 57°=
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
ctg 57°=
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-…
19 19 19
排列组合计算公式
m n
C =C
n m
m m m-1
C =C +C
n+1 n n
mP n(n-1)(n-2)...(n-m+1) n!
m n
C = = =
n+1 m
P m! m!(n-m)!
m
四.计算三角函数的公式
1.计算sinx
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
详细内容可见《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数,
假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
计算sinx的电路
2.用电压比较器计算sinx的电路。
计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和，
cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和，
这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。
上面电路的原理如下
例如，计算sin57°,首先计算50°,然后计算sin4°，最后再将sin50°和sin4°相加就得到sin57°的值，下面举例说明计算57°的正弦值的电路结构，例如计算sin57°，首先用电压比较器电路和57相互比较，得到50，然后用57减去50，得到7，再用大小判别电路判别7是不是比3大，如果比3大，那么就用sin50加上7和3的差sin4，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，如果比3小，例如61，就用sin60减去1和3的差sin2，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，下面的电路是计算sin50°值，上面各选择电路和基准电压为40°的电路相同,介绍略，基准电压40的选择电路，
例如40°<57°，第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压40°，一个是待测参数57°，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57，它的两个输入端，一个是基准电压40，一个是刚才输出的电压57，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，
基准电压50的选择电路，
. 例如50°<57°
第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是待测参数57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57°，第二个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是刚才输出的电压57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压60°的选择电路，
例如57°<60°
第一个电压比较器输出60°，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是待测参数57，因为60>57，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是刚才输出的电压60，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器输出60，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压60，因为60>0，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第一个开关电路器输出50，因为第三个电压比较器输出60，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出基准电压50，第二个开关电路器输出50°的正弦值0.7660，因为第三个电压比较器输出50，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出50°的正弦值0.7660，
基准电压70°的选择电路，
例如57°<70°
第一个电压比较器输出70°，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是待测参数57，，因为70>57，所以电压比较器输出较大的电压输出70，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是刚才输出的电压70，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压0，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，下面各选择电路和基准电压为70°的电路相同，
上面电路的原理如下
下面的电路是选择判断电路，判断是否需要给待测三角函数的尾数7减去3
，
首先用57°减去50°，得到7°，再用判别电路判别7°是不是比3°大，如果大于3°，那么就用7°-3°，得4°，再用电路计算sin4°的值，最后再用加法电路将sin50°加上sin7°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如sin61°，
如果小于3°，那么就用3°-1°，得2°，再用电路计算sin2°的值，最后再用减法电路将sin60减去sin2°，即namely，sin61°≈sin60°-sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
例如，计算sin57°，
首先，在减法器A中用57°减去50°得到7°，然后，在减法器B中用7°减去3°得到4°，在电压比较器A中，用0°和4°相互比较，输出它们中的较大者4°，然后，在开关电路A中, 因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出7°，然后，在开关电路C中,，开关电路C的输入端接上面的高电平1和sin50计算电路输出的sin50，因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出sin50°，然后，在反相器A中，将4°V变成0V，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路D中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，经过sin4计算电路得到sin4的值，加法器A的输入端接上面的sin50和sin4，然后，在加法器A中用sin50°加上sin4°得到sin57°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如，计算sin61°，
首先，在减法器A中用61°减去60°得到1°，然后，在减法器B中用1°减去3°得到-2°，在电压比较器A中，用0°和-2°相互比较，输出它们中的较大者0°，然后，在开关电路A中, 因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在反相器A中，将0V变成1V，然后，在开关电路B中,，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出1°，然后，在减法器C中用3°减去1°得到2°，最后将2°接到sin2°计算电路中，经过sin2计算电路得到sin2的值，然后，在开关电路D中,，开关电路D的输入端接上面的高电平1和sin2计算电路输出的sin2，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出sin2°，然后，在减法器D中用sin60°减去2°得到sin61°，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
上面的电路是计算sin4°值，上面各选择电路和基准电压为4°的电路相同，
基准电压3°的选择电路，
例如3°<4°，
第四个电压比较器输出4°，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是待测参数4，因为3°<4°，所以电压比较器输出较大的电压输出4°，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是刚才输出的电压4，
因为3<4，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4°，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4°，
因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，
基准电压4°的选择电路，
例如4°=4°，第四个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是待测参数4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是刚才输出的电压4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压5°的选择电路，例如4°<5°，第四个电压比较器输出5°，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是待测参数4，因为5>4，所以电压比较器输出较大的电压输出5，第五个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是刚才输出的电压5，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第六个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是上面那路第六个电压比较器输出的4，一个是现在这路第六个电压比较器输出的电压0，因为4>0，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第三个开关电路器输出sin4°，因为第六个电压比较器输出4，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出判断电路测量出来的函数值sin4，下面各选择电路和基准电压为6°的电路相同，
用电压比较器计算cosx,
计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和，
cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和，
这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。
测量线圈转动38°产生DC0.663225V的感应电压，38°是角度值化成弧度值就是0.663225, 10°化为弧度值就是0.174533V, 用电压DC0.174533V就代表10°的角度,
用电压比较器计算tanx的电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V, 假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V, 其它弧度值和上面类似, 假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
如果0°≤AB°<40°
那么，tgAB°≈tgA0°+1.3tgB°
如果40°≤AB°C<73° 那么，tgAB°≈tgA0°+1.2*tg(2*B°) 如果73°≤AB°C<79°
那么，tgAB°C≈tg73°+1.1*(B-3)*tg12°+tg6°*C/10
如果79°≤AB°C<83° 那么，tgAB°C≈tg79°+(AB-78)tg33°+tg10°C/10 如果83°≤AB<86° 那么，tgAB°C≈tg83°+1.1(AB-83)tg57°+tg17°C/10 如果86°≤AB<87° 那么，tgAB°C≈tg86+tg36C/10 如果87°≤AB<88° 那么，tgAB°C≈tg87+tg55C/10 如果88°≤AB<89° 那么，tgAB°C≈tg88°+1.3tg74°C/10 如果AB=89° 那么，tgAB°C≈57.29
如果AB=89°10那么，tgAB°C≈68.75
如果AB=89°20那么，tgAB°C≈85.94
如果AB=89°30那么，tgAB°C≈114.6
如果AB=89°40那么，tgAB°C≈171.9
如果AB=89°50那么，tgAB°C≈343.8
例如,
tg24°≈tg20°+1.3tg4°≈0.3640+1.30.0699≈0.45487
tg34°≈tg30°+1.3tg4°≈0.5744+1.30.0699≈0.66527
tg48°≈tg40°+1.2tg(28°)≈tg40°+1.2tg16°≈0.8391+1.20.2867≈1.18314
tg56°≈tg50°+1.2tg(26°)≈tg50°+1.2tg12°≈1.19818+1.20.2126≈1.4533
tg63°≈tg60°+1.2tg(23°)≈tg60°+1.2tg6°≈1.732+1.20.1051≈1.85812
tg76°10≈tg73°+1.1*(6-3)*tg12°+tg6*C/10≈tg73°+1.13tg12°+tg6°≈3.271+1.130.2126+0.1051≈4.07768
tg76°20≈tg73°+1.1*(6-3)*tg12°+tg6*C/10≈tg73°+1.13tg12°+2tg6°≈3.271+1.130.2126+0.10512≈4.18278
tg77°10≈tg73°+1.1*(7-3)*tg12°+tg6°*C/10≈tg73°+1.14tg12°+tg6°≈3.271+1.140.2126+0.10512≈4.41664
tg78°30≈tg73°+1.1*(8-3)*tg12°+tg6°*C/10≈tg73°+1.15tg12°+3tg6°≈3.271+1.150.2126+0.10513≈4.7556
tg82°10≈tg79°+(82-79)*tg33°+tg10°≈tg79°+3*tg33°+tg10°≈5.145+3*0.6494+0.1763≈7.2695 tg82°40≈tg79°+(82-79)tg33°+4tg10°≈tg79°+3tg33°+4tg10°≈5.145+30.6494+40.1763≈7.7984
tg84°50≈tg83°+1.1*(84-83)*tg57°+5*tg17°≈tg83°+1.1*tg57°+5*tg17°≈8.144+1.1*1.5399+5*0.3057≈11.36639 tg85°30≈tg83°+1.1(85-83)tg57°+3tg17°≈tg83°+1.12tg57°+3tg17°≈8.144+1.121.5399+30.3057≈12.4488
tg86°40≈tg86°+4*tg36°≈14.30+4*0.7265≈17.206 tg87°20≈tg87°+2tg55≈19.08+21.4281≈21.9362
tg88°40≈tg88°+1.3*4*tg74≈28.64+1.3*4*3.487≈46.7724 tg89°20≈85.94
tg89°30≈114.6 三角函数表可以查《中学数学用表》 角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》, tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和, 由于tgAB的图像不是直线，是曲线，, tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》, tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C=tbA0+1.3*tgB+tgC`来表示,
