4. Semantic Rig Parameters

使用parametric face model对人脸建模based on a set of semantic control parameters $\mathbf{p}=\left(\alpha ,\beta ,\delta ,\mathbf{R},\mathbf{t}\right)\in {\mathbb{R}}^{257}$，其中

• facial shape $\alpha \in {\mathbb{R}}^{80}$
• skin reflectance $\beta \in {\mathbb{R}}^{80}$
• facial expression $\delta \in {\mathbb{R}}^{64}$
• scene illumination $\gamma \in {\mathbb{R}}^{27}$
• head rotation $\mathbf{R}\in SO(3)$，$SO(3)$表示三维旋转群
• translation $\mathbf{t}\in {\mathbb{R}}^3$

文献[4]（3DMM）中的200 scans of human faces，包含53k vertices，分别提取80个facial shape和skin reflectance的主成分

文中提到了表情基的计算方式，与文献[2, 6]有关，对a set of blendshapes进行PCA，每个主成分表示vertices的位移

scene illumination表示为three bands of spherical harmonics per color channel，在MOFA论文的解释更加详细

5. Training Corpus

StyleGAN中$\mathbf{w}$空间的维度是$18\times 512$，首先采样200k个$\mathbf{w}$，并生成对应的图像${\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}=StyleGAN(\mathbf{w})$

既然都已经得到了$\left(\mathbf{w},{\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}\right)$ pair，为什么作者还说 Each training sample is generated by combining up to 5 separately sampled latent vectors, similar to the mixing regularizer？

6. Network Architecture

Differentiable Face Reconstruction

整个框架中的一个组件叫做differentiable face reconstruction (DFR)，包含一个parameter regressor $\mathcal{F}$和一个differentiable render layer $\mathcal{R}$

parameter regressor $\mathcal{F}$的作用是将latent code转换为parameters，记作$\mathbf{p}=\mathcal{F}(\mathbf{w})$，具体结构为一个3层MLP

如何衡量预测的parameter是否准确，需要将$\mathbf{p}$渲染成图像$\mathcal{R}(\mathbf{p})$，与${\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}$进行比较，故有如下的rendering loss
$${\mathcal{L}}_{\text{render}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},\mathbf{p})={\mathcal{L}}_{\text{photo}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},\mathbf{p})+{\lambda }_{\text{land}}{\mathcal{L}}_{\text{land}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},\mathbf{p})(1)$$

其中，第1项称为dense photometric alignment loss：
$${\mathcal{L}}_{\text{photo}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},\mathbf{p})={\Vert \mathbf{M}\odot \left({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}-\mathcal{R}(\mathbf{p})\right)\Vert }_2^2(2)$$
渲染方式采用point-based rendering，背景渲染不到，所以需要使用$\mathbf{M}$来指示被渲染的区域

第2项称为sparse landmark loss：
$${\mathcal{L}}_{\text{land}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},\mathbf{p})={\Vert {\mathbf{L}}_{{\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}}-{\mathbf{L}}_{\mathbf{M}}\Vert }_2^2(3)$$
${\mathbf{L}}_{{\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}}\in {\mathbb{R}}^{66\times 2}$是${\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}$上的62个关键点，${\mathbf{L}}_{\mathbf{M}}$是由预测parameter -> 3D mesh -> 2D投影关键点

除此之外，其实还有第3项loss，没有明确写在公式(1)上，we also employ statistical regularization on the parameters of the face model, as done in MoFA

使用数据集$\left(\mathbf{w},{\mathbf{I}}_{\mathbf{w}}\right)$就可以训练DFR，训练完成后就有了一个工具，将latent code翻译为parameter，Fig. 3展示了DFR的人脸重建效果

注：rendering loss体现了一种思想，就是$\mathbf{w}$可以通过2条路径转换为图像（在Fig. 2中可以看到），一是由StyleGAN直接生成图像，二是先翻译为$\mathbf{p}$，然后再渲染成图像，两幅生成的图像就可以衡量误差了

框架中的另一个组件就是本文的重点，RigNet

RigNet的作用是做信息的融合，有一个$\mathbf{w}$，另外有一个$\mathbf{v}$，可翻译为${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$，我们想要一个新的有head pose编辑效果的$\hat{\mathbf{w}}$，那么就将$\mathbf{w}$和${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$的head rotation分量送入RigNet，即可得到$\hat{\mathbf{w}}$，记为$\hat{\mathbf{w}}=RigNet\left(\mathbf{w},{\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}\right)$

