AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (高度差= 右子树高度 - 左子树高度) ，如果超过1需要对树中的结点进行调整，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么左右高度差不是相等呢？

因为有些结点数量是永远不能保证高度差相等的比如2个，4个… 所以只能退而求其次，左右高度差不超过1.。

🔍一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 每个子树也都要遵守左右子树高度之差的绝对值不超过1
• AVL树的实现不一定必须要用平衡因子，平衡因子只是它的一种实现方式，个人感觉平衡因子比较容易理解AVL树

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。
一个正常的平衡二叉搜索树的的平衡因子只能是-1 0 1

AVL树节点的定义

template <class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0)//新插入的结点，没有左右子树，所以平衡因子为0{}
};
template <class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv);
private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树的插入

🔍 AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为几步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 更新平衡因子
3. 如果更新完以后，平衡因为没有出现问题$|bf|<=1$，平衡结构没有受到影响，不需要处理
4. 如果更新完以后，平衡出现问题$|bf|>1$，平衡结构受到影响， 需要处理(旋转)

🔍 插入新增节点，会影响祖先的平衡因子(全部或者部分)

1. 新增结点在parent左边 cur == parent->_left) parent->_bf--
2. 新增结点在parent右边cur == parent->_right parent->_bf++

🔍 每增加一个结点，就要检查parent所在的子树高度是否变化? 变了继续更新，不变则不再更新。

1. 新增结点后，如果parent的平衡因子等于1或者-1，parent所在的子树高度变了，需要继续向上更新平衡因子。为什么呢？因为在插入结点之前parent的平衡因子等于0，说明插入之前左右两个子树高度相等，现在parent一边高一边低，高度发生变化需要继续向上更新平衡因子。
2. 新增结点后，如果parent的平衡因子等于2或者-2，parent所在的子树高度不平衡了,需要处理这个子树(进行旋转)。
3. 新增结点后，如果parent的平衡因子等于0，parent所在的子树高度不变，不需要处理继续向上更新，这一次插入结束。为什么呢？说明插入之前parent的平衡因子等于1或者-1,插入之前parent一边高一边低，插入的结点填在了矮的那一边，它的高度不变。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (nullptr == _root)//第一次插入{_root = new Node(kv);return true;}//插入的树不是空树Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//不支持重复数据return false;}}//插入数据cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < cur->_kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//链接父结点cur->_parent = parent;//更新平衡因子//父结点的平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度while (parent)//终止条件，根结点的父结点为空{if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 需要旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{//说明这个AVL树存在问题assert(false);}break;}else{//说明这个AVL树存在问题assert(false);}}return true;
}

AVL树的旋转

💡旋转的原则:保持他继续是搜索树。
💡旋转的目的:左右均衡，降低整棵树的高度。
🔍如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

左单旋(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)

a,b,c当高度为0

a,b,c当高度为1

a,b,c当高度为2

a,b,c当高度为…

后面的情况就不画了情况太多了。只要符合parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1的子树和根都可以进行左单旋。
💻左单旋代码

//右子树高，进行左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* childR = parent->_right;Node* childRL = childR->_left;parent->_right = childRL;if (childRL)//如果childRL不为空，要链接父节点childRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;childR->_left = parent;parent->_parent = childR;if (nullptr == pparent)//说明是根结点{_root = childR;//_root->_parent = nullptr;childR->_parent = nullptr;}else{//判断是pparent的左子树还是右子树if (pparent->_left == parent){pparent->_left = childR;}else{pparent->_right = childR;}childR->_parent = pparent;//链接父结点}parent->_bf = childR->_bf = 0;//更新平衡因子
}

右单旋(parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)

a,b,c当高度为0

a,b,c当高度为1

a,b,c当高度为2

a,b,c当高度为…

后面的情况就不画了情况太多了。只要符合parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1的子树和根都可以进行右单旋。
💻右单旋代码

//左子树高，进行右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* childL = parent->_left;Node* childLR = childL->_right;parent->_left = childLR;if (childLR)childLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;childL->_right = parent;parent->_parent = childL;if (_root == parent)//说明是根结点{_root = childL;_root->_parent = nullptr;}else{//判断是pparent的左子树还是右子树if (pparent->_left == parent){pparent->_left = childL;}else{pparent->_right = childL;}childL->_parent = pparent;//链接父结点}parent->_bf = childL->_bf = 0;//更新平衡因子
}

左右双旋(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)

a,b,c当高度为0

a,b,c当高度为1

a,b,c当高度为2

a,b,c当高度为…

后面的情况就不画了情况太多了。只要符合parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1`的子树和根都可以进行左右双旋。
💻左右双旋代码

//左子树的右子树高，进行左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* childL = parent->_left;Node* childLR = childL->_right;int bf = childLR->_bf;//bf有三种情况RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 1)//bf == 1代表新增加结点是childLR的左子树{parent->_bf = 0;childLR->_bf = 0;childL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//bf == -1代表新增加结点是childLR的右子树{parent->_bf = 1;childLR->_bf = 0;childL->_bf = 0;}else if (bf == 0)//bf == 0代表新增加结点是childLR，使平衡因子发生错误{parent->_bf = 0;childLR->_bf = 0;childL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

右左双旋(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)

a,b,c当高度为0

a,b,c当高度为1

a,b,c当高度为2

a,b,c当高度为…

后面的情况就不画了情况太多了。只要符合parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1的子树和根都可以进行右左双旋。

💻右左双旋代码

//右子树的左子树高，进行右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* childR = parent->_right;Node* childRL = childR->_left;int bf = childRL->_bf;//bf有三种情况RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;childR->_bf = 0;childRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;childR->_bf = 1;childRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;childR->_bf = 0;childRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。