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题解

多简单的一道题呀！

看到这道题，我们应该很容易·想到要把$\sum A_{i,p_i}$与$\sum B_{i,p_i}$转化一下。毕竟直接处理这两个的积应该是十分麻烦的。
看到积我们想起了什么呢？面积。我们可以建出一个以$\sum A_i$与$\sum B_i$作为横纵坐标的坐标轴，这样，每种选法都可以表示为这个坐标轴的一个点，而匹配一个就可以看作这上面的一个向量。当前选法的的点围出的面积。

我们可以先求出$\sum A_i$与$\sum B_i$分别最小的两个点，记作$A$与$B$，很明显，我们的最优的选法一定在这条线段的左侧，而且一定在所有的选法的点关于线段$AB$围出的下凸包上。
关于这个凸包，我们可以先在这个凸包上二分，找出它面积最小的一个点。

但很明显，如果直接求这个点的面积是十分麻烦的，我们考虑对其进行转化。
很明显，当这个点的面积最小的时候，也就是$S_{\Delta }ABC$的面积最大的时候。
而$S_{\Delta }ABC=|\frac{\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}}{2}|$。
可得，$|\frac{\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}}{2}|=(x_B-x_A)(y_C-y_A)+(y_B-y_A)(x_C-x_A)=(x_B-x_A)y_C+(y_B-y_A)x_C+2x_A{y}_A-x_B{y}_A-y_B{x}_A$。
很明显，这个式子中后半部分是定值，我们只需要使得$(x_B-x_A)y_C+(y_B-y_A)x_C$最大即可。
我们可以将二分图的边权赋值为$(x_B-x_A)y_C+(y_B-y_A)x_C$即可通过最大匹配来求出$C$，而先前的点$A$与点$B$均可通过二分图最大匹配跑KM来求出，应该是很模板的做法。

总时间复杂度为$O\left(n^{3}logn\right)$，当然如果用dfs写KM就会是更大的时间复杂度了，笔者看很多题解都写的是dfs，虽说笔者写的是bfs，但好像都可以过。

源码

为祭奠misaka与network故将misaka写作mikasa。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 75
#define reg register
typedef long long LL;
const int INF=0x7f7f7f7f;
const LL inf=0x7f7f7f7f7f7f;
template<typename _T>
inline void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while('0'>s||'9'<s){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
int t,n,a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],mp[MAXN][MAXN],pre[MAXN];
int lx[MAXN],ly[MAXN],px[MAXN],py[MAXN],vx[MAXN],vy[MAXN];LL slack[MAXN];
struct point{int x,y;point(){x=y=0;}};
bool operator == (const point x,const point y){return x.x==y.x&&x.y==y.y;}
queue<int> q;
inline bool check(int u){vy[u]=1;if(py[u]){vx[py[u]]=1;q.push(py[u]);return 0;}while(u)swap(u,px[py[u]=pre[u]]);return 1;
}
inline void bfs(const int x){for(reg int i=1;i<=n;++i)vx[i]=vy[i]=0,slack[i]=inf;while(!q.empty())q.pop();q.push(x);vx[x]=1;while(1){while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(reg int v=1;v<=n;++v){if(vy[v])continue;int dif=lx[u]+ly[v]-mp[u][v];if(dif<slack[v]){pre[v]=u;if(dif)slack[v]=dif;else{if(check(v))return  ;}}}}LL d=inf;for(reg int i=1;i<=n;++i)if(!vy[i])d=min(slack[i],d);for(reg int i=1;i<=n;++i){if(vx[i])lx[i]-=d;if(vy[i])ly[i]+=d;else slack[i]-=d;}for(reg int i=1;i<=n;++i)if(!vy[i]&&!slack[i]&&check(i))return ;}
}
inline point mikasa(){for(reg int i=1;i<=n;++i)lx[i]=-INF,ly[i]=px[i]=py[i]=pre[i]=0;for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)lx[i]=max(lx[i],mp[i][j]);for(reg int x=1;x<=n;++x)bfs(x);point ans;for(reg int i=1;i<=n;++i)ans.x+=a[py[i]][i],ans.y+=b[py[i]][i];return ans;
}
inline int sakura(const point A,const point B){for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)mp[i][j]=(B.y-A.y)*a[i][j]+(A.x-B.x)*b[i][j];point mid=mikasa();if(A==mid||B==mid)return min(A.x*A.y,B.x*B.y);return min(sakura(A,mid),sakura(mid,B));
}
signed main(){read(t);while(t--){read(n);for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)read(a[i][j]);for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)read(b[i][j]);for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)mp[i][j]=-a[i][j];point A=mikasa();for(reg int i=1;i<=n;++i)for(reg int j=1;j<=n;++j)mp[i][j]=-b[i][j];point B=mikasa();printf("%d\n",sakura(A,B));}return 0;
}

谢谢！！！