cotx计算电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V, 假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V, 其它弧度值和上面类似, 假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
例如,
如果50°≤AB°<90°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.3ctg(90°-B°)
如果17°≤AB°<50°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.4ctg(90°-2B°)
如果11°≤AB°C<17° 那么，ctgAB°C≈ctg11°-1.6(B-1)ctg78°-ctg84°C/10 如果7°≤AB°C<11°
那么，ctgAB°C≈ctg7°-1.5*(AB-7)*ctg57°-ctg80°*C/10
如果4°≤AB<7°
那么，ctgAB°C≈ctg4°-1.5*(AB-7)*ctg33°-ctg63°*C/10
如果3°≤AB<4°
那么，ctgAB°C≈ctg3°-ctg48°*C/10
如果2°≤AB<3°
那么，ctgAB°C≈ctg2°-ctg28°*C/10
如果1°≤AB<2°
那么，ctgAB°C≈ctg1°-1.5*ctg14°*C/10
如果AB=1°
那么，ctgAB°C≈57.29 如果AB=0°10
那么，ctgAB°C≈68.75 如果AB=0°20
那么，ctgAB°C≈85.94 如果AB=0°30
那么，ctgAB°C≈114.6 如果AB=0°40
那么，ctgAB°C≈171.9 如果AB=0°50
那么，ctgAB°C≈343.8 例如, ctg66°≈ctg60°-1.3*tg(90°-6°)≈0.5774-1.3*0.1051≈0.440237 ctg55°≈ctg50°-1.3*tg(90°-5°)≈0.8391-1.3*0.0875≈0.72535 ctg43°≈ctg40°-1.4*ctg(90°-2*3°)≈ctg40°-1.4*ctg84°≈1.1918-1.4*0.1051≈1.04466 ctg36°≈ctg30°-1.4*ctg(90°-2*6°)≈ctg30°-1.4*ctg78°≈1.7321-0.2126*1.4≈1.43446 ctg13°30≈ctg11°-1.6*(3-1)ctg78°-ctg84C/10≈ctg11°-1.6*2*ctg78°-3*ctg84°≈5.145-1.6*2*0.2126-3*0.1051≈4.14815 ctg12°40≈ctg11°-1.6*(2-1)ctg78°-ctg84C/10≈ctg11°-1.6*ctg78°-4*ctg84°≈5.145-1.6*0.2126-4*0.1051≈4.38444 ctg8°30≈ctg7°-1.5*(8-7)ctg57°-ctg80C/10≈ctg7°-1.5*ctg57°-3*ctg80°≈8.144-1.5*0.6494-3*0.1763≈6.6641 ctg9°20≈ctg7°-1.5*(9-7)ctg57°-ctg80C/10≈ctg7°-1.5*2*ctg57°-2*ctg80°≈8.144-1.5*2*0.6494-2*0.1763≈5.8396 ctg5°40≈ctg4°-1.5*(5-4)ctg33°-ctg63C/10≈ctg4°-1.5*ctg33°-4*ctg63°≈14.30-1.5*1.5399-4*0.5095≈9.95215 ctg4°30≈ctg4°-1.5*(4-4)ctg33°-ctg63C/10≈ctg4°-0*ctg33°-3*ctg63°≈14.30-0*1.5399-3*0.5095≈12.7715 ctg3°40≈ctg3°-ctg48C/10≈ctg3°-4*ctg48°≈19.08-4*0.9004≈15.4784 ctg2°40≈ctg2°-ctg28C/10≈ctg2°-4*ctg28°≈28.64-4*1.881≈21.116 ctg1°40≈ctg1°-1.5ctg14*C/10≈ctg1°-1.5*4*ctg14°≈57.29-1.5*4*4.011≈33.224 ctg20≈85.94
ctg30`≈114.6
三角函数表可以查《中学数学用表》, 角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》, tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和, 由于tgAB的图像不是直线，是曲线，, tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》, tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C=tbA0+1.3*tgB+tgC来表示,
lgx计算电路
如果1.0≤A.BC<1.5，
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C，
. 如果1.5≤A.BC<2.0，
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5，
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C，
如果2.5≤A.BC<3.0，
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C，
如果3.0≤A.BC<4.0，
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C，
如果4.0≤A.BC<5.0，
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C，
如果5.0≤A.BC<6.0，
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C，
如果6.0≤A.BC<7.0，
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C，
如果7.0≤A.BC<8.0，
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C，
如果8.0≤A.BC<9.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C，
如果9.0≤A.BC<10.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C，
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来，
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
计算lnx的电路
推导过程依据《中学数学用表》
如果1.0≤A.BC<1.3
那么，lnA.BC≈ln1.2-0.089*(2-B)+0.009C
如果1.3≤A.BC<1.7
那么，lnA.BC≈ln1.6-0.069(6-B)+0.0071C
如果1.7≤A.BC<2.1
那么，lnA.BC≈ln2.0-0.055(10-B)+0.0057C
如果2.1≤A.BC<2.5
那么，lnA.BC≈ln2.4-0.045(4-B)+0.0049C
如果2.5≤A.BC<2.8
那么，lnA.BC≈ln2.7-0.040(7-B)+0.0041C
如果2.8≤A.BC<3.1
那么，lnA.BC≈ln3.0-0.034(10-B)+0.0035C
如果3.1≤A.BC<4.0
那么，lnA.BC≈ln3.9-0.027(9-B)+0.0027C
如果4.0≤A.BC<4.5
那么，lnA.BC≈ln4.4-0.023(4-B)+0.0023C
如果4.5≤A.BC<5.2
那么，lnA.BC≈ln5.1-0.019(11-B)+0.0019C
如果5.2≤A.BC<6.0
那么，lnA.BC≈ln5.9-0.018(9-B)+0.0018C
如果6.0≤A.BC<6.8
那么，lnA.BC≈ln6.7-0.016(7-B)+0.0016C
如果6.8≤A.BC<7.7
那么，lnA.BC≈ln7.6-0.014(16-B)+0.0014C
如果7.7≤A.BC<8.6
那么，lnA.BC≈ln8.5-0.012(15-B)+0.0012C
如果8.6≤A.BC<9.6
那么，lnA.BC≈ln9.5-0.011(15-B)+0.0011C
如果9.6≤A.BC<10.0
那么，lnA.BC≈ln9.9-0.010(15-B)+0.0010C
ln10.0≈2.3026
下面这些公式可以从自然对数表，通过数学归纳法推测出来
例如,
ln1.13≈ln1.2-0.089(2-1)+30.009≈0.1823-0.089+0.027≈0.1203
ln1.19≈ln1.2-0.089(2-1)+90.009≈0.1823-0.089+0.081≈0.1743
ln1.07≈ln1.2-0.089(2-0)+70.009≈0.1823-0.0892+0.063≈0.0673
ln1.32≈ln1.6-0.069*(6-3)+20.0065≈0.4700-0.0693+20.0071≈0.2772
ln1.45≈ln1.6-0.069(6-4)+50.0065≈0.4700-0.0692+50.0071≈0.3675
ln1.84≈ln2.0-0.055(10-8)+40.0057≈0.6931-0.0552+40.0057≈0.6059
ln1.92≈ln2.0-0.055(10-9)+20.0057≈0.6931-0.055+20.0057≈0.6495
ln2.26≈ln2.4-0.045*(4-2)+60.0049≈0.8755-0.0452+60.0049≈0.8149
ln2.67≈ln2.7-0.040(7-6)+70.0041≈0.9933-0.040+70.0041≈0.982
ln2.78≈ln2.7-0.040*(7-7)+80.0041≈0.9933+80.0041≈1.6201
ln2.84≈ln3.0-0.034*(10-8)+40.0035≈1.0986-0.0342+40.0035≈1.0446
ln3.59≈ln3.9-0.027(9-5)+90.0027≈1.3610-0.0274+90.0027≈1.2557
ln4.24≈ln4.4-0.023(4-2)+40.0023≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448
ln4.73≈ln5.0-0.020(10-7)+30.0020≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448
ln4.94≈ln5.1-0.019(11-9)+40.0019≈1.6292-0.0192+40.0019≈1.5988
ln5.67≈ln5.9-0.018(9-6)+70.0018≈1.7750-0.0183+70.0018≈1.7336
ln6.57≈ln6.7-0.016(7-5)+70.0016≈1.9021-0.0162+70.0016≈1.8813
ln7.28≈ln7.6-0.014(16-12)+80.0014≈2.0281-0.0144+80.0014≈1.9833
ln8.19≈ln8.5-0.012(15-11)+90.0012≈2.1401-0.0124+90.0012≈2.1029
ln9.14≈ln9.5-0.011(15-11)+40.0011≈2.2513-0.0114+40.0011≈2.2117
ln9.72≈ln9.9-0.010(9-7)+20.0010≈2.2925-0.0102+20.0010≈2.2745
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到
lnABC=ln(A.BC100)=lnA.BC+ln100=lnA.BC+4.60517
lnAB.C=ln(A.BC10)=lnA.BC+ln10=lnA.BC+2.302585
ln11.3=ln(1.1310)=ln1.13+ln10≈0.1203+2.302583=2.422883
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册
398.对数的计算
由上面的推导可知
ln n
log n=
a ln a
例如：
当a=10时，
1
M= =0.4329
ln 10
log 5=1.609434*0.4329=0.696723
10
ln 5
log 5= =1.609437/2.302585≈0.3989
10 ln 10
当a=6时，
1
M= =0.55811
ln 6
log 5=1.609434*0.55811=0.898051
6
ln 5
log 5= =1.609437/1.7917≈0.89827
6 ln 6
当a=3时，
1
M= =0.910241
ln 3
log 5=1.609434*0.910241=1.46497
3
ln 5
log 5= =1.609437/1.09861≈1.46497
3 ln 3
由上面的推导可知：任何一个对数都可以化为这个对数的幂的自然对数除以这个对数的底的自然对数, 任何一个数的自然对数可以查自然对数表,
因为,
ln n
log n=
10 ln 10
所以,
log n=0.4329*ln
10
用电压比较器计算logsinx的电路
推导过程依据《中学数学用表》
推导过程可参见《对数表新编》冯度编开明书店出版1935年版
S与T之值及其对数表,
1.若α为自0°-2°之角则
log sinα=log α+S, log tanα=log α+T,
log cotα=-colog tan α,
log α=log sinα-S log α=log tanα-T
log α=colog tan α-T 注意：如果log cotα=n,则colog cotα=(10-n) - 10 例如log cotx=1.67604, colog cotx=8.32396 - 10 =-1.32396 例，log tanx=1.55407, colog tanx=8.44593 - 10=-1.44593 2.若α为自88°-90°之角则 log cosα=log (90°-α)+S
log cotα=log (90°-α)+T log tanα=-colog cot α log (90°-α)=log cosα-S
log (90°-α)=log cotα-T log (90°-α) =colog tan α-T
α=90°-(90°-α)
由下表取得S与T之值应各附记-10于其后
从下面的表中查到的S,T值，应该在后面写上-10这个记号
α`` S log sinα
0
4.68557
2409 8.06740
4.68556
3417 8.21920
4.68555
3823 8.26795
4.68555
4190 8.30776
4.68554
4840 8.37038
4.68553
5414 8.41904
4.68552
5932 8.45872
4.68551
6408 8.49233
4.68550
6633 8.50721
4.68550
6851 8.52125
4.68549
7267 8.54684
αT log tanα 0 4.68557 200 6.98660 4.68558 1726 7.92263 4.68559 2432 8.07156 4.68560 2976 8.15924 4.68561 3434 8.22142 4.68562 3838 8.26973 4.68563 4204 8.30930 4.68564 4540 8.34270 4.68565 4699 8.35766 4.68565 4853 8.37167 4.68566 5146 8.39713 4.68567 5424 8.41999 4.68568 5689 8.44072 4.68569 5941 8.45955 4.68570 6184 8.47697 4.68571 6417 8.49305 4.68572 6642 8.50802 4.68573 6859 8.52200 4.68574 7070 8.53516 4.68575 7173 8.54145 4.68575 7274 8.54753 正弦对数表1 22.求自0°-2°或自88°-90°之三角函数对数， 欲较第二表更为精密时，当用本表求之，表中S与T之定义如下：S=log sinα-log α, T=log tanα-log α,取S与T之值时，应各附记-10于其后，举例如下： 例1，求log sin°58`17,log cos88°2641.2`` 0°5817=3497
