题目

现在有 40 亿个无符号整数，无符号整数的范围是 0 ~ 2³²-1（42亿+），哪怕 40 亿个数完全不同，在该范围中也总有没有出现过的数，试问如何找到所有该范围中没出现过的数？

要求

1）内存 1G

直接使用位图

常见的存储数据单位有 int，long等，而位图则是采用位作为单位来存储数据，使用一个或者多个位来标记某个元素对应的值

位图是通过位数组来表示对应的元素是否存在的。像在本题中无符号整数一共有 2³² 个，如果使用位数组来表示每个数有没有出现过(0 表示没出现过，1 表示出现过)，那么差不多只要花费 500 MB 的空间就可以表示这 2³² 个数

那么之后我们只需要遍历这 40 亿个数，如果出现过就将位数组中对应的位置标记为 1，如果从未出现过，那么对应的位一定还是 0

最后位数组中还是 0 的位对应的数就是我们要找的从未出现过的数们

2）内存 3 KB

内存只有 3 KB，但是只需要找到一个没有出现过的数即可

将这 3 KB的内存都拿来申请 int 类型的数组，该数组中元素的个数为 2 的某次方，那么 3 KB最多可以申请到 2 的 9 次方大小（512）的 int 类型的数组

既然为 2 的某次方，就意味着 512 一定可以被 2 的32 次方整除，那么我们就把 2 的32 次方平均分成 512 份，每一份应该有 2 的 23 次个数

接下来，我们就可以遍历这 40 亿个数，遍历到数字 X，我们就把该数除以 2 的 23 次方，来看看，这个数属于哪个范围，将数组对应的位置的值加一

如果说一共有 2 的 32 次方个数（每个数都是不同的），那么将上面的数进行以上的操作，最后 512 个 int 的值都会是 2 的 23 次方

由于现在只有 40 亿个数，并且只要求找到一个没有出现过的数即可，那就意味着，数组中一定会有一个 int 的值不足 2 的 23 次方

既然如此，就可以将缺少的数定位到该区间内，再将该区间内的值分成 512 份，进行之前类似的操作，每一份就是 2 的 14 次方个数，周而复始，一定能够定位到没有出现过的数

3）内存 有限变量

只提供有限几个变量，如何找到一个没有出现过的数

原理和上面的方法差不多，只不过没有办法申请更多元素的 int 数组罢了，没有办法将 2 的32 次方的数分成更多份，那我们可以进行二分，就有两个区间 [0,2³¹-1] 和 [2³¹,2³²-1]

如果只有 40 亿个数，将其遍历，找两个变量分别统计两个区间出现的数的个数，最后找到一个没有满 2 的 31 次方的区间，继续二分，那么最多分 32 次，一定能够找到一个没出现过的数

举例

如果理解有困难，我们可以将数量变小，进行举例

比如一共有 9 个数（5,8,2,0,3,2,9,4,3），这 9 个数都在 [0,9] 这个范围内，那么至少有一个数在范围内但是不在提供的 9 个数中，请找出没有出现过的数

按照位图的解法，就相当于内存足够让我们申请一个有 10 位的数组

依次遍历这 9 个数，如果出现就将对应的位的位置标记成 1，就像下面这样

遍历完成后，就会发现没出现过的数是 1、6、7

再举另外一个例子

比如一共有 9 个数（5,8,14,0,10,2,9,4,3），这 9 个数都在 [0,15] 这个范围内，那么至少有一个数在范围内但是不在提供的 9 个数中，只提供 20 个字节的内存，请找出一个没有出现过的数

按照申请数组的方法就应该是这样的

一共只有 20 个字节，那么申请的 int 类型的数组最多有 4 个元素（必须是 2 的某次方），如果将提供的 9 个数分别除以 4 来确定每个数应该存在哪个范围，从而数组对应的位置值加一，比如 9，除以 4 就是 2，那么数组第 2 个值加一。

遍历完成后

题目只要求找到一个没出现过的数即可，发现数组下标为 0 的值为 3，没有满 4，说明 0~3 这个范围内一定有数没有出现过，将下一轮搜查的范围限制到 0~3，继续之前的操作

最后可以发现 1 从未出现过