Z域变换的主要性质
复频域（z域）变换的性质大多与拉普拉斯变换的性质相似，其与k域有不可分割的关系。复频域（z域）变换的性质既适用于单边z变换，也适用双边z变换，其性质有九条。其中标出来的性质是比较重要的。
1.线性性质
若 f 1 ( k ) ↔ F 1 ( z ) , α 1 < ∣ z ∣ < β 1 f_{1}(k)\leftrightarrow F_{1}(z), \alpha _{1}<|z|<\beta _{1} f1(k)↔F1(z),α1<∣z∣<β1
f 2 ( k ) ↔ F 2 ( z ) , α 2 < ∣ z ∣ < β 2 f_{2}(k)\leftrightarrow F_{2}(z), \alpha _{2}<|z|<\beta _{2} f2(k)↔F2(z),α2<∣z∣<β2
则对于任意常数 a 1 , a 2 a_{1},a_{2} a1,a2
a 1 f 1 ( k ) + a 2 f 2 ( k ) ↔ a 1 F 1 ( z ) + a 2 F 2 ( z ) , m a x ( α 1 , α 2 ) < ∣ z ∣ < m a x ( β 1 , β 2 ) a_{1}f_{1}(k)+a_{2}f_{2}(k)\leftrightarrow a_{1}F_{1}(z)+a_{2}F_{2}(z),max(\alpha _{1},\alpha _{2})<|z|<max(\beta _{1},\beta _{2}) a1f1(k)+a2f2(k)↔a1F1(z)+a2F2(z),max(α1,α2)<∣z∣<max(β1,β2)
其收敛域至少是 F 1 ( z ) F_{1}(z) F1(z)与 F 2 ( z ) F_{2}(z) F2(z)收敛域的相交部分。
2.移位（移序）性质
对于这一性质，其单边z变换与双边z变换情况是不同的。
(1)双边z变换的移位
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β，且对于整数m>0，则
f ( k ± m ) ↔ z ± m F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β \colorbox{orange} {$f(k\pm m) \leftrightarrow z^{\pm m}F(z),\alpha<|z|<\beta$} f(k±m)↔z±mF(z),α<∣z∣<β
(2)单边z变换移位
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , ∣ z ∣ > α ( α 为 正 实 数 ) f(k)\leftrightarrow F(z),|z|>\alpha (\alpha为正实数) f(k)↔F(z),∣z∣>α(α为正实数)，且对于整数m>0，则
f ( k − m ) ↔ z − m F ( z ) + ∑ k = 0 m − 1 f ( k − m ) z − k \colorbox{orange} {$f(k-m)\leftrightarrow z^{-m}F(z)+\sum_{k=0}^{m-1} f(k-m)z^{-k}$} f(k−m)↔z−mF(z)+∑k=0m−1f(k−m)z−k
f ( k − 1 ) ↔ z − 1 F ( z ) + f ( − 1 ) f(k-1)\leftrightarrow z^{-1}F(z)+f(-1) f(k−1)↔z−1F(z)+f(−1)
f ( k − 2 ) ↔ z − 2 F ( z ) + f ( − 2 ) + f ( − 1 ) z − 1 f(k-2)\leftrightarrow z^{-2}F(z)+f(-2)+f(-1)z^{-1} f(k−2)↔z−2F(z)+f(−2)+f(−1)z−1
f ( k − 3 ) ↔ z − 3 F ( z ) + f ( − 3 ) + f ( − 2 ) z − 1 + f ( − 1 ) z − 2 f(k-3)\leftrightarrow z^{-3}F(z)+f(-3)+f(-2)z^{-1}+f(-1)z^{-2} f(k−3)↔z−3F(z)+f(−3)+f(−2)z−1+f(−1)z−2
f ( k + m ) ↔ z m F ( z ) − ∑ k = 0 m − 1 f ( k ) z m − k \colorbox{orange} {$f(k+m)\leftrightarrow z^{m}F(z)-\sum_{k=0}^{m-1} f(k)z^{m-k}$} f(k+m)↔zmF(z)−∑k=0m−1f(k)zm−k
f ( k + 1 ) ↔ z F ( z ) − f ( 0 ) z f(k+1)\leftrightarrow zF(z)-f(0)z f(k+1)↔zF(z)−f(0)z
f ( k + 2 ) ↔ z 2 F ( z ) − f ( 0 ) z 2 − f ( 1 ) z f(k+2)\leftrightarrow z^{2}F(z)-f(0)z^{2}-f(1)z f(k+2)↔z2F(z)−f(0)z2−f(1)z
f ( k + 3 ) ↔ z 3 F ( z ) − f ( 0 ) z 3 − f ( 1 ) z 2 − f ( 2 ) z f(k+3)\leftrightarrow z^{3}F(z)-f(0)z^{3}-f(1)z^{2}-f(2)z f(k+3)↔z3F(z)−f(0)z3−f(1)z2−f(2)z
