交叉熵损失函数原理详解

在学习pytorch的神经网络模型里，经常用到交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss)，只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数，对于其内部的原理总是模模糊糊，而且一般使用交叉熵作为损失函数时，在模型的输出层总会接一个softmax函数，至于为什么要怎么做也是不懂，所以专门花了一些时间打算从原理入手，搞懂它，故在此写一篇博客进行总结，以便以后翻阅。

交叉熵简介

交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，要理解交叉熵，需要先了解下面几个概念。

信息量

信息奠基人香农（Shannon）认为“信息是用来消除随机不确定性的东西”，也就是说衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。

“太阳从东边升起”，这条信息并没有减少不确定性，因为太阳肯定是从东边升起的，这是一句废话，信息量为0。
“全国两会：十四届全国人大一次会议【3月5日】；全国政协十四届一次会议【3月4日】”，从直觉上来看，这句话具有很大的信息量。因为中国队进入世界杯的不确定性因素很大，而这句话消除了进入世界杯的不确定性，所以按照定义，这句话的信息量很大。
根据上述可总结如下：信息量的大小与信息发生的概率成反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。
设某一事件发生的概率为P(x)，其信息量表示为：
$$I(x)=-lo{g}^{(p(x))}$$
其中I(x)表示信息量，这里$lo{g}^{(p(x))}$表示以e为底的自然对数。

信息熵

信息熵也被称为熵，用来表示所有信息量的期望。

期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

所以信息量的熵可表示为：（这里的X是一个离散型随机变量）
$$H(X)=-\sum P(x_i)lo{g}^{(P(X_i))}(X=x_1,x_2,...,x_n)$$
使用明天的天气概率来计算其信息熵：

序号	事件	概率P	信息量
1	明天是晴天	0.5	$-lo{g}^{0.5}$
2	明天是雨天	0.25	$-lo{g}^{0.25}$
3	明天是多云	0.25	$-lo{g}^{0.25}$

即：
$$H(X)=-(0.5\ast lo{g}^{0.5}+0.25\ast lo{g}^{0.25}+0.25\ast lo{g}^{0.25})$$

相对熵（KL散度）

如果对于同一个随机变量X有两个单独的概率分布p(x) 和 q(x)，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{\frac{(p(x_i)}{q(x_i))}}$$
在机器学习中，常常使用 p(x) 表示样本的真实分布，q(x) 表示来表示模型所预测的分布，
KL散度越小，表示p(x） 与 q( x ) 的分布更加接近，可以通过反复训练q(x) 来使 q(x) 的分布逼近p(x)。

交叉熵

交叉熵的推导：

首先将KL散度公式拆开：
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{\frac{(p(x_i)}{q(x_i))}}$$
$$=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)（lo{g}^{p(x_i)}-lo{g}^{q(x_i)}）$$
$$=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{p(x_i)}-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{q(x_i)}）$$
$$=-H(x)+[-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{q(x_i)}）]$$
前者H(X)， 即H(p(x))表示信息熵，后者即为交叉熵，KL散度 = 交叉熵 - 信息熵
所以，
交叉熵公式表示为：
$$H(x)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)lo{g}^{q(x_i)}$$
在机器学习训练网络时，输入数据与标签常常已经确定，那么真实概率分布p(x) 也就确定下来了，所以信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布p(x)与预测概率分布q(x) 之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度，而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss。

交叉熵在多分类问题中的应用

在线性回归问题中，常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数，而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。