log3497 =3.54370
相加 + S =4.68555 - 10
log sin00°5817``=8.22925 - 10=-1.77075 log sin00°5817=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075 90°-88°26`41.2=1°3318.8`` =5598.8`` log5598.8=3.74809 相加 + S =4.68552 - 10 log cos88°2641.2=8.43361 - 10=-1.56639 log cos88°26`41.2=log5598.8+4.68553-10≈3.74809+4.68553 - 10 ≈8.43362 - 10 ≈-1.56639
给后面标记-10的意思就是给前面的数减去10
例2，求log tan0°5247.5``,log tan89°5437.3620°52`47.5=3167.5log3167.5 =3.50072 相加 + T =4.68561 - 10 log tan00°52`47.5=8.18663 - 10=-1.81337
log tan00°5247.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50072+4.68561 - 10≈8.18663 - 10 ≈-1.81337 90°-89°5437.362=0°5`22.638
=322.638log322.638=2.50871 相加 + T =4.68558 - 10 log cot89°54`37.362=7.19429 - 10=-2.80571
log cot89°5437.362``=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80571 log tan89°5437.362=-log cot89°54`37.362=2.80571
例3，log sinx=6.72306 - 10,求x
6.72306-10
相减 - S=4.68557-10
2.03749 =lg109.015
109.015=0°1`48.015
例4，log cotx=1.67604,求x
colog cotx=8.32396 - 10=-1.67604
相减 - T=4.68564 – 10
3.63832 =lg4348.3
5757.6=1°35`57.6
90°-1°3557.6``=88°242.4∴x=88°22`2.4
20.此表列三角函数之对数，第21页以每秒计，凡在0-3之角，由上而下检之，左边()行即为秒数。自89°57`-90°，则由下而上检之，秒数列于右边()行，第22页至第27页，以每10秒计，由上而下为3-2,(),(``)列于左边，由下而上，为88°-89°57,(),(``)列于右边，第28页至第70页以每分计，由上而下，为2°-45°，()在左边，由下而上，为45°-88°,()列在右边，其cd及d行为相邻两定值部分之差数，其PP行为计分之小数之比例分，第21页至第27页检得之对数。因定位部分系负数，应各附记-10于其后，自第28页至第70页之对数，除在第三直行外，其在第一，四直行者应各附记-10于其后, 例1, 第47页, log sin 21°37=9.56631 - 10=-0.56631,
第70页, log tan 45°59=10.01491 - 10=-0.01491, 例2, 第67页, log cos x=9.87468 - 10=-0.87468,x=41°28,
第39页, log cot x=9.39353 - 10=-0.39353,x=76°6, 例3求log tan70°468, 因8-8/60=0.13``,检第45页，logtan70°46之定值部分为45731，其为47之定值部分之差为41, 检PP行，41之0.1比例分为4.1；0.03之比例分为1.23；则41之0.13比例分约为5, 故所求之定值部分为4571+5=45736, 故log tan 70°468=0.45736, 例4，求log cos 47°35`4,
因4=4`/60=0.07`,检第68页，log cos 47°35`之定值部分为82899，其与36`之定值部分之差为14, 检PP行，14之0.07比例分为0.98, 故所求之定值部分为82899-1=82898, 故log cos 47°35`4=9.82898 – 10, 注意：凡角增大时，则log sin及log tan亦增大，而log cos及log cot则减小,
计算logsinx的公式：
logsinα计算公式，当0°<α<2°时，
如果if 0°≤α<2°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断正弦对数值，log sinα=log α+S，log tanα=log α+T，上式中，α=MN°WST``，α``=3600*MN+60*WS+T，log α``/1000=lgA.BC， 如果0≤α``<7267，那么，log sinα=log α``/1000+3+4.68553=lg A.BC+3+4.68553，计算log sinα时，首先计算logα``/1000,再加上3，最后加上4.68553，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log sinα的值，例如: log sin0°5817=log3497+4.68555≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075， log sin0°58`17=log3492+4.68553≈3.5408+4.68553 - 10≈8.22633 - 10 ≈-1.77376，
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，
00°58`17≈0.016953， 计算logα/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5，
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
. 如果1.5≤A.BC<2.0，
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5，
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C，
如果2.5≤A.BC<3.0，
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C，
如果3.0≤A.BC<4.0，
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C，
如果4.0≤A.BC<5.0，
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C，
如果5.0≤A.BC<6.0，
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C，
如果6.0≤A.BC<7.0，
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C，
如果7.0≤A.BC<8.0，
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C，
如果8.0≤A.BC<9.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C，
如果9.0≤A.BC<10.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C，
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来，
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从正弦对数表，通过数学归纳法推测出来，
α=MN°WST`` logsinα计算公式，当2°≤α<8°时 如果2°≤MN°WS<3°
那么，log sinN°WS≈log sin 2°+0.033*W+0.0030*S 如果3°≤MN°WS<4°
那么，log sinN°WS≈log sin 3°+0.022*W+0.0022*S 如果4°≤MN°WS<5°
那么，log sinN°WS≈log sin 4°+0.016*W+0.0016*S 如果5°≤MN°WS<6°
那么，log sinN°WS≈log sin 5°+0.014*W+0.0013*S 如果6°≤MN°WS<7°
那么，log sinN°WS≈log sin 6°+0.011*W+0.0011*S 如果7°≤MN°WS<8°
那么，log sinN°WS`≈log sin 7°+0.010W+0.0009S
logsinα计算公式，当8°≤α<14°时
如果8°≤MN°WS<11° 那么，log sinN°WS≈log sin 8°+0.05*(N-8)+0.008W+0.0007S
如果11°≤MN°WS<14° 那么，log sinN°WS≈log sin 11°+0.035*(MN-11)+0.005W+0.0005S
logsinα计算公式，当14°≤α<85°时
如果14°≤MN°WS<20° 那么，log sinN°WS≈log sin 14°+0.03*(MN-14)+0.0025*WS/6如果20°≤MN°WS<30°
那么，log sinN°WS≈log sin 20°+0.02*(MN-20)+0.0015*WS/6
如果30°≤MN°WS<50° 那么，log sinN°WS≈log sin 30°+0.01*(MN-30)+0.0009WS/6如果50°≤MN°WS<60°
那么，log sinN°WS≈log sin 50°+0.006*(MN-50)+0.0005*WS/6
如果60°≤MN°WS<70° 那么，log sinN°WS≈log sin 60°+0.004(MN-60)+0.0004WS/6如果70°≤MN°WS<80°
那么，log sinN°WS≈log sin 70°+0.002*(MN-70)+0.0003*WS/6
如果80°≤MN°WS<85° 那么，log sinN°WS≈log sin 80°+0.001(MN-80)+0.0001WS/6如果85°≤MN°WS<90°
那么，log sinN°WS≈-0.0001 例如， log sin 2°38≈log sin 2°+0.0333+0.0038≈-2+0.5428+0.0333+0.0038≈-1.3342
log sin 3°34≈log sin 3°+0.022*3+0.0022*4≈-2+0.7188+0.022*3+0.0022*4≈-1.2064 log sin 4°32≈log sin 4°+0.0163+0.00162≈-2+0.8436+0.0163+0.00162≈-1.1053
log sin 5°37≈log sin 5°+0.014*3+0.0013*7≈-2+0.9403+0.014*3+0.0013*7≈-1.0086 log sin 6°38≈log sin 6°+0.0113+0.00118≈-1+0.0192+0.0113+0.00118≈-0.939
log sin 7°33≈log sin 7°+0.010*3+0.0009*3≈-1+0.0859+0.010*3+0.0009*3≈-0.8814 log sin 9°34≈log sin 8°+0.05(9-8)+0.0083+0.00074≈-1+0.1436+0.05+0.0083+0.00074≈-0.7796
log sin 12°36≈log sin 11°+0.035*(12-11)+0.005*3+0.0005*6≈-1+0.2806+0.035+0.005*3+0.0005*6≈-0.6664 log sin 15°40≈log sin 14°+0.03*(15-14)+0.0025*(40/6)≈-1+0.3827+0.03+0.000256≈-0.5858
log sin 25°51≈log sin 20°+0.02*(25-20)+0.0015*(51/6)≈-1+0.5341+0.02*5+0.0015*8≈-0.3539 log sin 41°32≈log sin 30°+0.01(41-30)+0.0009*(32/6)≈-1+0.6990+0.0111+0.00095≈-0.1865
log sin 55°43≈log sin 50°+0.006*(55-50)+0.0005*(43/6)≈-1+0.8843+0.006*5+0.0005*7≈-0.0842 log sin 65°22≈log sin 60°+0.004*(65-60)+0.0004*(22/6)≈-1+0.9375+0.0045+0.00043≈-0.0413
log sin 75°56≈log sin 70°+0.002*(75-70)+0.0003*(56/6)≈-1+0.9730+0.002*5+0.0003*9≈-0.0143 log sin 82°41≈log sin 80°+0.001*(82-80)+0.0001*(41/6)≈-1+0.9934+0.0015+0.00016≈-0.001
log sin 82°41`≈log sin 80°+0.001*(82-80)+0.0001*(41/6)≈-1+0.9934+0.0015+0.00016≈-0.001
log sin85°≈-1+0.9983≈-0.0017
logcosx计算电路
logcosα计算公式，当88°<α<90°时, 如果if 88°≤α<90°, 根据《对数表新编》中的S,T公式，判断余弦对数值, log cosα=log (90°-α)+S, log cotα=log (90°-α)+T, 上式中, 90°-α=MN°WST``,(90°-α)``=3600*MN+60*WS+T, log (90°-α``)/1000=lgA.BC, 如果0≤(90°-α``)<7267, 那么，log cosα=log (90°-α``)/1000+3+4.68553=lg A.BC+3+4.68553, 计算log cosα时，首先计算log(90°-α``)/1000,再加上3，最后加上4.68553, 这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log sinα的值, 例如: log cos88°2641.2=log5598.8+4.68553≈3.74809+4.68553 - 10 ≈8.43362 - 10 ≈-1.56639, log cos88°26`41.2=log5591.87+4.68553≈3.7462+4.68553 - 10 ≈8.43173 - 10 ≈-1.56827,
0.02714510000=271.4520.6=5591.87,
90°-88°2641.2``=1°3318.8=0.027145, 计算logα/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来,
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
如果0≤α<2409 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68557
如果2409≤α<3417 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68556
如果3417≤α<4190 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68555
如果4190≤α<4840 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68554
如果4840≤α<5414 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68553
如果5414≤α<5932 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68552
如果5932≤α<6408 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68551
如果6408≤α<6851 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68550