RigNet Encoder

输入一个$18\times 512$维的$\mathbf{w}$，将它的维度降到32，得到$18\times 32$维的$\mathbf{l}$，具体结构为18个独立的FC Layer

RigNet Decoder

输入为$\mathbf{l}$和$\mathbf{p}$（准确来说应该是$\mathbf{p}$的若干个分量，如head rotation/expression/illumination），输出为$\mathbf{d}$，再加上Encoder的输入$\mathbf{w}$，构成残差结构$\hat{\mathbf{w}}=\mathbf{d}+\mathbf{w}$，具体结构同样也是18个独立的FC Layer

7. Self-supervised Training

Our goal is to train RigNet such that we can inject a subset of parameters into a given latent code $\mathbf{w}$.

每一次前向传播涉及2个latent code $\left(\mathbf{w},\mathbf{v}\right)$，于是可根据二者是否相等分为2种情况

(1) 当$\mathbf{w}=\mathbf{v}$时，相当于自己注入自己的信息来做编辑，称为Reconstruction

我们有一个$\mathbf{w}$，然后注入自己的parameter $\mathcal{F}(\mathbf{w})$，得到的结果应该与$\mathbf{w}$相等，从而有如下的reconstruction loss
$${\mathcal{L}}_{\text{rec}}={\Vert RigNet\left(\mathbf{w},\mathcal{F}(\mathbf{w})\right)-\mathbf{w}\Vert }_2^2$$

(2) 当$\mathbf{w}\ne \mathbf{v}$时，可以做双向的编辑（把谁注入谁），这里以向$\mathbf{w}$注入$\mathbf{v}$的head rotation信息来做编辑为例

首先有 { w , p w , I w , } , { v , p v , I v } \left \{ \mathbf{w}, \mathbf{p_w}, \mathbf{I_w}, \right \}, \left \{ \mathbf{v}, \mathbf{p_v}, \mathbf{I_v} \right \} {w,pw​,Iw​,},{v,pv​,Iv​}；向$\mathbf{w}$中注入${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$的head rotation分量，得$\hat{\mathbf{w}}=RigNet\left(\mathbf{w},{\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}\right)$；将$\hat{\mathbf{w}}$翻译为$\hat{\mathbf{p}}=\mathcal{F}(\hat{\mathbf{w}})$

此时$\hat{\mathbf{p}}$的head rotation分量应该与${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$的head rotation分量相等，于是可以做L2 Loss，但在文献[33]中已经证实了在parameter空间衡量误差的方法效果并不好（直观理解，过于严格了），所以还是需要渲染成图像才能衡量$\hat{\mathbf{p}}$的好坏

我们的做法是，将$\hat{\mathbf{p}}$的head rotation分量抽出来，覆盖到${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$上，得到新的${\mathbf{p}}_{\mathbf{v}}$记作${\mathbf{p}}_{\text{edit}}$，于是可以复用衡量parameter好坏的公式(1)，得到一项称为Cycle-Consistent Per-Pixel Editing Loss的损失
$${\mathcal{L}}_{\text{edit}}={\mathcal{L}}_{\text{render}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{v}},{\mathbf{p}}_{\text{edit}})$$

另一方面，对于$\hat{\mathbf{p}}$，如果我们关注非head rotation分量，应该与${\mathbf{p}}_{\mathbf{w}}$的非head rotation相等才行，所以采用同样的做法，将$\hat{\mathbf{p}}$的非head rotation分量抽出来，覆盖到${\mathbf{p}}_{\mathbf{w}}$上，得到新的${\mathbf{p}}_{\mathbf{w}}$记作${\mathbf{p}}_{\text{consist}}$，于是有如下的Cycle-consistent Per-pixel Consistency Loss
$${\mathcal{L}}_{\text{consist}}={\mathcal{L}}_{\text{render}}({\mathbf{I}}_{\mathbf{w}},{\mathbf{p}}_{\text{consist}})$$

最终的损失函数为
$${\mathcal{L}}_{\text{totcal}}={\mathcal{L}}_{\text{rec}}+{\mathcal{L}}_{\text{edit}}+{\mathcal{L}}_{\text{consist}}$$
需要注意的是，${\mathcal{L}}_{\text{edit}},{\mathcal{L}}_{\text{consist}}$是双向的编辑，并且本文并没有为每一个loss项赋予权重

小结：凡是做image editting，都要关注两个方面，一是注入信息的准确性（即要有属性编辑的效果），二是非注入信息的保留性（即其他属性不能更改），所以引申出了文中的2个consistency loss；另外，还需要考虑自己注入自己的特殊情况