注意，若为因果序列，则
f ( k − m ) ↔ z − m F ( z ) f(k-m)\leftrightarrow z^{-m}F(z) f(k−m)↔z−mF(z)
举个例子，求周期为N的有始周期性单位序列 ∑ m = 0 ∞ δ ( k − m N ) \sum_{m=0}^{\infty } \delta (k-mN) ∑m=0∞δ(k−mN)的z变换。
根据移位特性以及 δ ( k ) ↔ 1 \delta (k)\leftrightarrow1 δ(k)↔1,可以得出
∑ m = 0 ∞ δ ( k − m N ) ↔ ∑ m = 0 ∞ z − N m \sum_{m=0}^{\infty } \delta (k-mN)\leftrightarrow \sum_{m=0}^{\infty }z^{-Nm} m=0∑∞δ(k−mN)↔m=0∑∞z−Nm
∑ m = 0 ∞ ( z − N ) m = 1 1 − z − N = z N z N − 1 , ∣ z ∣ > 1 \sum_{m=0}^{\infty }(z^{-N})^{m}=\frac{1}{1-z^{-N}}=\frac{z^{N}}{z^{N}-1},|z|>1 m=0∑∞(z−N)m=1−z−N1=zN−1zN,∣z∣>1
3.z域尺度变换
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β，且有常数 a ≠ 0 a\ne 0 a=0,则
a k f ( k ) ↔ F ( z a ) , α ∣ a ∣ < ∣ z ∣ < β ∣ a ∣ \colorbox{orange} {$a^{k}f(k)\leftrightarrow F(\frac{z}{a}),\alpha|a|<|z|<\beta|a|$} akf(k)↔F(az),α∣a∣<∣z∣<β∣a∣
若a=-1，则有
( − 1 ) k f ( k ) ↔ F ( − z ) , α < ∣ z ∣ < β (-1)^{k}f(k)\leftrightarrow F(-z),\alpha<|z|<\beta (−1)kf(k)↔F(−z),α<∣z∣<β
我们来举几个例子
例1： a k ε ( k ) ↔ z z − a a^{k}\varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{z}{z-a} akε(k)↔z−az
因为已知 ε ( k ) ↔ z z − 1 \varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{z}{z-1} ε(k)↔z−1z,通过尺度变换的性质我们可以得到
a k ε ( k ) ↔ z a z a − 1 = z z − a a^{k}\varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{\frac{z}{a}}{\frac{z}{a}-1}=\frac{z}{z-a} akε(k)↔az−1az=z−az
例2：已知 cos ( β k ) ε ( k ) \cos (\beta k)\varepsilon (k) cos(βk)ε(k)求其z域变换。
cos ( β k ) ε ( k ) = ( e j β k + e − j β k ) 2 ε ( k ) = e j β k 2 ε ( k ) + e − j β k 2 ε ( k ) \cos (\beta k)\varepsilon (k)=\frac{(e^{j\beta k}+e^{-j\beta k})}{2}\varepsilon (k)=\frac{e^{j\beta k}}{2}\varepsilon (k)+\frac{e^{-j\beta k}}{2}\varepsilon (k) cos(βk)ε(k)=2(ejβk+e−jβk)ε(k)=2ejβkε(k)+2e−jβkε(k)
我们将尺度变换性质中的a看作 a = e j β a=e^{j\beta} a=ejβ与 a = e − j β a=e^{-j\beta} a=e−jβ,则可以得到
1 2 e j β k ε ( k ) + 1 2 e − j β k ε ( k ) ↔ 1 2 z e j β z e j β − 1 + 1 2 z e − j β z e − j β − 1 \Large\frac{1}{2}e^{j\beta k}\varepsilon (k)+\frac{1}{2}e^{-j\beta k}\varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{\frac{z}{e^{j\beta}}}{\frac{z}{e^{j\beta}}-1}+\frac{1}{2}\frac{\frac{z}{e^{-j\beta}}}{\frac{z}{e^{-j\beta}}-1} 21ejβkε(k)+21e−jβkε(k)↔21ejβz−1ejβz+21e−jβz−1e−jβz
化简后可以得到
cos ( β k ) ε ( k ) ↔ 1 2 z ( z − e j β ) + 1 2 z ( z − e − j β ) \cos (\beta k)\varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{z}{(z-e^{j\beta})}+\frac{1}{2}\frac{z}{(z-e^{-j\beta})} cos(βk)ε(k)↔21(z−ejβ)z+21(z−e−jβ)z
