一、树型结构
1、概念
树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树， 也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：
1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点2、除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继3、树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
2、树的具体概念
为了更好地理解树中一些关键名词的概念，我们选择图文结合的方式来介绍这些概念：
结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林
3、树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。
class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用}
4、树的应用
在生活中，我们运用二叉树可以来妥善管理一些数据例如：
文件系统管理（目录和文件）
二、二叉树
1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由 一个根节点 加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成。
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2 的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
其实，二叉树在生活中也是很常见的，在一些自然奇观中，我们也可以感受到二叉树的存在：
2、两种特殊的二叉树
1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是
，则它就是满二叉树 。
2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
满二叉树和完全二叉树具体长下图这样：
3、二叉树的性质
1. 若规定 根结点的层数为1 ，则一棵 非空二叉树的第i层上最多有 
(i>0)个结点
2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为1 ，则 深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有 n个结点的完全二叉树的深度k为 
上取整
5. 对于具有 n个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号 ，则对于 序号为i的结点有 ：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
4、二叉树的存储
二叉树的存储结构分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：
// 孩子表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树}// 孩子双亲表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点}在这篇博客内容中，我们主要用孩子表示法来创建二叉树
5、二叉树的基本操作
（1）前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
public class BinaryTree {class TreeNode{public char val;public TreeNode right;public TreeNode left;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;}
} 注意：上述代码并不是创建二叉树的方式
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
（2）二叉树的遍历
1. 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 ---> 根的右子树。LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 ---> 根节点。
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。
前序遍历代码：
public void preOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}System.out.println(root.val + ' ');preOrder(root.left);preOrder(root.right);}中序遍历代码：
public void inOrder(TreeNode root){if (root== null){return;}inOrder(root.left);System.out.println(root.val + ' ');inOrder(root.right);}后序遍历代码：
public void postOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}postOrder(root.right);postOrder(root.left);System.out.println(root.val + ' ');}前序遍历结果： 1 2 3 4 5 6中序遍历结果： 3 2 1 5 4 6后序遍历结果： 3 1 5 6 4 1
2、层序遍历
层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在进行层序遍历的时候，我们可以借助之前学过的队列来完成这个算法，大致思路如下：
我们先判断头指针root是否为null,如果不是null则将其进入队列，然后将该元素弹出并打印，命名为top，如果top存在左右子树，那么将其左右子树依次入列，当队列中元素不为空时一直重复上述操作，当队列为空，则层序遍历完成。
层序遍历代码：
public void leaveOrder(TreeNode root){Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if (root != null){queue.offer(root);}while (!queue.isEmpty()){TreeNode top = queue.poll();System.out.println(top.val + " ");if (top.left != null){queue.offer(top.left);}if (top.right != null){queue.offer(top.right);}}}二叉树的其它具体操作都与二叉树的遍历息息相关，因此我们在学习其它操作之前，需要将二叉树的遍历融会贯通。
本期博客到此结束。