如果6851≤α<7267 那么，log cosα=log (90°-α)/1000+3+4.68549
log sinx=log cos(90°-x)
sinx=cos(90°-x)
log cosx=;og cos(90°-x)
cosx=sin(90°-x)
log tanx=log cot(90°-x)
tanx=cot(90°-x)
log cotx=log tan(90°-x)
cotx=tan(90°-x)
下面这些公式可以从余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WST`` logcosα计算公式，当0°≤α<88°时 如果0°≤MN°WS<5°
那么，log cosN°WS≈-0.0001 logcosα计算公式，当5°≤α<76°时 如果5°≤MN°WS<10°
那么，log cosN°WS≈log cos 5°-(N-5)*0.0010-0.0001*WS/6 如果10°≤MN°WS<15°
那么，log cosN°WS≈log cos 10°-(MN-10)*0.0015-0.0002*WS/6 如果15°≤MN°WS<20°
那么，log cosN°WS≈log cos 15°-(MN-15)*0.0023-0.0002*WS/6 如果20°≤MN°WS<25°
那么，log cosN°WS≈log cos 20°-(MN-20)*0.0029-0.0003*WS/6 如果25°≤MN°WS<30°
那么，log cosN°WS≈log cos 25°-(MN-25)*0.0039-0.0004*WS/6 如果30°≤MN°WS<35°
那么，log cosN°WS≈log cos 30°-(MN-30)*0.0048-0.0005*WS/6 如果35°≤MN°WS<40°
那么，log cosN°WS≈log cos 35°-(MN-35)*0.0056-0.0006*WS/6 如果40°≤MN°WS<45°
那么，log cosN°WS≈log cos 40°-(MN-40)*0.0070-0.0007*WS/6 如果45°≤MN°WS<50°
那么，log cosN°WS≈log cos 45°-(MN-45)*0.0083-0.0008*WS/6 如果50°≤MN°WS<55°
那么，log cosN°WS≈log cos 50°-(MN-50)*0.0098-0.001*WS/6 如果55°≤MN°WS<60°
那么，log cosN°WS≈log cos 55°-(MN-55)*0.0119-0.0012*WS/6 如果60°≤MN°WS<65°
那么，log cosN°WS≈log cos 60°-(MN-60)*0.0146-0.0016*WS/6 如果65°≤MN°WS<70°
那么，log cosN°WS≈log cos 65°-(MN-65)*0.0183-0.0018*WS/6 如果70°≤MN°WS<73°
那么，log cosN°WS≈log cos 70°-(MN-70)*0.0215-0.0022*WS/6 如果73°≤MN°WS<76°
那么，log cosN°WS≈log cos 73°-(MN-73)*0.0265-0.0026*WS/6 logsinα计算公式，当76°≤α<88°时 如果76°≤MN°WS<77°
那么，log cosN°WS≈log cos 76°-0.0052*W-0.0005*S 如果77°≤MN°WS<78°
那么，log cosN°WS≈log cos 77°-0.0058*W-0.0006*S 如果78°≤MN°WS<79°
那么，log cosN°WS≈log cos 78°-0.0061*W-0.0006*S 如果79°≤MN°WS<80°
那么，log cosN°WS≈log cos 79°-0.0068*W-0.0007*S 如果80°≤MN°WS<81°
那么，log cosN°WS≈log cos 80°-0.0075*W-0.0008*S 如果81°≤MN°WS<82°
那么，log cosN°WS≈log cos 81°-0.0084*W-0.0009*S 如果82°≤MN°WS<83°
那么，log cosN°WS≈log cos 82°-0.0095*W-0.0010*S 如果83°≤MN°WS<84°
那么，log cosN°WS≈log cos 83°-0.0109*W-0.0011*S 如果84°≤MN°WS<85°
那么，log cosN°WS≈log cos 84°-0.0134*W-0.0013*S 如果85°≤MN°WS<86°
那么，log cosN°WS≈log cos 85°-0.0158*W-0.0015*S 如果86°≤MN°WS<87°
那么，log cosN°WS≈log cos 86°-0.0212*W-0.0021*S 如果87°≤MN°WS<88°
那么，log cosN°WS≈log cos 87°-0.0280*W-0.0029*S 例如， log cos 7°33≈log cos 5°-0.001*(7-5)-0.0001*(33/6)≈-1+0.9983-0.0012-0.00015≈-0.0072
log cos 12°25≈log cos 10°-0.0015*(12-10)-0.0002*(25/6)≈-1+0.9934-0.0015*2-0.0002*4≈-0.0104 log cos 17°46≈log cos 15°-0.0023*(17-15)-0.0002*(46/6)≈-1+0.9849-0.00232-0.00027≈-0.0212
log cos 22°55≈log cos 20°-0.0029*(22-20)-0.0003*(46/6)≈-1+0.9730-0.0029*2-0.0003*7≈-0.0342 log cos 27°31≈log cos 25°-0.0039*(27-25)-0.0004*(46/6)≈-1+0.9573-0.00392-0.00047≈-0.0533
log cos 32°43≈log cos 30°-0.0048*(32-30)-0.0005*(43/6)≈-1+0.9375-0.0048*2-0.0005*7≈-0.0756 log cos 37°23≈log cos 35°-0.0056*(37-35)-0.0006*(23/6)≈-1+0.9134-0.00562-0.00063≈-0.0996
log cos 42°56≈log cos 40°-0.0070*(42-40)-0.0007*(56/6)≈-1+0.8843-0.0070*2-0.0007*9≈-0.136 log cos 47°37≈log cos 45°-0.0083*(47-45)-0.0008*(37/6)≈-1+0.8495-0.00832-0.00086≈-0.1719
log cos 52°51≈log cos 50°-0.0098*(52-50)-0.001*(51/6)≈-1+0.8081-0.0098*2-0.001*8≈-0.2195 log cos 57°41≈log cos 55°-0.0119*(57-55)-0.0012*(41/6)≈-1+0.7586-0.01192-0.00126≈-0.2724
log cos 62°32≈log cos 60°-0.0146*(62-60)-0.0016*(32/6)≈-1+0.6990-0.0146*2-0.0016*5≈-0.3383 log cos 67°52≈log cos 65°-0.0183*(67-65)-0.0018*(52/6)≈-1+0.6259-0.01832-0.00188≈-0.4251
log cos 72°47≈log cos 70°-0.0215*(72-70)-0.0022*(47/6)≈-1+0.5341-0.0215*2-0.0022*7≈-0.5243 log cos 75°33≈log cos 73°-0.0265*(75-73)-0.0026*(33/6)≈-1+0.4659-0.02652-0.00265≈-0.6001
log cos 76°25≈log cos 76°-0.0052*2-0.0005*5≈-1+0.3837-0.0052*2-0.0005*5≈-0.6292 log cos 77°34≈log cos 77°-0.00583-0.00064≈-1+0.3521-0.00583-0.00064≈-0.6677
log cos 78°26≈log cos 78°-0.0061*2-0.0006*6≈-1+0.3179-0.0061*2-0.0006*6≈-0.6979 log cos 79°33≈log cos 79°-0.00683-0.00073≈-1+0.2806-0.00683-0.00073≈-0.7419
log cos 80°34≈log cos 80°-0.0075*3-0.0008*4≈-1+0.2397-0.0075*3-0.0008*4≈-0.786 log cos 81°27≈log cos 81°-0.00842-0.00097≈-1+0.1943-0.00842-0.00097≈-0.8288
log cos 82°36≈log cos 82°-0.0095*3-0.0010*6≈-1+0.1436-0.0095*3-0.0010*6≈-0.8909 log cos 83°35≈log cos 83°-0.01093-0.00115≈-1+0.0859-0.01093-0.00115≈-0.9523
log cos 84°32≈log cos 84°-0.0134*3-0.0013*2≈-1+0.0192-0.0134*3-0.0013*2≈-1.0236 log cos 85°37≈log cos 85°-0.01583-0.00157≈-2+0.9403-0.01583-0.00157≈-1.1176
log cos 86°33≈log cos 86°-0.0212*3-0.0021*3≈-2+0.8436-0.0212*3-0.0021*3≈-1.2263 log cos 87°27≈log cos 87°-0.02802-0.00297≈-2+0.7188-0.02802-0.00297≈-1.3575
logtanx计算电路
logtanα计算公式，当0°<α<2°时，
如果if 0°≤α<2°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断正弦对数值，log sinα=log α+S，log tanα=log α+T，上式中，α=MN°WST``，α``=3600*MN+60*WS+T，log α``/1000=lgA.BC，如果0≤α``<7267，那么，log tanα=log α``/1000+3+4.68562=lg A.BC+3+4.68562，计算log tanα时，首先计算logα``/1000,再加上3，最后加上4.68562，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log tanα的值， 例如： log tan00°5247.5=log3167.5+4.68561-10≈3.50075+4.68561 - 10≈8.18663 - 10 ≈-1.81337， 0.015354*10000*20.6=169.53*20.6=3162.924， 00°52`47.2≈0.015354，
计算logα``/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从正切对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WST`` logtanα计算公式，当2°≤α<8°时 如果2°≤MN°WS<3°
那么，log tanN°WS≈log tan 2°+0.032*W+0.0028*S 如果3°≤MN°WS<4°
那么，log tanN°WS≈log tan 3°+0.021*W+0.0021*S 如果4°≤MN°WS<5°
那么，log tanN°WS≈log tan 4°+0.015*W+0.0016*S 如果5°≤MN°WS<6°
那么，log tanN°WS≈log tan 5°+0.013*W+0.0014*S 如果6°≤MN°WS<7°
那么，log tanN°WS≈log tan 6°+0.011*W+0.0011*S 如果7°≤MN°WS<8°
那么，log tanN°WS≈log tan 7°+0.010*W+0.0009*S logtanα计算公式，当8°≤α<14°时 如果8°≤MN°WS<11°
那么，log tanN°WS≈log tan 8°+0.05*(MN-8)+0.008*W+0.0007*S 如果11°≤MN°WS<14°
那么，log tanN°WS≈log tan 11°+0.04*(MN-11)+0.006*W+0.0007*S logtanα计算公式，当14°≤α<76°时 如果14°≤MN°WS<20°
那么，log tanN°WS≈log tan 14°+0.03*(MN-14)+0.0028*WS/6
如果20°≤MN°WS<30° 那么，log tanN°WS≈log tan 20°+0.02*(MN-20)+0.0021WS/6如果30°≤MN°WS<45°
那么，log tanN°WS≈log tan 30°+0.016*(MN-30)+0.0019*WS/6
如果45°≤MN°WS<55° 那么，log tanN°WS≈log tan 45°+0.015(MN-45)+0.0016WS/6如果55°≤MN°WS<65°
那么，log tanN°WS≈log tan 55°+0.018*(MN-55)+0.0019*WS/6
如果65°≤MN°WS<70° 那么，log tanN°WS≈log tan 65°+0.020(MN-65)+0.0021WS/6如果70°≤MN°WS<76°
那么，log tanN°WS≈log tan 70°+0.027*(MN-70)+0.0027*WS/6
logtanα计算公式，当76°≤α<87°时
如果76°≤MN°WS<79° 那么，log tanN°WS≈log tan 76°+0.035(MN-76)+0.006W+0.0006S
如果79°≤MN°WS<82° 那么，log tanN°WS≈log tan 79°+0.045*(MN-79)+0.007W+0.0007S
如果82°≤MN°WS<85° 那么，log tanN°WS≈log tan 79°+0.045*(MN-79)+0.007W+0.0007S
如果85°≤MN°WS<87° 那么，log tanN°WS≈log tan 85°+0.1*(MN-85)+0.018W+0.0018S
logtanα计算公式，当87°≤α<90°时
如果87°≤MN°WS<88° 那么，log tanN°WS≈log tan 87°+0.030W+0.0028S
如果88°≤MN°WS<89° 那么，log tanN°WS≈log tan 88°+0.048W+0.0036S
如果89°≤MN°WS<89°26
那么，log tanN°WS≈log tan 89°+0.085*W+0.0081*S 如果89°26≤MN°WS<90° 那么，log tanN°WS≈log tan 89°26`+0.15*(W-2)+0.021*S
例如，
log tan 2°35≈log tan 2°+0.032*3+0.0028*5≈-2+0.5431+0.032*3+0.0028*5≈-1.3468 log tan 3°36≈log tan 3°+0.0213+0.00216≈-2+0.7194+0.0213+0.00216≈-1.205
log tan 4°36≈log tan 4°+0.015*3+0.0016*6≈-2+0.8446+0.015*3+0.0016*6≈-1.1008 log tan 5°34≈log tan 5°+0.0133+0.00144≈-2+0.9420+0.0133+0.00144≈-1.0134
log tan 6°37≈log tan 6°+0.011*3+0.0011*7≈-1+0.0216+0.011*3+0.0011*7≈-0.9377 log tan 7°35≈log tan 7°+0.0103+0.00095≈-1+0.0891+0.0103+0.00095≈-0.8764
log tan 9°36≈log tan 8°+0.05*(9-8)+0.008*3+0.0007*4≈-1+0.1478+0.05+0.008*3+0.0007*4≈-0.7754 log tan 12°34≈log tan 11°+0.04*(12-11)+0.0043+0.00074≈-1+0.2887+0.04+0.0063+0.00074≈-0.6505
