贝叶斯网络如下图所示,包含 4 个随机变量,每个变量都只有表示是否的两个值。请用吉布斯采样方法回答以下问题。
假设观察到 𝑅 = +𝑟, 初始化样本中其他变量的赋值为 𝐶 = +𝑐, 𝑆 = −𝑠, 𝑊 = −𝑤。
1). 假设随机采样变量是 S,随机数是 0.235,请计算 S 的值,并给出此时的状态样本值。
2). 假设下一个采样的变量是 C,随机数是 0.625,请计算这一步采样后的状态样本是什么。
答:
1)对后验概率分布 𝑃 (𝑆| − 𝑤, +𝑟, +𝑐) 进行随机采样。
𝑃(𝑆| − 𝑤, +𝑟, +𝑐) = 1/ 𝑍 𝑃(𝑆, −𝑤| + 𝑟, +𝑐) 𝑃(𝑆, −𝑤| + 𝑟, +𝑐) =𝑃 (𝑆| + 𝑐, +𝑟)𝑃 (−𝑤|𝑆, +𝑐, +𝑟)
由 条件独立性 可得 =𝑃 (𝑆| + 𝑐)𝑃 (−𝑤|𝑆, +𝑟)
根据上面的分布,随机数 0.235 将落在 −𝑠 的区间,所以,𝑆 = −𝑠,此时的样本为 +𝑐, −𝑠, +𝑟, −𝑤。
你算概率出来,拿随机数跟概率相比,就知道它落在那块区域了。
2) 从分布 𝑃 (𝐶| − 𝑠, +𝑟, −𝑤) 中对变量 𝐶 进行采样。
𝑃(𝐶| − 𝑠, +𝑟, −𝑤) =𝑃 (𝐶| − 𝑠, +𝑟) 条件独立 = 1/ 𝑍 𝑃 (𝐶, +𝑟, −𝑠) 𝑃(𝐶, +𝑟, −𝑠) =𝑃 (𝐶, +𝑟)𝑃 (−𝑠, |𝐶, +𝑟) 由条件独立可得 =𝑃(𝐶)𝑃 (+𝑟|𝐶)𝑃 (−𝑠|𝐶)
根据上面的分布,随机数 0.625 应该落在 +𝑐 的区间,所以此时 𝐶 = +𝑐,相应的样本值 是 +𝑐, −𝑠, +𝑟, −𝑤。