文章目录
- 一、前言
- 二、SPFA 算法
- 1、SPFA算法的基本流程
- 2、代码详解
- 三、SPFA 算法已死 ?
一、前言
SPFA算法,全称为Shortest Path Faster Algorithm,是求解单源最短路径问题的一种常用算法,它可以处理有向图或者无向图,边权可以是正数、负数,但是不能有负环。
二、SPFA 算法
1、SPFA算法的基本流程
1. 初始化
首先我们需要起点s到其他顶点的距离初始化为一个很大的值(比如9999999,像是 JAVA 中可以设置 Integer.MAX_VALUE
来使),并将起点s的距离初始化为0。同时,我们还需要将起点s入队。
2. 迭代
每次从队列中取出一个顶点u,遍历所有从u出发的边,对于边(u,v)(其中v为从u可以到达的顶点),如果s->u->v的路径长度小于s->v的路径长度,那么我们就更新s->v的路径长度,并将v入队。
3. 循环
不断进行步骤2,直到队列为空。
4. 判断
最后,我们可以得到从起点s到各个顶点的最短路径长度,如果存在无穷小的距离,则说明从起点s无法到达该顶点。
其次,需要注意的是,SPFA算法中存在负环问题。如果存在负环,则算法会陷入死循环。因此,我们需要添加一个计数器,记录每个点进队列的次数。当一个点进队列的次数超过图中节点个数时,就可以判定存在负环。
2、代码详解
以下是使用Java实现 SPFA算法的代码,其中Graph类表示有向图或无向图,Vertex类表示图中的一个顶点,Edge类表示图中的一条边。
import java.util.*;class Graph { // 图private List<Vertex> vertices; // 顶点集public Graph() {vertices = new ArrayList<Vertex>();}public void addVertex(Vertex v) { // 添加顶点vertices.add(v);} // 添加顶点public List<Vertex> getVertices() { // 返回顶点return vertices;} // 获取顶点集
}class Vertex { // 点private int id; // 点 idprivate List<Edge> edges; // 连接到该顶点的边private int distance; // 从源顶点到该顶点的最短距离,MAX_VALUE initprivate boolean visited; // 在图的遍历过程中是否访问过该顶点,false initpublic Vertex(int id) {this.id = id;edges = new ArrayList<Edge>();distance = Integer.MAX_VALUE;visited = false;}public int getId() { // 获取 idreturn id;}public void addEdge(Edge e) { // 将连接到该顶点边添加到列表中edges.add(e);} // 添加图到边public List<Edge> getEdges() { // 获取连接到该顶点的边集return edges;} // 获取图中边public int getDistance() { // 获取从源顶点到该顶点的最短距离return distance;} // 获取源顶点到该顶点的最短距离public void setDistance(int distance) { //设置最短距离this.distance = distance;} // 设置源顶点到该顶点的最短距离public boolean isVisited() { // 获取在图的遍历过程中是否访问过该点return visited;} // 获取图遍历过程中是否访问过该点public void setVisited(boolean visited) { // 设置在图的遍历过程中是否访问过该点this.visited = visited;} // 设置图遍历过程中是否访问过该点
}class Edge { // 边private Vertex source; // 源顶点private Vertex destination; // 目标顶点private int weight; // 边的权重public Edge(Vertex source, Vertex destination, int weight) {this.source = source;this.destination = destination;this.weight = weight;}public Vertex getSource() { // 返回源顶点return source;} // 获取源点public Vertex getDestination() { // 返回目标顶点return destination;} // 获取目标顶点public int getWeight() { // 获取边的权重return weight;} // 获取边的权重
}// SPFA 算法