log tan 15°31≈log tan 14°+0.03*(15-14)+0.0028*(31/6)≈-1+0.3968+0.03+0.00028*5≈-0.5592 log tan 25°43≈log tan 20°+0.02*(25-20)+0.0021*(42/6)≈-1+0.5611+0.025+0.00217≈-0.3242
log tan 41°43≈log tan 30°+0.016*(41-30)+0.0019*(43/6)≈-1+0.7614+0.016*11+0.0017*7≈-0.0507 log tan 50°23≈log tan 45°+0.015*(50-45)+0.0016*(23/6)≈0+0.0155+0.00163≈0.0798
log tan 60°37≈log tan 55°+0.018*(60-55)+0.0019*(37/6)≈0.1548+0.018*5+0.0019*6≈0.2562 log tan 67°41≈log tan 65°+0.021*(67-65)+0.0021*(41/6)≈0.3313+0.0212+0.00216≈-0.0143
log tan 72°32`≈log tan 80°+0.027*(72-70)+0.0027*(32/6)≈0.4389+0.0272+0.00275≈0.5064
log tan 77°33≈log tan 76°+0.035*(77-76)+0.006*3+0.0006*3≈0.6032+0.035+0.006*3+0.0006*3≈0.658 log tan 80°46≈log tan 79°+0.045*(80-79)+0.0074+0.00076≈0.7113+0.045+0.0074+0.00076≈0.7885
log tan 83°46≈log tan 82°+0.06*(83-82)+0.012*4+0.0012*6≈0.8522+0.06+0.012*4+0.0012*6≈0.9674 log tan 86°35≈log tan 85°+0.1*(86-85)+0.0183+0.00185≈1.0580+0.1+0.0183+0.00185≈1.221
log tan 87°33≈log tan 87°+0.030*3+0.0028*3≈1.2808+0.030*3+0.0028*3≈1.3792 log tan 88°37≈log tan 88°+0.0483+0.00367≈1.4569+0.0483+0.00367≈1.6261
log tan 89°19≈log tan 89°+0.085*1+0.0081*9≈1.7581+0.085*1+0.0081*9≈1.916 log tan 89°46≈log tan 89°26`+0.152+0.0216≈1.0048+0.152+0.0216≈1.4308
logcotx计算电路
logcotα计算公式，当88°<α<90°时
如果if 88°≤α<90°,根据《对数表新编》中的S,T公式，判断余弦对数值, log cosα=log (90°-α)+S, log cotα=log (90°-α)+T, 上式中, 90°-α=MN°WST``,(90°-α)``=3600*MN+60*WS+T, log (90°-α``)/1000=lgA.BC, 如果0≤(90°-α``)<7267, 那么，log cotα=log (90°-α``)/1000+3+4.68567=lg A.BC+3+4.68567, 计算log cost时，首先计算log(90°-α``)/1000,再加上3，最后加上4.68567, 这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log sinα的值, 例如: log cot89°5437.362=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80571, log cot89°54`37.362=log321.978+4.68558-10≈2.5064+4.68567 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80793,
0.00156310000=15.6320.6=321.978,
90°-89°5437.362``=0°522.638=0.001563, 计算logα/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WST`` logcotα计算公式，当0°1≤α<90°时
那么，log cotN°WS≈log cot 0°1≈3.5363,
logcotα计算公式，当0°1≤α<3°时, log cot 0°1≈3.5363,
log cot 0°2≈3.2352, log cot 0°3≈3.05292,
如果0°4≤MN°WS<0°10那么，log cotN°WS≈log cot 0°4-0.07*(WS-4) 如果0°10≤MN°WS<0°34
那么，log cotN°WS≈log cot 0°10-0.25*(W-3)-0.030S
如果0°34≤MN°WS<1°
那么，log cotN°WS≈log cot 0°34-0.1W-0.0081S
如果1°≤MN°WS<2° 那么，log cotN°WS≈log cot 1°-0.055W-0.0065S
如果2°≤MN°WS<3° 那么，log cotN°WS≈log cot 2°-0.03W-0.003S
logcotα计算公式，当3°≤α<14°时
如果3°≤MN°WS<5° 那么，log cotN°WS≈log cot 3°-0.13(MN-3)-0.019W-0.0018S
如果5°≤MN°WS<8° 那么，log cotN°WS≈log cot 5°-0.08*(MN-5)-0.011W-0.0012S
如果8°≤MN°WS<11° 那么，log cotN°WS≈log cot 8°-0.05*(MN-8)-0.008W-0.0008S
如果11°≤MN°WS<14° 那么，log cotN°WS≈log cot 11°-0.04*(MN-11)-0.006W-0.0006S
logcotα计算公式，当14°≤α<76°时
如果14°≤MN°WS<20° 那么，log cotN°WS≈log cot 14°-0.028*(MN-14)-0.0028WS/6如果20°≤MN°WS<25°
那么，log cotN°WS≈log cot 20°-0.022*(MN-20)-0.0023*WS/6
如果25°≤MN°WS<35° 那么，log cotN°WS≈log cot 25°-0.019(MN-25)-0.0019WS/6如果35°≤MN°WS<45°
那么，log cotN°WS≈log cot 35°-0.015*(MN-35)-0.0016*WS/6
如果45°≤MN°WS<60° 那么，log cotN°WS≈log cot 45°-0.016(MN-45)-0.0017WS/6如果60°≤MN°WS<70°
那么，log cotN°WS≈log cot 60°-0.018*(MN-60)-0.0019*WS/6
如果70°≤MN°WS<76° 那么，log cotN°WS≈log cot 70°-0.026(MN-70)-0.0026WS/6logcotα计算公式，当76°≤α<82°时 如果76°≤MN°WS<79°
那么，log cotN°WS≈log cot 76°-0.035*(MN-76)-0.006*W-0.0006*S 如果79°≤MN°WS<82°
那么，log cotN°WS≈log cot 79°-0.045*(MN-79)-0.009*W-0.0009*S logcotα计算公式，当82°≤α<88°时 如果82°≤MN°WS<83°
那么，log cotN°WS≈log cot 82°-0.010*W-0.001*S 如果83°≤MN°WS<84°
那么，log cotN°WS≈log cot 83°-0.011*W-0.0011*S 如果84°≤MN°WS<85°
那么，log cotN°WS≈log cot 84°-0.013*W-0.0013*S 如果85°≤MN°WS<86°
那么，log cotN°WS≈log cot 85°-0.015*W-0.0015*S 如果86°≤MN°WS<87°
那么，log cotN°WS≈log cot 86°-0.020*W-0.0022*S 如果87°≤MN°WS<88°
那么，log cotN°WS≈log cot 87°-0.028*W-0.0028*S 例如, log cot0°020``≈log cot 0°1≈3.5363 log cot 0°8≈log cot 0°4-0.07*(8-4)≈2.9342-0.07*4≈2.6542 log cot 0°25≈log cot 0°10-0.25*1-0.030*5≈2.5363-0.25*1-0.030*5≈2.1363 log cot 0°48≈log cot 0°34-0.1*1-0.081*9≈2.0048-0.1*3-0.0079*9≈1.8337 log cot 1°36≈log cot 1°-0.0553-0.00656≈1.7581-0.0553-0.00656≈1.5541
log cot 2°34≈log cot 2°-0.03*3-0.003*4≈1.4569-0.03*3-0.003*4≈1.3549 log cot 4°13≈log cot 3°-0.13(4-3)-0.0191-0.00183≈1.2806-0.13-0.0191-0.00183≈1.1262
log cot 6°56≈log cot 5°-0.08*(6-5)-0.011*5-0.0012*6≈1.0580-0.08-0.011*5-0.0012*6≈0.9158 log cot 9°36≈log cot 8°-0.05*(9-8)-0.0083-0.00086≈0.8522-0.05-0.0083-0.00086≈0.7734
log cot 12°34≈log cot 11°-0.04*(12-11)-0.006*3-0.0006*4≈0.7113-0.04-0.006*3-0.0006*4≈0.6509 log cot 16°37≈log cot 14°-0.028*(16-14)-0.0028*(37/6)≈0.6032-0.0282-0.00286≈0.5304
log cot 22°41≈log cot 20°-0.022*(22-20)-0.0023*(41/6)≈0.4389-0.022*2-0.0023*6≈0.3811 log cot 27°35≈log cot 25°-0.019*(27-25)-0.0019*(35/6)≈0.3313-0.0192-0.00195≈0.2838
log cot 40°21≈log cot 35°-0.015*(40-35)-0.0016*(21/6)≈0.1548-0.015*5-0.0016*3≈0.075 log cot 55°51≈log cot 45°-0.016*(55-45)-0.0017*(51/6)≈0-0.01610-0.00178≈-0.1736
log cot 65°32≈log cot 60°-0.018*(65-60)-0.0019*(32/6)≈-0.2386-0.018*5-0.0019*5≈-0.3381 log cot 73°41≈log cot 70°-0.026*(73-70)-0.0026*(41/6)≈-0.4389-0.0263-0.00266≈-0.4675
log cot 78°15≈log cot 76°-0.035*(78-76)-0.006*1-0.0006*5≈-0.6032-0.035*2-0.006*1-0.0006*5≈-0.6822 log cot 81°13≈log cot 79°-0.045*(81-79)-0.0091-0.00093≈-0.7113-0.0452-0.0091-0.00093≈-0.813
log cot 82°34≈log cot 82°-0.01*3-0.001*4≈-0.8525-0.01*3-0.001*4≈-0.8865 log cot 83°36≈log cot 83°-0.0113-0.00116≈-0.9109-0.0113-0.00116≈-0.9505
log cot 84°34≈log cot 84°-0.013*3-0.0013*4≈-0.9784-0.013*3-0.0013*4≈-1.0226 log cot 85°33≈log cot 85°-0.0153-0.00153≈-1.058-0.0153-0.00153≈-1.1075
log cot 86°37≈log cot 86°-0.020*3-0.0022*7≈-1.1554-0.020*3-0.0022*7≈-1.2308 log cot 87°36≈log cot 87°-0.0283-0.00286≈-1.2806-0.0283-0.0028*6≈-1.3814
反对数计算电路
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024*(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10*[8.913+0.215*(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+4*0.021≈9.427
M≈94.27
反正弦对数计算电路
logsinα=x计算公式，当-4+0.4637<x<-2+0.6003时，-3.5363<x<-1.3997，-3.5363<x<-1.4，
如果if -4+0.4637<x<-2+0.6003，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断反正弦对数值
，log sinα=log α+S=x，log tanα=log α+T=x，上式中，S=4.68533，α=MN°WST``，α``=3600*MN+60*WS+T，log α``=x-S+10，log α``/1000=lgA.BC，log α``/1000=x-4.68533-3+10， 如果0≤α``<7267，那么，log sinα=log α``/1000+3+4.68553-10 =lg A.BC+3+4.68553-10， 计算α时，首先计算x-S-3+10, 再用反对数计算得到α``/1000,因为logα``/1000=x-4.68533-3+10，再用下面的公式将弧度化为度，α=MN°WST，α=3600MN+60WS+T，
例如:
log sin00°5817``=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075 log sin0°5817=log3492+4.68553-10≈3.5408+4.68553 - 10≈8.22633 - 10 ≈-1.77376 0.016953*10000*20.6=169.53*20.6=3492.318，00°58`17≈0.016953，x=-1.77376，-1.77376+10-4.68553-3=0.5408，logα/1000=0.5408，α/1000=3.492，α=0.016953
计算α``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024*(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10*[8.913+0.215*(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+4*0.021≈9.427
M≈94.27
α计算公式，其中logsinα=x，当-1.4≤x<-0.6时
-1.4≤x<-0.6, -1.3997≤x<-0.5985, -2+0.6003≤x<-1+0.4015,
x=-A.BC,
如果-1.4≤-A.BCD<-1.2，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈2°17+(3-B)*27+5*(10-C)+0.5(10-D)
如果-1.2≤-A.BCD<-1.0，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈3°38+(1-B)*59+7*(10-C)+0.5(10-D)
如果-1.0≤-A.BCD<-0.8，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈5°45+(9-B)*1°32+10*(10-C)+1(10-D)
