迪杰斯特拉算法-(.c)

一、定义

Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）是很有代表性的最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。该算法指定一个点（源点）到其余各个结点的最短路径，因此也叫做单源最短路径算法。该算法是由荷兰计算机科学家Edsger W.Dijkstra于1959年发表。

Dijkstra算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径算法，不存在回溯的过程，因此它还不适用于带有负权重的情况。如果权值存在负数，那么被派生出来的可能是更短的路径，这就需要过程可以回溯，之前的路径需要被更短的路径替换掉，而Dijkstra算法是不能回溯的，它的每一步都是以当前最优选择为前提的。

Dijkstra算法的思想是广度优先搜索（BFS）贪心策略。对于计算非加权图中的最短路径，也可使用BFS算法。Dijkstra算法是对BFS算法的推广，以起始点为中心向外层层扩展，并且每一次都选择最优的结点进行扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法可以划归为贪心算法，下一条路径都是由当前更短的路径派生出来的更长的路径。

Dijkstra算法在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构、图论、运筹学等。

二、演示例子

例子：

第1步，创建距离表。第1列是结点名称，第2列是从起点A到对应结点的已知最短距离。开始我们并不知道A到其它结点的最短距离是多少，默认初始距离是无穷大。如图2-1-1所示：

图2-1-1

第2步，遍历起点A的所有相邻结点，找到起点A的邻接结点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2，刷新距离表中起点A到各结点的最短距离(绿色表示刷新)。如图2-1-2所示。

图2-1-2

第3步，从图2-1-2距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是结点C（最小距离是2）。遍历结点C的所有相邻结点，找到结点C的相邻结点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是1，所以A到D的距离是A-C-D=2 1=3；从C到F的距离是8；从A到F的距离是A-C-F=2 8=10。然后刷新距离表(绿色表示刷新)。如图2-1-3所示：

图2-1-3

第4步，从图2-1-3距离表中找到从A出发距离最短的点（红色结点C已经遍历过，不需要考虑），也就是结点D（最小距离是3）。遍历结点D的所有相邻结点，找到相邻结点B、E和F（C已遍历过，不考虑）。从A-C-D-B的距离是3 1=4；从A-C-D-E的距离是3 1=4；从A-C-D-F的距离是3 2=5。刷新距离表中起点A到各结点的最短距离。如图2-1-4所示。

图2-1-4

第5步，从图2-1-4距离表中找到从A出发距离最短的点（红色结点C、D已经遍历过，不需要考虑），也就是结点B和E（最小距离是4）。遍历结点B的所有相邻结点，找到相邻结点E(D遍历过，不考虑),从A-C-D-B-E的距离为10，比当前A到E的最小距离4要大，不考虑。遍历结点E的所有相邻结点，找到相邻结点G、B(D遍历过，不考虑),从A-C-D-E-G的距离为4 7=11<∞, 刷新距离表;A-C-D-E-B的距离4 6=10>4,不考虑。如图2-1-5所示。

图2-1-5

第6步，从图2-1-5距离表中找到从A出发距离最短的点（红色结点B、C、D、E已经遍历过，不需要考虑），也就是结点F（最小距离是5）。从A-C-D-F-G的距离为8, 比当前最小距离11要小，刷新距离表。如图2-1-6所示。

图2-1-6

就这样，除终点以外的全部结点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有结点的最短距离。

例子：

Dijkstra算法的执行过程：设初始集合S={s}, Q={t,y,x,z}. 源结点s为最左边的结点，每个结点中（圆圈中）的数值为该结点的最短路径的估计值（当前中间值）。黑色的结点属于集合S，白色的结点属于集合Q。每次从集合 S中选择最新加入的结点，分别计算并刷新与它直接相邻的结点的最短路径的估计值，然后从集合Q中选择最小估计值的结点，加入到集合S中。例如(b)中，集合Q中刷新后各结点的估计值为10，5，∞，∞，选择最小估计值为5的结点y，加入到集合S中, 接着计算并刷新结点y的相邻结点的最短路径的估计值。依次类推，直到集合Q中的所有结点全部加入到集合S中，算法结束。如图2-3-1所示。

图2-3-1

三、应用

一切能抽象成图或树的场景，如果要求最短路径，Dijkstra算法可考虑。比如，查找两个城市之间的最短路径；在地图中寻找两个地点之间的最短路径；在网络连接中为路由器寻找最短的传输路径等。

四、源码

######   mian.c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXVEW 100//最大顶点数
#define INFINITY 65536//正无穷typedef struct
{char vexs[MAXVEW];//顶点表int arc[MAXVEW][MAXVEW];//邻接矩阵int numVertexes;//顶点数int numEdges;//边数
}MGraph;//建立无向网图的邻接矩阵表示
void CreatMGraph(MGraph *G)
{int i,j,k,w;//w为权值printf("输入顶点数和边数:\n");scanf("%d %d",&G->numVertexes,&G->numEdges);//输入顶点数和边数fflush(stdin);for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)//读入顶点信息{scanf("%c",&G->vexs[i]);getchar();}for(i = 0;i < G->numVertexes;i++)for(j = 0; j < G->numVertexes; j++)G->arc[i][j] = INFINITY;//邻接矩阵初始化for(k = 0; k < G->numEdges; k++)//读入numEdges条边，建立邻接矩阵{printf("输入边(vi,vj)下标i,下标j和权w:\n");scanf("%d %d %d",&i,&j,&w);fflush(stdin);G->arc[i-1][j-1] = w;G->arc[j-1][i-1] = w;//无向图}
}
void print_graph(MGraph G)
{int i,j;printf("邻接矩阵如下:\n");for(i = 0;i < G.numVertexes;i++){for(j = 0;j < G.numVertexes; j++){printf("%5d ",G.arc[i][j]);}printf("\n");}
}void Dijkstra(MGraph G,int x,int y)
{int i,k;int min;int u;int dis[G.numVertexes];//最小路径int mark[G.numVertexes];//被标记的for(i = 0; i < G.numVertexes; i++){mark[i] = 0;dis[i] = G.arc[x][i];}mark[x] = 1;//标记源点for(k = 0; k < G.numVertexes; k++){min = INFINITY;for(i = 0; i < G.numVertexes; i++){if(mark[i] == 0 && min > dis[i]){min = dis[i];u = i;}}mark[u] = 1;for(i = 0; i < G.numVertexes; i++){if(!mark[i] && dis[u] + G.arc[u][i]){dis[i] = dis[u] + G.arc[u][i];}}}//for(y = 0; y < G.numVertexes; y++)//{printf("最短路径为%d\n",dis[y]);//}
}int main()
{//int i = 0;int x = 0;int y = 0;MGraph G;MGraph *pG;pG = &G;CreatMGraph(pG);print_graph(G);//for(i = 0; i<20; i++)//{printf("输入源点和终点:\n");scanf("%d %d",&x,&y);Dijkstra(*pG,x-1,y-1);//}return 0;
}