4.卷积定理
若 f 1 ( k ) ↔ F 1 ( z ) , α 1 < ∣ z ∣ < β 1 f_{1}(k)\leftrightarrow F_{1}(z), \alpha _{1}<|z|<\beta _{1} f1(k)↔F1(z),α1<∣z∣<β1
f 2 ( k ) ↔ F 2 ( z ) , α 2 < ∣ z ∣ < β 2 f_{2}(k)\leftrightarrow F_{2}(z), \alpha _{2}<|z|<\beta _{2} f2(k)↔F2(z),α2<∣z∣<β2
则 f 1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) ↔ F 1 ( z ) F 2 ( z ) \colorbox{orange} {$f_{1}(k)\ast f_{2}(k)\leftrightarrow F_{1}(z)F_{2}(z)$} f1(k)∗f2(k)↔F1(z)F2(z)
其收敛域至少是 F 1 ( z ) F_{1}(z) F1(z)与 F 2 ( z ) F_{2}(z) F2(z)收敛域的相交部分。
对于单边z变换来说，要求 f 1 ( k ) , f 2 ( k ) f_{1}(k),f_{2}(k) f1(k),f2(k)为因果序列。
举个例子，求 f ( k ) = k ε ( k ) f(k)=k\varepsilon (k) f(k)=kε(k)的z变换F(z).
已知 ε ( k ) ∗ ε ( k ) = ( k + 1 ) ε ( k ) \varepsilon (k)\ast\varepsilon (k)=(k+1)\varepsilon (k) ε(k)∗ε(k)=(k+1)ε(k)
根据卷积的时移特性，可以得到 ε ( k ) ∗ ε ( k − 1 ) = k ε ( k − 1 ) \varepsilon (k)\ast\varepsilon (k-1)=k\varepsilon (k-1) ε(k)∗ε(k−1)=kε(k−1)
又知 ( k + 1 ) ε ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ε ( k ) (k+1)\varepsilon (k+1)=(k+1)\varepsilon (k) (k+1)ε(k+1)=(k+1)ε(k)
则
k ε ( k ) = k ε ( k − 1 ) = ε ( k ) ∗ ε ( k − 1 ) \Large k\varepsilon (k)=k\varepsilon (k-1)=\varepsilon (k)\ast\varepsilon (k-1) kε(k)=kε(k−1)=ε(k)∗ε(k−1)
ε ( k ) ∗ ε ( k − 1 ) ↔ z z − 1 z z − 1 z − 1 = z ( z − 1 ) 2 \Large \varepsilon (k)\ast\varepsilon (k-1)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}\frac{z}{z-1}z^{-1}=\frac{z}{(z-1)^{2}} ε(k)∗ε(k−1)↔z−1zz−1zz−1=(z−1)2z
5.z域微分(序列乘k)
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β,
则有
k f ( k ) ↔ − z d d z F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β kf(k)\leftrightarrow -z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}F(z),\alpha<|z|<\beta kf(k)↔−zdzdF(z),α<∣z∣<β
6.z域积分(序列除k+m)
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β，设有整数m，且 k + m > 0 k+m>0 k+m>0
则 f ( k ) k + m ↔ z m ∫ z ∞ F ( η ) η m + 1 d η , α < ∣ z ∣ < β \frac{f(k)}{k+m}\leftrightarrow z^{m}\int_{z}^{\infty } \frac{F(\eta )}{\eta^{m+1} }d\eta ,\alpha<|z|<\beta k+mf(k)↔zm∫z∞ηm+1F(η)dη,α<∣z∣<β
若m=0,且k>0,则有,
f ( k ) k ↔ ∫ z ∞ F ( η ) η d η \frac{f(k)}{k}\leftrightarrow \int_{z}^{\infty } \frac{F(\eta )}{\eta }d\eta kf(k)↔∫z∞ηF(η)dη
7.z域反转
对于这一性质，只适用于双边z变换。
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β，则有