如果-0.8≤-A.BCD<-0.6，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈9°8+(7-B)*2°23+16*(10-C)+2(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈14°36+(5-B)*3°24+25*(10-C)+2.5(10-D)
如果-0.4≤-A.BCD<-0.3，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈23°30+30(10-C)+3*(10-D) 如果-0.3≤-A.BCD<-0.2，log sinα≈-A.BCD 那么，α≈30°6+50*(10-C)+5(10-D)
如果-0.2≤-A.BCD<-0.1，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈39°12+1°16(10-C)+10*(10-D) 如果-0.1≤-A.BCD<-0.04，log sinα≈-A.BCD 那么，α≈52°36+2°10*(10-C)+13(10-D)
如果-0.04≤-A.BCD<-0.02，log sinα≈-A.BCD
那么，α≈65°48+3°30(4-C)+21*(10-D) 如果-0.02≤-A.BCDE<-0.007，log sinα≈-A.BCDE 那么，α≈72°48+26*(10-D)+1(10-E)
如果-0.007≤-A.BCDE<0.001，log sinα≈-A.BCDE
那么，α≈79°48+50(7-D)+4*(10-E) 如果-0.001≤-A.BCDE<0，log sinα≈-A.BCDE 那么，α≈86°6
下面这些公式可以从反正弦对数表，通过数学归纳法推测出来
例如,
log sin α≈-1.375
α≈2°17+(3-3)*27+5*(10-7)+0.5(10-5)≈2°17+15+2.5≈2°34.5
log sin α≈-1.284
α≈2°17+(3-2)*27+5*(10-8)+0.54≈2°17+27+10+2≈2°56log sin α≈-1.164 α≈3°38+(1-1)59+7(10-6)+0.5*4≈3°38+28+2≈4°8log sin α≈-1.055 α≈3°38+(1-0)59+7(10-5)+0.5*5≈3°38+59+35+2.5≈5°14.5
log sin α≈-0.967
α≈5°45+(9-9)*1°32+10*(10-6)+17≈5°45+40+7≈6°32
log sin α≈-0.833
α≈5°45+(9-8)*1°32+10*(10-3)+13≈5°45+1°32+70+3≈8°30log sin α≈-0.749 α≈9°8+(7-7)2°26+16(10-4)+2*9≈9°8+96+18≈11°2log sin α≈-0.664 α≈9°8+(7-6)2°23+16(10-6)+2*4≈9°8+2°23+64+8≈12°43
log sin α≈-0.547
α≈14°36+(5-5)*3°24+25*(10-4)+2.5(10-7)≈14°36+140+7.5≈16°48.5
log sin α≈-0.468
α≈14°36+(5-4)*3°24+25*(10-6)+2.5(10-8)≈14°36+3°54+100+2.52≈20°15log sin α≈-0.354 α≈23°30+36*(10-5)+3.5(10-4)≈23°30+180+21≈26°51
log sin α≈-0.256
α≈30°6+50(10-5)+5*(10-6)≈30°6+250+20≈34°36log sin α≈-0.157 α≈39°12+1°16*(10-5)+8(10-7)≈39°12+5°80+24≈44°32
log sin α≈-0.058
α≈52°36+2°10(10-5)+13*(10-8)≈52°36+10°50+23≈63°49log sin α≈-0.026 α≈65°48+3°30*(4-2)+21(10-6)≈65°48+7°+48≈73°43log sin α≈-0.0154 α≈72°48+26*(10-5)+1(10-4)≈72°48+150+6≈75°24
log sin α≈-0.0036
α≈79°48+50(7-3)+4*(10-6)≈79°48+200+16≈83°24log sin α≈-0.0004 α≈86°6
查《中学数学用表》，可知
log sin0°1= 4 .4637=-4+0.4638=-3.5362 4上面的横线表示4是-4，最终数值是-4加上4后面的小数 log sin1°49= 2 .5011=-2+0.5011=-1.4989
2上面的横线表示2是-2，最终数值是-2加上2后面的小数
log sin2°= 2 .5428=-2+0.5428=-1.4572
2上面的横线表示2是-2，最终数值是-2加上2后面的小数
例如查《中学数学用表》可知
log tan6°= 1 .0216=-1+0.0216=-0.9784
log cot6°=0.9784, log tan6°=-log cot6°,
度，分，秒换算公式, 60=1°, 60``=1,
反余弦计算电路
logcosα=x计算公式，当-4+0.4637<x<-2+0.6003时，-3.5363<x<-1.3997，-3.5363<x<-1.4，
如果if -4+0.4637<x<-2+0.6003，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断反余弦对数值，log cosα=log (90°-α)+S，log cotα=log (90°-α)+T，上式中，S=4.68533，90°-α=MN°WST``，(90°-α)``=3600*MN+60*WS+T，log (90°-α``)/1000=lgA.BC， log (90°-α)``=x-S+10，log (90°-α)``/1000=x-S-3+10，log (90°-α)``/1000=x-4.68533-3+10， 如果0≤(90°-α``)<7267， 那么，log cosα=log (90°-α)``/1000+3+4.68553-10 =lg A.BC+3+4.68553-10 计算α时，首先计算x-S-3+10, 再用反对数计算得到(90°-α)``/1000,因为log(90°-α)``/1000=x-4.68533-3，再用下面的公式将弧度化为度，90°-α=MN°WST，(90°-α)=3600MN+60WS+T，
例如:
log cos88°2641.2``=log5598.8+4.68553-10≈3.74809+4.68553 - 10 ≈8.43362 - 10 ≈-1.56639 log cos88°2641.2=log5591.87+4.68553-10≈3.7462+4.68553 - 10 ≈8.43173 - 10 ≈-1.56827 0.027145*10000=271.45*20.6=5591.87 90°-88°26`41.2=1°3318.8``=0.027145 x=-1.56827 -1.56827+10-4.68553-3=0.54071 log(90°-α)``/1000=0.54071 90°-α=90°-88°2641.2``=0.027145
α=88°2641.2``=1.543651 log(90°-α)``/1000=0.54071 (90°-α)``/1000=5.591 (90°-α)``=5591 例如: log sin00°5817=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075 log sin0°58`17=log3492+4.68553-10≈3.5408+4.68553 - 10≈8.22633 - 10 ≈-1.77376
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，00°58`17≈0.016953，x=-1.77376，-1.77376+10-4.68553-3=0.5408，logα/1000=0.5408，α/1000=3.492，α=0.016953 计算α/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10*[8.913+0.215*(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+4*0.021≈9.427
M≈94.27
α计算公式，其中logcosα=x，当-1.4≤x<-0.6时，-1.3997≤x<-0.5985，-2+0.6003≤x<-1+0.4015，
x=-A.BC
如果-1.4≤-A.BCD<-1.2，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈87°43-(3-B)*27-5*(10-C)-0.5(10-D)
如果-1.2≤-A.BCD<-1.0，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈86°22-(1-B)*59-7*(10-C)-0.5(10-D)
如果-1.0≤-A.BCD<-0.8，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈84°15-(9-B)*1°32-10*(10-C)-1(10-D)
如果-0.8≤-A.BCD<-0.6，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈80°52-(7-B)*2°23-16*(10-C)-2(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈75°24+(5-B)*3°24+25*(10-C)-2.5(10-D)
如果-0.4≤-A.BCD<-0.3，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈66°30+30(10-C)-3*(10-D) 如果-0.3≤-A.BCD<-0.2，log cosα≈-A.BCD 那么，α≈59°54-50*(10-C)-5(10-D)
如果-0.2≤-A.BCD<-0.1，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈50°48-1°16(10-C)-10*(10-D) 如果-0.1≤-A.BCD<-0.04，log cosα≈-A.BCD 那么，α≈37°24-2°10*(10-C)-13(10-D)
如果-0.04≤-A.BCD<-0.02，log cosα≈-A.BCD
那么，α≈24°12-3°30(4-C)-21*(10-D) 如果-0.02≤-A.BCDE<-0.007，log cosα≈-A.BCDE 那么，α≈17°12-26*(10-D)-1(10-E)
如果-0.007≤-A.BCDE<0.001，log cosα≈-A.BCDE
那么，α≈10°12-50(7-D)-4*(10-E) 如果-0.001≤-A.BCDE<0，log cosα≈-A.BCDE 那么，α≈3°54
下面这些公式可以从反余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
例如，
log cos α≈-1.364
α≈87°43-(3-3)*27-5*(10-6)-0.5*(10-4)≈87°43-20-3≈87°20
log cos α≈-1.273
α≈87°43-(3-2)*27-5*(10-7)-0.5*3≈87°43-27-15-1.5≈87°0.5`
log cos α≈-1.156
α≈86°22-(1-1)*59-7*(10-5)-0.56≈86°22-35-3≈85°44
log cos α≈-1.047
α≈86°22-(1-0)*59-7*(10-4)-0.57≈86°22-59-42-3.5≈85°22.5log cos α≈-0.953 α≈84°15-(9-9)1°32-10(10-5)-1*3≈84°15-50-3≈83°22log cos α≈-0.847 α≈84°15-(9-8)1°32-10(10-4)-1*3≈84°15-1°32-60-3≈82°20
log cos α≈-0.756
α≈80°52-(7-7)*2°26-16*(10-5)-26≈80°52-80-12≈79°40
log cos α≈-0.657
α≈80°52-(7-6)*2°23-16*(10-5)-27≈80°52-2°23-80-14≈76°55log cos α≈-0.558 α≈75°24-(5-5)3°24-25(10-5)-2.5*(10-8)≈75°24-125-5≈73°46log cos α≈-0.446 α≈75°24-(5-4)3°24-25(10-4)-2.5*6≈75°24-3°54-150-15≈70°18.5
log cos α≈-0.367
α≈66°30-36(10-6)-3.5*(10-7)≈66°30-144-10.5≈64°4.5log cos α≈-0.264 α≈59°54-50*(10-6)-5(10-4)≈59°54-200-30≈57°4
log cos α≈-0.146
α≈50°48-1°16(10-4)-8*(10-6)≈50°48-6°96-32≈44°
log cos α≈-0.064
α≈37°24-2°10(10-6)-13*(10-4)≈37°24-8°40-78≈27°26log cos α≈-0.035 α≈24°12-3°30*(4-3)-21(10-5)≈24°12-3°30-105≈19°57
log cos α≈-0.0167
α≈17°12-26(10-6)-1*(10-7)≈17°12-104-3≈15°25log cos α≈-0.0045 α≈10°12-50*(7-4)-4*(10-5)≈10°12-150-20≈7°22
log cos α≈-0.0004
α≈3°54`
logtanα=x计算公式，当-4+0.4637<x<-2+0.5013时，-3.5363<x<-1.4987，
如果if -4+0.4637<x<-2+0.5013，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断反正切对数值，log sinα=log α+S=x，log tanα=log α+T=x，上式中，
T=4.68567，α=MN°WST``，α``=3600*MN+60*WS+T，log α``/1000=lgA.BC，log α``=x-T+10，log α``/1000=x-T-3+10，log α``/1000=x-4.68567-3+10， 如果0≤α``<7267， 那么，log tanα=log α``/1000+3+4.68567-10 =lg A.BC+3+4.68567-10 计算α时，首先计算x-T-3+10, 再用反对数计算得到α``/1000,因为logα``/1000=x-4.68567-3+10，再用下面的公式将弧度化为度， α=MN°WST，α=3600MN+60WS+T，
例如：
log tan00°5247.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50072+4.68561 - 10≈8.18663 - 10 ≈-1.81337 log tan00°5247.5=log3162.924+4.68567-10≈3.50096+4.68567 - 10≈8.18663 - 10 ≈-1.81337 0.015354*10000*20.6=169.53*20.6=3162.924 00°52`47.2≈0.015354
x=-1.81337，-1.81337+10-4.68567-3=0.50096，logα/1000=0.50096， lgN≈0.50096，N≈3.162+0.075*(0-0)+0*0.008≈3.162+0.075*0+6*0≈3.162， α/1000=3.162，α=3.162/206=0.015349，
例如：
测量得到的电压DC0.016953V就表示0.016953弧度，
因为,0.0001=20.6，0.016953*10000*20.6=169.53*20.6=3492.318，00°58`17≈0.016953，
所以，0.016953弧度就近似等于3492.318，0.016953*10000=169.53*20.6=3492.318，
