在线评测链接:P1084

题目内容

在一个遥远的王国里，有一座高耸入云的宝塔，据说里面藏有神秘的宝藏。但是，进入宝塔的道路异常困难，需要经过各种险阻，其中一个重要的关卡是“平衡之门”。

平衡之门是一条走廊，两边是无数个数码显示屏幕，每个屏幕上都显示着一个整数。在走廊中央有一个控制台，上面有两个按钮，一个是“乘2”按钮，一个是“除以$2$”按钮。每次按下其中一个按钮，控制台上的数字就会相应地变化。走廊中的每个数字最多只能被操作一次。

王国的宝藏猎人们想要通过平衡之门，以最小的代价进入宝塔。他们发现，只需要选择恰好 $k$ 个数字，使得每个数字经过不超过一次的操作后，可以得到所有的数字，就可以顺利通过平衡之门。现在他们需要你的帮助，计算出最小的极差，即经过操作后最大值和最小值之差的最小值。

输入描述

第一行输入两个正整数 $n$ 和 $k$ ，代表数组长度以及选择的元素数量。

第二行输入$n$个元素，代表给定的数组。

$1\le k\le n\le 10^5$

$1\le a_i\le 10^9$

输出描述

$k$ 次操作后，数组极差的最小值。

样例

输入输出示例仅供调试，后台判题数据一般不包含示例

输入

4 2
1 4 3 5

输出

2

样例

输入

6 1
9 4 3 4 2 5

输出

3

思路

贪心

1.观察到每个数最多修改一次，那么显然最优的修改方案一定是前$i$小都乘以$2$，前$k-i$大都除以$2$。

2.那么排序,枚举$i$然后模拟这个过程，去求最大值最小值，复杂度达到$O(n^2)$ 。但好在我们只关心极差，即最大值和最小值，所以不需要去模拟操作每一个数。而是考虑一次操作后结果会分成三段,分别去求这三段的最值就好了。如下图所示,我们只需要从这六个红圈中取极值即可。

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代码

CPP

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int in() {int x;cin >> x;return x;
}
int main()
{int n = in(), k = in();int a[n];for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] = in();}sort(a, a+n);           //排序int ans = (int)1e9;for (int i = 0; i <= k; i++) {      //枚举修改前i小//三者不一定都存在，所以最小值初始化为一个较大的值，最大值初始化为一个小的值，再用三者更新int mi = (int)1e9, mx = 0;      if(i > 0) {     // 第一段的端点mi = min(mi, a[0]*2);mx = max(mx, a[i-1]*2);}if(k-i > 0) {   // 第三段的端点mi = min(mi, a[n-(k-i)]/2);mx = max(mx, a[n-1]/2);}if(n != k) {    // 第二段的端点mi = min(mi, a[i]);mx = max(mx, a[n-(k-i)-1]);}ans = min(ans, mx - mi);        //更新极差最小值}cout << ans << endl;
}

python

n, k = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
a.sort()  # 排序
ans = float("inf")
for i in range(k + 1):  # 枚举修改前i小# 三者不一定都存在，所以最小值初始化为一个较大的值，最大值初始化为一个小的值，再用三者更新mi, mx = float("inf"), 0if i > 0:  # 第一段的端点mi = min(mi, a[0] * 2)mx = max(mx, a[i - 1] * 2)if k - i > 0:  # 第三段的端点mi = min(mi, a[n - (k - i)] // 2)mx = max(mx, a[n - 1] // 2)if n != k:  # 第二段的端点mi = min(mi, a[i])mx = max(mx, a[n - (k - i) - 1])ans = min(ans, mx - mi)  # 更新极差最小值
print(ans)

Java

import java.util.*;
class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt(), k = in.nextInt();int[] a = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] = in.nextInt();}Arrays.sort(a);			//排序int ans = (int)1e9;for (int i = 0; i <= k; i++) {		int mi = (int)1e9, mx = 0;		// 第一段的端点if(i > 0) {		mi = Math.min(mi, a[0]*2);mx = Math.max(mx, a[i-1]*2);}// 第三段的端点if(k-i > 0) {	mi = Math.min(mi, a[n-(k-i)]/2);mx = Math.max(mx, a[n-1]/2);}// 第二段的端点if(n != k) {	mi = Math.min(mi, a[i]);mx = Math.max(mx, a[n-(k-i)-1]);}// 更新最小极差ans = Math.min(ans, mx - mi);		}System.out.println(ans);}
}

Go

package mainimport ("fmt""sort"
)func main() {var n, k intfmt.Scan(&n, &k)// 读入序列并排序a := make([]int, n)for i := 0; i < n; i++ {fmt.Scan(&a[i])}sort.Ints(a)// 初始化最小极差为一个较大的值ans := int(1e9)// 枚举修改前i小的数for i := 0; i <= k; i++ {// 初始化三个段的端点的最小值和最大值mi, mx := int(1e9), 0// 第一段的端点if i > 0 {mi = min(mi, a[0]*2)mx = max(mx, a[i-1]*2)}// 第三段的端点if k-i > 0 {mi = min(mi, a[n-(k-i)]/2)mx = max(mx, a[n-1]/2)}// 第二段的端点if n != k {mi = min(mi, a[i])mx = max(mx, a[n-(k-i)-1])}// 更新最小极差ans = min(ans, mx-mi)}// 输出最小极差fmt.Println(ans)
}// 取两个整数的最小值
func min(a, b int) int {if a < b {return a}return b
}// 取两个整数的最大值
func max(a, b int) int {if a > b {return a}return b
}

Js

process.stdin.resume();
process.stdin.setEncoding('utf-8');
let input = '';
process.stdin.on('data', (data) => {input += data;return;
});
process.stdin.on('end', () => {const lines = input.trim().split('\n');const nk = lines[0].trim().split(' ').map(Number);const n = nk[0], k = nk[1];const a = lines[1].trim().split(' ').map(Number);a.sort((a , b) => {return a - b;});  // 排序let ans = 1e9;for (let i = 0; i <= k; i++) {  // 枚举修改前i小// 三者不一定都存在，所以最小值初始化为一个较大的值，最大值初始化为一个小的值，再用三者更新let mi = 1e9, mx = 0;if (i > 0) {  // 第一段的端点mi = Math.min(mi, a[0] * 2);mx = Math.max(mx, a[i - 1] * 2);}if (k - i > 0) {  // 第三段的端点mi = Math.min(mi, a[n - (k - i)] >> 1);mx = Math.max(mx, a[n - 1] >> 1);}if (n !== k) {  // 第二段的端点mi = Math.min(mi, a[i]);mx = Math.max(mx, a[n - (k - i) - 1]);}ans = Math.min(ans, mx - mi);  // 更新极差最小值}console.log(ans);
});