题目大意

给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。

两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。

例如，对于括号序列 $((()$，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：$()()()$、$()(())$、$(())()$、$(()())$ 和 $((()))$。

解题思路

$step1$

我们将左括号的值看作 $1$，右括号的值看作 $-1$。

定义 $sum[i]$ 表示前 $i$ 个括号的和，$n$ 表示序列的长度，那么对于一个合法序列，其必定满足 $\forall i\in (1,n),sum[i]\ge 0$ 且 $sum[n]=0$。

$step2$

我们需要将添加括号使得原括号序列成为合法括号序列。
1、添加的左括号必然只能和原序列中的右括号匹配；
2、添加的右括号必然只能和原序列中的左括号匹配；
3、若添加的左括号和添加的右括号匹配了，则是一对无意义的添加。
$⟺$
1、添加的左括号的方案只和原序列中的右括号相关；
2、添加的右括号的方案只和原序列中的左括号相关，
3、以左右括号的添加是相互独立的。设左括号的添加方案为 $f1$，右括号的添加方案为 $f2$，那么显然最后的答案就是 $f1\times f2$。

$step3$

先考虑左括号的添加方案数。

设原序列中有 $cnt$ 个右括号，我们以原序列中的右括号为分界点，那么一共可以划分出 $cnt+1$ 个区域。我们只能在第 $1\sim cnt$ 个区域添加左括号，因为若是在第 $cnt+1$ 区域添加左括号，将不会有右括号可以与它匹配。

定义 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个区域（右括号），在我们添加了若干个左括号后一共有 $j$ 个左括号的方案数。对于两个不同的方案，它们至少有一个区域添加的左括号的个数不相同，于是可得：

$$\begin{gathered} dp[i][j]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+ \\ dp[i-1][2]+\cdots +dp[i-1][j] \end{gathered}$$

注意：

题干中要求合法序列，所以当右括号的个数为 $i$ 时，它前面的左括号的个>数必然大于等于 $i$。
我们定义 $sum[i]$ 表示第 $i$ 个右括号之前的左括号个数，当 $i>sum[i]$ 时，$j$ 必须满足 $j\ge i-sum[i]$。

添加左括号的方案数计算完成了。
对于右括号的添加方案，原括号序列反转，并令 ( $\to$ )，)$\to$(，然后按照求左括号的方案数的方法再求一遍即可。

优化——前缀和数组
对于 $dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+\cdots +dp[i-1][j]$，用别的式子来代替。

即 $$\begin{gathered} dp[i][j]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+\cdots +dp[i-1][j] \\ =(dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+\cdots +dp[i-1][j-1])+dp[i-1][j]=dp[i][j-1]-dp[i-1][j] \end{gathered}$$。
$j\in (i-sum[i],cnt)$
去掉一层循环，复杂度为 $O(n^2)$

仅当 $j\in [(i-sum[i])\sim cnt]$ 时才满足 $dp[i][j]=\sum _{k=0}^{j}dp[i-1][k]$，所以 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$ 的转移并不完全合法。

用类似的方法来优化：

• 定义 $pre[j]$ 表示 $\sum _{k=1}^{j}dp[i-1][k]$。
• 当 $j\in [0\sim (i-sum[i])]$ 时，$pre[j]=0$。
• 当 $j\in [(i-sum[i])\sim cnt]$ 时，$pre[j]=pre[j-1]+dp[i-1][j]$。
• 那么当 $j\in [(i-sum[i])\sim cnt]$，$dp[i][j]=pre[j]$。

这样时间复杂度就优化到 $O(n^2)$ 了。

AC_Code

Python3

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author : BYW-yuwei
# @Software: python3.8.6MOD=int(1e9+7)def calc(cnt,flag,n):global MODif cnt==0:return 1dp=[[0]*(cnt+2) for i in range(n+5)]sum_res=[0]*(n+5)pre=[0]*(cnt+2) ; nex=[0]*(cnt+2)if flag==False:revstr=bracket_list[::-1]for i in range(0,n):if revstr[i]==')':bracket_list[i]='('else:bracket_list[i]=')'m,now=0,0for i in range(0,n):if bracket_list[i]==')':sum_res[m+1]=nowm+=1if bracket_list[i]=='(':now+=1if sum_res[1]>0:dp[1][0]=1 ; pre[0]=1for i in range(1,cnt+1):dp[1][i]=1pre[i]=pre[i-1]+1for i in range(2,m+1):dp[i]=prefor j in range(0,cnt+1):nex[j]=0for j in range(max(0,i-sum_res[i]),cnt+1):nex[j]=(nex[j-1]+dp[i][j])%MODpre=nex[:]return dp[m][cnt]if __name__=="__main__":bracket_list=[i for i in input()]n=len(bracket_list)tot,cnt1,cnt2=0,0,0for bracket in bracket_list:if bracket=='(':tot+=1else:tot-=1if tot<0:cnt1+=1tot=0cnt2=totres=calc(cnt1,1,n)*calc(cnt2,0,n)%MODprint(res)