计算α``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024*(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10*[8.913+0.215*(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
下面这些公式可以从反正切对数表，通过数学归纳法推测出来，
α计算公式，其中logtanα=x，当-1.4987≤x<3.5363时，-1.4987≤x<3.5363，-2+0.5013≤x<3.5363，
x=-A.BCD，
如果-1.4987≤-A.BCD<-1.3，log tanα≈-A.BCD
那么，α≈1°49+(4-B)*22+4*(10-C)+0.4(10-D)
如果-1.3≤-A.BCD<-1.1，log tanα≈-A.BCD
那么，α≈2°53+(2-B)*55+5*(10-C)+0.5*(10-D)
如果-1.1≤-A.BCD<-0.9，log tanα≈-A.BCD
那么，α≈4°33+(10-B)*1°10+7*(10-C)+1(10-D)
如果-0.9≤-A.BCD<-0.7，log tanα≈-A.BCD
那么，α≈7°11+(8-B)*2°+11(10-C)+1*(10-D) 如果-0.7≤-A.BCD<-0.6，log tanα≈-A.BCD 那么，α≈11°17+(7-7)0+18*(10-C)+1.5(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，log tanα≈-A.BCD
那么，α≈14°6+(5-B)*3°+24(10-C)+2*(10-D) 如果-0.4≤-A.BCD<-0.2，log tanα≈-A.BCD 那么，α≈21°48+(3-B)4°48+35(10-C)+3*(10-D) 如果-0.2≤-A.BCD<0，log tanα≈-A.BCD 那么，α≈32°18+(1-B)5°36+36(10-C)+5*(10-D) 如果0≤A.BCD<0.2，log tanα≈A.BCD 那么，α≈45°+6°24(B-1)+C*36+5D
如果0.2≤A.BCD<0.4，log tanα≈A.BCD
那么，α≈57°48+5°12(B-2)+30*C+5D
如果0.4≤A.BCD<0.6，log tanα≈A.BCD
那么，α≈68°18+4°40(B-3)+18*C+2*D
如果0.6≤A.BCDE<0.7，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈75°54+17*D+2*E 如果0.7≤A.BCDE<0.8，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈78°43+14*D+2*E
如果0.8≤A.BCDE<0.9，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈81°+12*D+1.5*E
如果0.9≤-A.BCDE<1.0，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈82°50+10D+1*E 如果1.0≤A.BCDE<1.2，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈84°18+1°(B-0)+6*C+1*D
如果1.2≤A.BCDE<1.3，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈86°24+5*C+0.5*D 如果1.3≤A.BCDE<1.4，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈87°8+3.5*C+0.3*D
如果1.4≤A.BCDE<1.5，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈87°44+3*C+0.2*D 如果1.5≤A.BCDE<1.6，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈88°12+2*C+0.15*D
如果1.6≤A.BCDE<1.7，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈88°34+1.8*C+0.15*D 如果1.7≤A.BCDE<1.8，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈88°52+1.5*C+0.15*D
如果1.8≤A.BCDE<1.9，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°6+1.2*C+0.1*D 如果1.9≤A.BCDE<2.0，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°17+1*C+0.1*D
如果2.0≤A.BCDE<2.1，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°26+0.7*C+0.1*D 如果2.1≤A.BCDE<2.2，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°33+0.5*C+0.1*D
如果2.2≤A.BCDE<2.3，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°39+0.3C+0.08*D 如果2.3≤A.BCDE<2.4，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°43+0.3*C+0.07D
如果2.4≤A.BCDE<2.5，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°47+0.25C+0.07*D 如果2.5≤A.BCDE<2.6，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°50+0.2*C+0.06D
如果A.BCDE=2.6332，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°52如果A.BCDE=2.6912，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°53
如果A.BCDE=2.7581，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°54如果A.BCDE=2.8373，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°55
如果A.BCDE=2.9342，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°56如果A.BCDE=3.0592，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°57
如果A.BCDE=3.2352，log tanα≈A.BCDE
那么，α≈89°58如果A.BCDE=3.5363，log tanα≈A.BCDE 那么，α≈89°59
例如：
log tan α≈-1.354
α≈1°49+(4-3)*22+4*(10-5)+0.4(10-4)≈1°49+221+4*5+0.46≈2°33.4log tan α≈-1.125 α≈2°53+(2-1)55+5(10-2)+0.5*(10-5)≈2°53+45+8*5+0.5*5≈4°20.5
log tan α≈-0.994
α≈4°33+(10-9)*1°10+7*(10-9)+1(10-4)≈4°33+1°10+7*9+1(10-4)≈5°52log tan α≈-0.742 α≈7°11+(8-7)2°+11*(10-4)+1(10-2)≈7°11+2°+116+1*(10-2)≈10°25
log tan α≈-0.643
α≈11°17+18(10-4)+1.5*(10-3)≈11°17+18*6+1.5*(10-3)≈13°15.5
log tan α≈-0.435
α≈14°6+(5-4)*3°+24(10-3)+2*(10-5)≈14°6+3°+24*7+2(10-5)≈20°4log tan α≈-0.246 α≈21°48+(3-2)4°48+35(10-4)+3*(10-6)≈21°48+4°48+356+3*(10-6)≈30°18
log tan α≈-0.036
α≈32°18+(1-0)*5°36+36*(10-3)+5(10-6)≈32°18+5°36+36*7+5(10-6)≈42°8log tan α≈0.157 α≈45°+1*6°24+36*5+5*7≈45°+6°24+36*5+5*7≈54°59
log tan α≈0.374
α≈57°48+(3-2)*5°12+30*7+5*4≈57°48+5°12+210+20≈66°50log tan α≈0.564 α≈68°18+4°40+18*6+2*4≈68°18+4°40+90+8≈74°36
log tan α≈0.685
α≈75°54+17*8+2*5≈75°54+136+10≈78°20log tan α≈0.783 α≈78°43+14*8+2*3≈78°43+112+6≈80°41
log tan α≈0.887
α≈81°+11*8+1.5*7≈81°+88+10.5≈82°38.5log tan α≈0.985 α≈82°50+9*8+1*5≈82°50+72+5≈84°7
log tan α≈1.187
α≈84°18+1°*(1-0)+6*8+1*7≈84°18+1°+48+7≈86°13log tan α≈1.285 α≈86°24+5*8+0.5*5≈86°24+40+2.5≈87°6.5
log tan α≈1.384
α≈87°8+3.5*8+0.3*4≈87°8+28+1.2≈87°37.2log tan α≈1.486 α≈87°44+3*8+0.2*6≈87°44+24+1.2≈88°9.2
log tan α≈1.587
α≈88°12+2*8+0.15*7≈88°12+16+1.05≈88°29.05log tan α≈1.685 α≈88°34+1.8*8+0.15*5≈88°34+14.4+0.75≈88°49.15
log tan α≈1.783
α≈88°52+1.5*8+0.15*3≈88°52+12+0.45≈89°4.45log tan α≈1.883 α≈89°6+1.2*8+0.1*3≈89°6+9.6+0.3≈89°15.9
log tan α≈1.987
α≈89°17+1*8+0.1*7≈89°17+8+0.7≈89°25.7log tan α≈2.086 α≈89°26+0.7*8+0.1*6≈89°26+5.6+0.6≈89°32.2
log tan α≈2.184
α≈89°33+0.5*8+0.1*4≈89°33+4+0.4≈89°37.4log tan α≈2.287 α≈89°39+0.3*8+0.08*7≈89°39+2.4+0.56≈89°41.96
log tan α≈2.383
α≈89°43+0.3*8+0.07*3≈89°43+2.4+0.21≈89°45.21log tan α≈2.485 α≈89°47+0.25*8+0.07*3≈89°47+2+0.21≈89°49.21
log tan α≈2.586
α≈89°50+0.2*8+0.06*3≈89°50+1.6+0.18≈89°51.78`
反余切对数计算电路
logcotα=x计算公式，当-4+0.4637<x<-2+0.5013时，-3.5363<x<-1.4987，
如果if -3.5363<x<-1.4987，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断反余弦对数值，
log cosα=log (90°-α)+S，log cotα=log (90°-α)+T，
上式中，T=4.68567，
90°-α=MN°WS`T，(90°-α)=3600MN+60WS+T，log (90°-α)/1000=lgA.BC， log (90°-α)=x-T+10，log (90°-α)/1000=x-T-3+10，log (90°-α)/1000=x-4.68567-3+10，
那么，log cotα=log (90°-α)/1000+3+4.68567-10=lg A.BC+3+4.68567-10 计算α时，首先计算x-T-3+10, 再用反对数计算得到(90°-α)/1000,因为log(90°-α)/1000=x-4.68567-3， 再用下面的公式将弧度化为度，90°-α=MN°WS`T，(90°-α)=3600*MN+60*WS+T， 例如: log cot89°54`37.362=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80571，
log cot89°5437.362``=log322.6+4.68567-10≈2.50871+4.68567 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80571 x=-2.80571，-2.80571+10-4.68567-2=0.50871，log(90°-α)``/1000=0.50871， (90°-α)``/100=3.162+0.075*0+0.008*8=3.226，(90°-α)``=322.6``，322.6``=0°522.6， α=90°-0°5`22.6=89°54`37.3``，α=0.3226/206=0.001566，
lgN≈0.50871，N≈3.162+0.075*(0-0)+00.08≈3.162+0.0750+0*0.08≈3.226，
计算(90°-α)``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024*(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10*[8.913+0.215*(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
下面这些公式可以从反余切对数表，通过数学归纳法推测出来
α计算公式，其中logcotα=x，当-2+0.5013≤x<3.5363时，
-1.4987≤x<3.5363，-2+0.5013≤x<3.5363，
x=-A.BCD，
如果A.BCDE=3.5363，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°1如果A.BCDE=3.2352，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°2
如果A.BCDE=3.0592，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°3如果A.BCDE=2.9342，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°4
如果A.BCDE=2.8373，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°5如果A.BCDE=2.7581，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°6
如果A.BCDE=2.6912，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°7如果A.BCDE=2.6332，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°8
如果2.5≤A.BCDE<2.6，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°8+0.2(10-C)+0.06*(10-D) 如果2.4≤A.BCDE<2.5，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°10+0.25*(10-C)+0.07(10-D)
如果2.3≤A.BCDE<2.4，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°13+0.3(10-C)+0.07*(10-D) 如果2.2≤A.BCDE<2.3，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°13+0.3*(10-C)+0.07(10-D)