public class SPFA { public static void spfa(Graph graph, Vertex source) {// 初始化Queue<Vertex> queue = new LinkedList<Vertex>(); // 初始化一个顶点队列,使用该队列来跟中需要处理的顶点 for (Vertex v : graph.getVertices()) { // 初始化最短距离和是否访问过该点v.setDistance(Integer.MAX_VALUE);v.setVisited(false);}source.setDistance(0); // 将源顶点到自身的最短距离设为0queue.add(source); // 将源顶点添加到队列中// 迭代int count = 0; // 用于检测图中的负环,count超过图中顶点的总数,抛出异常// 查找从一个源顶点到图中所有其它顶点的最短路径while (!queue.isEmpty()) { Vertex u = queue.poll(); // 存储SPFA算法正在处理的顶点,poll 方法将下一个顶点从队列中取出u.setVisited(false); // 标记该顶点为未访问,以便在算法中再次对其处理// 查找部分,循环遍历当前顶点 u 的所有边for (Edge e : u.getEdges()) { Vertex v = e.getDestination(); // 返回边 e 的目标顶点给 vint distance = u.getDistance() + e.getWeight(); // 计算源顶点到目标顶点的距离if (distance < v.getDistance()) {v.setDistance(distance); // 更新最短距离if (!v.isVisited()) { // 如果该顶点未被访问过queue.add(v); // 将该顶点添加到队列中v.setVisited(true); // 标记该顶点已被访问count++; // 负环 + 1if (count > graph.getVertices().size()) { // 检查 SPFA 算法处理的顶点数是否大于图中顶点总数throw new RuntimeException("Negative cycle detected");}}}}}}public static void main(String[] args) {// 构造图Graph graph = new Graph();// 构造顶点Vertex s = new Vertex(0);Vertex a = new Vertex(1);Vertex b = new Vertex(2);Vertex c = new Vertex(3);Vertex d = new Vertex(4);// 点加边s.addEdge(new Edge(s, a, 2));s.addEdge(new Edge(s, c, 1));a.addEdge(new Edge(a, b, 3));b.addEdge(new Edge(b, d, 2));c.addEdge(new Edge(c, d, 1));// 边加点graph.addVertex(s);graph.addVertex(a);graph.addVertex(b);graph.addVertex(c);graph.addVertex(d);// 调用SPFA算法求解最短路径spfa(graph, s);// 输出结果for (Vertex v :graph.getVertices()) {System.out.println("Shortest distance from source to vertex " + v.getId() + " is " + v.getDistance()); } }
}
上面的代码实现了SPFA算法,并计算了从给定源点到图中其他所有顶点的最短路径。主要思路如下:
- 初始化:将所有顶点的距离设置为正无穷,将源点的距离设置为0,将源点加入队列。
- 迭代:从队列中取出一个顶点u,遍历它的所有邻居v。如果u到源点的距离加上u到v的边的权重小于v的距离,则更新v的距离,并将v加入队列中。如果v已经在队列中,则不需要再次添加。
- 如果队列为空,则算法结束。如果队列非空,则回到步骤2。
SPFA算法的时间复杂度取决于负权边的数量。如果图中没有负权边,算法的时间复杂度是O(E),其中E是边的数量。但是如果图中有负权边,算法的时间复杂度将达到O(VE),其中V是顶点的数量,E是边的数量。因此,为了避免算法的时间复杂度变得非常高,应尽可能避免在图中使用负权边。
三、SPFA 算法已死 ?
这个问题引发了很多OI选手和出题人的讨论,虽然 SPFA 算法在实际应用中具有一定的优势,但它也有一些缺点,导致它被称为"已死"的算法之一。以下是几个原因:
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可能会进入负环:SPFA 算法可以处理负权边,但是如果有负权环,算法将无法结束,因为每次都会沿着负权环一遍一遍地更新距离,导致算法陷入死循环。
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时间复杂度不稳定:在最坏情况下,SPFA 算法的时间复杂度可以达到 O ( V E ) O(VE) O(VE),其中 V V V 和 E E E 分别是图中的顶点数和边数。而在最好情况下,时间复杂度只有 O ( E ) O(E) O(E)。因此,SPFA 算法的时间复杂度是不稳定的。
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存在更好的算法:对于单源最短路径问题,已经有更好的算法出现,如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法。这些算法在时间复杂度和稳定性方面都比 SPFA 算法更优秀。
虽然 SPFA 算法在某些情况下可以发挥出优势,但是它的缺点也是无法忽视的,而且已经有更好的算法出现,不少大佬也或多或少的对 SPFA 算法进行了优化,更多优化的内容以及最短路径算法可以在论文中找到。因此,SPFA 算法已经不是首选算法,也可以说是已经“死亡”了。