f ( − k ) ↔ F ( z − 1 ) , 1 β < ∣ z ∣ < 1 α f(-k)\leftrightarrow F(z^{-1}),\frac{1}{\beta}<|z|<\frac{1}{\alpha} f(−k)↔F(z−1),β1<∣z∣<α1
举个例子，已知 a k ε ( k ) ↔ z z − a , ∣ z ∣ > a a^{k}\varepsilon (k)\leftrightarrow \frac{z}{z-a} ,|z|>a akε(k)↔z−az,∣z∣>a,求 a − k ε ( − k − 1 ) a^{-k}\varepsilon (-k-1) a−kε(−k−1)的z变换。
a k − 1 ε ( k − 1 ) ↔ z − 1 z z − a = 1 z − a , ∣ z ∣ > a a^{k-1}\varepsilon (k-1)\leftrightarrow z^{-1}\frac{z}{z-a} =\frac{1}{z-a} ,|z|>a ak−1ε(k−1)↔z−1z−az=z−a1,∣z∣>a
a − k − 1 ε ( − k − 1 ) ↔ = 1 z − 1 − a , ∣ z ∣ < 1 ∣ a ∣ a^{-k-1}\varepsilon (-k-1)\leftrightarrow=\frac{1}{z^{-1}-a} ,|z|<\frac{1}{|a|} a−k−1ε(−k−1)↔=z−1−a1,∣z∣<∣a∣1
乘a得
a − k ε ( − k − 1 ) ↔ = a z − 1 − a , ∣ z ∣ < 1 ∣ a ∣ a^{-k}\varepsilon (-k-1)\leftrightarrow =\frac{a}{z^{-1}-a},|z|<\frac{1}{|a|} a−kε(−k−1)↔=z−1−aa,∣z∣<∣a∣1
8.部分和
若 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β,则有
g ( k ) = ∑ i = − ∞ k f ( i ) ↔ z z − 1 F ( z ) , m a x ( α , 1 ) < ∣ z ∣ < β g(k)=\sum_{i=-\infty }^{k} f(i)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}F(z),max(\alpha ,1)<|z|<\beta g(k)=i=−∞∑kf(i)↔z−1zF(z),max(α,1)<∣z∣<β
举个例子求序列 ∑ i = 0 k a i ( k ≥ 0 ) \sum_{i=0 }^{k}a^{i}(k\ge 0) ∑i=0kai(k≥0)的z变换，其中a为实数。
∑ i = 0 k a i = ∑ i = − ∞ k a i ε ( i ) ↔ z z − 1 z z − a , ∣ z ∣ > m a x ( ∣ a ∣ , 1 ) \sum_{i=0 }^{k}a^{i}=\sum_{i=-\infty }^{k} a^{i}\varepsilon (i)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}\frac{z}{z-a},|z|>max(|a|,1) i=0∑kai=i=−∞∑kaiε(i)↔z−1zz−az,∣z∣>max(∣a∣,1)
9.初值定理和终值定理
(1)初值定理
初值定理适用于右边序列（k<M时f(k)=0的序列）。它用于象函数F(z)直接求序列初值f(M),f(M+1)等，而不用求原序列。
若序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系是 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < ∞ f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\infty f(k)↔F(z),α<∣z∣<∞
则序列初值为 f ( M ) = lim z → ∞ z M F ( z ) f(M)=\lim_{z \to \infty} z^{M}F(z) f(M)=z→∞limzMF(z)
而对于因果序列来说 f ( 0 ) = lim z → ∞ F ( z ) f(0)=\lim_{z \to \infty}F(z) f(0)=z→∞limF(z)
(2)终值定理
终值定理适用于右边序列,它用于象函数F(z)直接求序列终值，而不用求原序列。
若序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系是 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < ∞ 且 0 ≤ α < 1 f(k)\leftrightarrow F(z),\alpha<|z|<\infty且0\le \alpha <1 f(k)↔F(z),α<∣z∣<∞且0≤α<1
则序列终值为
f ( ∞ ) = lim z → 1 z − 1 z F ( z ) = lim z → 1 z − 1 F ( z ) f( \infty)=\lim_{z \to 1}\frac{z-1}{z}F(z)=\lim_{z \to 1}{z-1}F(z) f(∞)=z→1limzz−1F(z)=z→1limz−1F(z)