如果2.1≤A.BCDE<2.2，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°21+0.5(10-C)+0.1*(10-D) 如果2.0≤A.BCDE<2.1，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°27+0.7*(10-C)+0.1(10-D)
如果1.9≤A.BCDE<2.0，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°34+1(10-C)+0.1*(10-D) 如果1.8≤A.BCDE<1.9，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈0°43+1.2*(10-C)+0.1(10-D)
如果1.7≤A.BCDE<1.8，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈0°54+1.5(10-C)+0.15*(10-D) 如果1.6≤A.BCDE<1.7，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈1°8+1.8*(10-C)+0.15(10-D)
如果1.5≤A.BCDE<1.6，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈1°26+2(10-C)+0.15*(10-D) 如果1.4≤A.BCDE<1.5，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈1°48+3*(10-C)+0.2(10-D)
如果1.3≤A.BCDE<1.4，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈2°16+3.5(10-C)+0.3*(10-D) 如果1.2≤A.BCDE<1.3，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈2°52+5*(10-C)+0.5(10-D)
如果1.0≤A.BCDE<1.2，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈3°36+50(1-B)+6*(10-C)+1(10-D)
如果0.9≤-A.BCDE<1.0，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈5°42+9(10-D)+1*(10-E) 如果0.8≤A.BCDE<0.9，log cotα≈A.BCDE 那么，α≈7°10+10*(10-D)+1.5(10-E)
如果0.7≤A.BCDE<0.8，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈9°+11*(10-D)+1.5(10-E)
如果0.6≤A.BCDE<0.7，log cotα≈A.BCDE
那么，α≈11°17+12(10-D)+2`(10-E)
例如，
log cot α≈2.586
α≈0°8+0.2(10-8)+0.06*(10-6)≈0°8+0.4+0.24≈0°8.64
log cot α≈2.485
α≈0°10+0.25(10-8)+0.07*(10-5)≈0°10+0.25*2+0.35≈0°10.87log cot α≈2.383 α≈0°13+0.3*(10-8)+0.07(10-3)≈0°13+0.32+0.07*7≈0°14.09
log cot α≈2.287
α≈0°17+0.3(10-8)+0.08*(10-7)≈0°17+0.3*2+0.083≈17.84log cot α≈2.184 α≈0°21+0.5*(10-8)+0.1(10-4)≈0°21+0.52+0.1*6≈0°22.6
log cot α≈2.086
α≈0°27+0.7(10-8)+0.1*(10-6)≈0°27+0.7*2+0.14≈0°28.8log cot α≈1.987 α≈0°34+1*(10-8)+0.1(10-7)≈0°34+2+0.3≈0°36.3
log cot α≈1.883
α≈0°43+1.2(10-8)+0.1*(10-3)≈0°43+1.2*2+0.17≈0°46.1log cot α≈1.783 α≈0°54+1.5*(10-8)+0.15(10-3)≈0°54+1.52+0.15*7≈0°58.05
log cot α≈1.685
α≈1°8+1.8(10-8)+0.15*(10-5)≈1°8+1.8*2+0.155≈1°12.35log cot α≈1.587 α≈1°26+2*(10-8)+0.15(10-7)≈1°26+22+0.15*3≈1°30.45
log cot α≈1.486
α≈1°48+3(10-8)+0.2*(10-6)≈0°48+3*2+0.24≈0°54.8log cot α≈1.384 α≈2°16+3.5*(10-8)+0.3(10-4)≈2°16+3.52+0.3*6≈2°23.2
log cot α≈1.285
α≈2°52+5(10-8)+0.5*(10-5)≈2°52+5*2+0.55≈3°4.5log cot α≈1.065 α≈3°36+1°(1-0)+6*(10-6)+50(10-5)≈3°36+1°+24+5≈4°55
log cot α≈0.985
α≈5°42+9(10-8)+1*(10-5)≈5°42+18+5≈6°5log cot α≈0.887 α≈7°10+10*(10-8)+1.5(10-7)≈7°10+20+4.5≈7°34.5
log cot α≈0.783
α≈9°+11*(10-8)+1.5(10-3)≈9°+22+10.5≈9°32.5log cot α≈0.685 α≈11°17+12*(10-8)+1.5(10-5)≈11°17+24+7.5≈11°48.5
log cot α≈0.464
α≈14°6+4°30+15*(10-6)+2(10-4)≈14°6+4°40+72+12≈19°48log cot α≈0.274 α≈21°42+(3-2)5°12+25(10-7)+5*(10-4)≈21°42+5°12+75+30≈28°39
log cot α≈0.057
α≈32°12+1*6°24+34*(10-5)+5*(10-7)≈32°12+6°24+34*5+5*3≈41°41log cot α≈-0.136 α≈45°+(1-0)*5°36+36*3+5*6≈45°+5°36+36*3+5*6≈47°54
log cot α≈-0.358
α≈57°42+(3-2)*4°48+33*5+3*8≈57°42+4°48+33*5+3*8≈66°39log cot α≈-0.567 α≈68°12+(5-4)*4°+24*6+2*7≈68°12+4°+24*6+2*7≈74°50
log cot α≈-0.643
α≈75°54+18*4+1.5*3≈75°54+18*4+1.5*3≈77°10.5
log cot α≈-0.837
α≈78°43+(8-7)*2°+14*3+1*7≈78°43+2°+14*3+1*7≈81°32log cot α≈-1.085 α≈82°49+(10-9)*1°10+7*8+1*5≈82°49+1°10+7*8+1*5≈85° log cot α≈-1.269 α≈85°27+(2-1)*55+5*6+0.5*9≈85°27+55+6*5+0.5*9≈86°56.5
log cot α≈-1.445
α≈87°7+(4-3)*32+4*4+0.4*5≈87°7+32*1+4*4+0.4*5≈87°57`
sinα计算公式，当0°<α<90°时
sinα计算公式，当0°<α≤1°时
那么，sinα≈ sin 1°≈0.0175
sinα计算公式，当1°<α≤2°时
那么，sinα≈sin 2°≈0.0349
sinα计算公式，当2°<α≤3°时
那么，sinα≈sin 3°≈0.0523
sinα计算公式，当3°<α≤4°时
那么，sinα≈sin 4°≈0.0698
sinα计算公式，当4°<α≤5°时
那么，sinα≈sin 5°≈0.0872
sinα计算公式，当5°<α≤6°时
那么，sinα≈sin 6°≈0.1045
sinα计算公式，当6°<α≤7°时
那么，sinα≈sin 7°≈0.1219
sinα计算公式，当7°<α≤8°时
那么，sinα≈sin 8°≈0.1392
sinα计算公式，当8°<α≤9°时
那么，sinα≈sin 9°≈0.1564
sinα计算公式，当9°<α≤10°时
那么，sinα≈sin 10°≈0.1736
sinα计算公式，当10°<α≤11°时
那么，sinα≈sin 11°≈0.1908
sinα计算公式，当11°<α≤12°时
那么，sinα≈sin 12°≈0.2079
sinα计算公式，当12°<α≤13°时
那么，sinα≈sin 13°≈0.2250
sinα计算公式，当13°<α≤14°时
那么，sinα≈sin 14°≈0.2419
sinα计算公式，当14°<α≤15°时
那么，sinα≈sin 15°≈0.2588
sinα计算公式，当15°<α≤16°时
那么，sinα≈sin 16°≈0.2756
sinα计算公式，当16°<α≤17°时
那么，sinα≈sin 17°≈0.2924
sinα计算公式，当17°<α≤18°时
那么，sinα≈sin 18°≈0.3090
sinα计算公式，当18°<α≤19°时
那么，sinα≈sin 19°≈0.3256
sinα计算公式，当19°<α≤20°时
那么，sinα≈sin 20°≈0.3420
sinα计算公式，当20°<α≤21°时
那么，sinα≈sin 21°≈0.3584
sinα计算公式，当21°<α≤22°时
那么，sinα≈sin 22°≈0.3746
sinα计算公式，当22°<α≤23°时
那么，sinα≈sin 23°≈0.3907
sinα计算公式，当23°<α≤24°时
那么，sinα≈sin 24°≈0.4067
sinα计算公式，当24°<α≤25°时
那么，sinα≈sin 25°≈0.4226
sinα计算公式，当25°<α≤26°时
那么，sinα≈sin 26°≈0.4384
sinα计算公式，当26°<α≤27°时
那么，sinα≈sin 27°≈0.4540
sinα计算公式，当27°<α≤28°时
那么，sinα≈sin 28°≈0.4695
sinα计算公式，当28°<α≤29°时
那么，sinα≈sin 29°≈0.4848
sinα计算公式，当29°<α≤30°时
那么，sinα≈sin 30°≈0.5000
sinα计算公式，当30°<α≤31°时
那么，sinα≈sin 31°≈0.5150
sinα计算公式，当31°<α≤32°时
那么，sinα≈sin 32°≈0.5299
sinα计算公式，当32°<α≤33°时
那么，sinα≈sin 33°≈0.5446
sinα计算公式，当33°<α≤34°时
那么，sinα≈sin 34°≈0.5592
sinα计算公式，当34°<α≤35°时
那么，sinα≈sin 35°≈0.5736
sinα计算公式，当35°<α≤36°时
那么，sinα≈sin 36°≈0.5878
sinα计算公式，当36°<α≤37°时
那么，sinα≈sin 37°≈0.6018
sinα计算公式，当37°<α≤38°时
那么，sinα≈sin 38°≈0.6157
sinα计算公式，当38°<α≤39°时
那么，sinα≈sin 39°≈0.6293
sinα计算公式，当39°<α≤40°时
那么，sinα≈sin 40°≈0.6428
sinα计算公式，当40°<α≤41°时
那么，sinα≈sin 41°≈0.6561
sinα计算公式，当41°<α≤42°时
那么，sinα≈sin 42°≈0.6691
sinα计算公式，当42°<α≤43°时
那么，sinα≈sin 43°≈0.6820
sinα计算公式，当43°<α≤44°时
那么，sinα≈sin 44°≈0.6947
sinα计算公式，当44°<α≤45°时
那么，sinα≈sin 45°≈0.7071
sinα计算公式，当45°<α≤46°时
那么，sinα≈sin 46°≈0.7193
sinα计算公式，当46°<α≤47°时
那么，sinα≈sin 47°≈0.7314
sinα计算公式，当47°<α≤48°时
那么，sinα≈sin 48°≈0.7431
sinα计算公式，当48°<α≤49°时
那么，sinα≈sin 49°≈0.7547
sinα计算公式，当49°<α≤50°时
那么，sinα≈sin 50°≈0.7660
sinα计算公式，当50°<α≤51°时
那么，sinα≈sin 51°≈0.7771
sinα计算公式，当51°<α≤52°时
那么，sinα≈sin 52°≈0.7880
sinα计算公式，当52°<α≤53°时
那么，sinα≈sin 53°≈0.7986
sinα计算公式，当53°<α≤54°时
那么，sinα≈sin 54°≈0.8090
sinα计算公式，当54°<α≤55°时
那么，sinα≈sin 55°≈0.8192
sinα计算公式，当55°<α≤56°时
那么，sinα≈sin 56°≈0.8290
sinα计算公式，当56°<α≤57°时
那么，sinα≈sin 57°≈0.8387
sinα计算公式，当57°<α≤58°时
那么，sinα≈sin 58°≈0.8480
sinα计算公式，当58°<α≤59°时
那么，sinα≈sin 59°≈0.8572
sinα计算公式，当59°<α≤60°时
那么，sinα≈sin 60°≈0.8660
sinα计算公式，当60°<α≤61°时
那么，sinα≈sin 61°≈0.8746
sinα计算公式，当61°<α≤62°时
那么，sinα≈sin 62°≈0.8829
sinα计算公式，当62°<α≤63°时
那么，sinα≈sin 63°≈0.8910
sinα计算公式，当63°<α≤64°时
那么，sinα≈sin 64°≈0.8988
sinα计算公式，当64°<α≤65°时
那么，sinα≈sin 65°≈0.9063
sinα计算公式，当65°<α≤66°时
那么，sinα≈sin 66°≈0.9135
sinα计算公式，当66°<α≤67°时
那么，sinα≈sin 67°≈0.9205
sinα计算公式，当67°<α≤68°时
那么，sinα≈sin 68°≈0.9272
sinα计算公式，当68°<α≤69°时
那么，sinα≈sin 69°≈0.9336
sinα计算公式，当69°<α≤70°时
那么，sinα≈sin 70°≈0.9397
sinα计算公式，当70°<α≤71°时
那么，sinα≈sin 71°≈0.9455
sinα计算公式，当71°<α≤72°时
那么，sinα≈sin 72°≈0.9511
sinα计算公式，当72°<α≤73°时
那么，sinα≈sin 73°≈0.9563
sinα计算公式，当73°<α≤74°时
那么，sinα≈sin 74°≈0.9613
sinα计算公式，当74°<α≤75°时
那么，sinα≈sin 75°≈0.9659
sinα计算公式，当75°<α≤76°时
那么，sinα≈sin 76°≈0.9703
sinα计算公式，当76°<α≤77°时
那么，sinα≈sin 77°≈0.9744
sinα计算公式，当77°<α≤78°时
那么，sinα≈sin 78°≈0.9781
sinα计算公式，当78°<α≤79°时
那么，sinα≈sin 79°≈0.9816
sinα计算公式，当79°<α≤80°时
那么，sinα≈sin 80°≈0.9848
sinα计算公式，当80°<α≤81°时
那么，sinα≈sin 81°≈0.9877
sinα计算公式，当81°<α≤82°时
那么，sinα≈sin 82°≈0.9903
sinα计算公式，当82°<α≤83°时
那么，sinα≈sin 83°≈0.9925
sinα计算公式，当83°<α≤84°时
那么，sinα≈sin 84°≈0.9945
sinα计算公式，当84°<α≤85°时
那么，sinα≈sin 85°≈0.9962
sinα计算公式，当85°<α≤86°时
那么，sinα≈sin 86°≈0.9976
sinα计算公式，当86°<α≤87°时
那么，sinα≈sin 87°≈0.9986
sinα计算公式，当87°<α≤88°时
那么，sinα≈sin 88°≈0.9994
sinα计算公式，当88°<α≤89°时
那么，sinα≈sin 89°≈0.9998
sinα计算公式，当89°<α≤90°时
那么，sinα≈sin 90°≈1.0000
