前言

好久没碰博客了
也从高中生变成了大学牲（
随便写写
权当复习

正文

等价无穷小

$x\to 0$时
$$\begin{gathered} \arcsin x\sim \sin x\sim \arctan x\sim \tan x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2 \\ (1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x \\ \ln (1+x)\sim x \\ {e}^x-1\sim x \end{gathered}$$
注意：等价无穷小的应用条件
1.里面的x（或是式子）必须趋于0
2.只能替换乘除的因子

另外，牢记无穷小*有界量=无穷小

常用积分公式

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$$
$$\begin{gathered} \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C \\ \int \csc x\tan x\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ \int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ \int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-\arctan \frac{1}{x}+C \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \int \sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C \end{gathered}$$

两个重要极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e \end{gathered}$$

求极限的几个方法

1.直接求

先代值，把非0因子直接算出
再变形（有理化、因式分解、拆项、利用等价无穷小或泰勒展开等）
再代值，把非0因子直接算出
注意要善用四则运算法则

2.夹逼定理

找到恒大于和恒小于该函数的函数，算出另外两个函数的极限（相等），得到极限

3.转化为定积分求解

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
将极限视为适当函数的黎曼和（上式），然后用定积分算出值
例如
求${\lim }_{n\to \infty }n{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(n+k{)}^2}$
可以将上式转化为${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k}{n}{)}^2}$
就可以等价于${\int }_0^1\frac{1}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

4.洛必达法则

当极限为分式且上下极限都是$0$或$\infty$时
上下同时求导，得到新的分式极限不变

积分的几个方法

1.换元

一般就是直接换分母 （暴力出奇迹）
稍微有技巧一点就是换成三角函数，一般都是利用好
${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\tan }^{2}x$
${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$
这两条式子即可

2.倒代

碰到上下都是因式但是次数不同的时候
令$t=\frac{1}{x}$，然后再做

3.分部积分

分两类：
1.$\int x^m{e}^x\mathrm{d}x$和$\int x^m\sin x\mathrm{d}x$
这类要把$e^x$和$\sin x$合并到$\mathrm{d}x$里
1.$\int x^m\ln x\mathrm{d}x$、$\int x^m\arcsin x\mathrm{d}x$和$\int x^m\arctan x\mathrm{d}x$
这类要把$x^m$合并到$\mathrm{d}x$里

4.有理化

将有理式拆分成若干个有理式（一般用待定系数法），再逐个积分，最后求和

5.定积分的技巧

1.若被积函数是奇函数，且上下界互为相反数，则答案是0
2.若被积函数是偶函数，且上下界互为相反数，则可以变成两倍的一半（常用于证明题）
3.若被积函数是周期函数，则可以按一段周期求

定积分的应用

1.弧长公式

一般形式：
$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$
参数方程形式：
$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$
极坐标形式：
$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta$

2.旋转体的体积

$V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$

3.旋转体的侧面积

一般形式：
$F=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$
参数方程形式：
$F=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$

4.极坐标下图形的面积

$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$
值得注意的是这里的上下界要考虑对称图形

5.转动惯量

其实是物理的知识了
一般用巴普斯（也叫古鲁丁）定理：
一个面绕一个点转一圈形成的物体的体积=其质心所走的路程*这个面的面积

一些定义

1.间断点

第一类间断点（左右极限都存在）：
可去间断点：左右极限存在且相等，但是不等于函数该处值
跳跃间断点：左右极限存在且不相等
第二类间断点（至少有一边极限不存在）：
无穷间断点：极限为$\infty$
振荡间断点：函数值不确定，如$\sin \frac{1}{x}$在0处

2.函数连续

在某一点连续（$x_0$点）：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
在某个区间连续（在$(a,b)$上）：在$(a,b)$上每一点都连续

3.导数

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$
或者是
${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$
若极限存在，则说明函数在这一点上可导
可导和可微可以互推

4.研究函数性质

驻点（稳定点、临界点）：一导为0且左右一正一负
拐点：二导为0且左右一正一负（二导小于0为凸，二导大于0为凹）
函数渐近线（除去水平渐近线和垂直渐近线）：
设渐近线为$y=kx+b$
则$k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$，$b={\lim }_{x\to \infty }(f(x)-kx)$

一些证明

1.证明函数极限

$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$ 使得
$|f(x)-l|<\epsilon$，只要$0<|x-x_0|<\delta$
则可证明${\lim }_{x\to x_0}f(x)=l$

因此我们的目标是找到 $\delta$ 关于 $\epsilon$ 的函数，使得上式成立
怎么找呢？

反过来想，我们最终找到一条不等式
$|f(x)-l|<A|x-x_0|$（当然x可以有一个事先去的范围比如$(x\in B)$）
这时候我们就可以取$\delta =\frac{1}{A}\epsilon$（并且要满足$|x-x_0|<\delta$）
然后把上面的证明正着写一遍就好了

接下来的目标是找到这条不等式，方法很多，诸如放缩，各种均值不等式等

一些定理（公式）

1.罗尔定理

设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$f(a)=f(b)$
又若$y=f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，则必定存在一点$c\in (a,b)$，使得
$$f^{\prime }(c)=0$$

2.微分中值定理（拉格朗日中值定理）

其实是罗尔定理的推论

设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$y=f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，则必定存在一点$c\in (a,b)$使得
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

证明的话就是构造函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，然后运用罗尔定理就可以

有一些奇怪的应用，如：
证明不等式：
$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x，\forall x>0$$
我们可以对$\ln (1+x)$在$[0,x]$上应用微分中值定理，得到$\exists c\in (0,x)$，使得
$$\ln (1+x)-\ln (1+0)=x{f}^{\prime }(c)=\frac{x}{1+c}$$
再将$0$和$x$分别带入，得到上下界，可证明该结论

3.柯西中值定理

其实是微分中值定理的推论（

设$y=f(x)$和$y=g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且在开区间$(a,b)$上可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，则必定存在一点$c\in (a,b)$，使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$

证明和微分中值定理很像，构造函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$，然后同样运用罗尔定理

4.泰勒展开

局部泰勒公式（在$x_0$点，展开$n$阶），其中$x\to x_0$：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$
当$x_0=0$时，该式称为麦克劳林公式
写几个常见的麦克劳林公式，其中$x\to 0$
$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+1})$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$
$(1+x{)}^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
常见的替换
$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$
$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

5.两函数相乘的n阶导数

$$[f(x)\cdot g(x){]}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{f}^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$
写几个n阶导数
${\sin }^{n}x=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$
${\cos }^{n}x=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$
${\ln }^n(1+x)=(-1{)}^{n-1}(1+x{)}^{-n}(n-1)!$

6.链式法则

看起来很没用实际上很有用的东西
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$
中间可以添若干项

7.三角函数有关

积分的时候经常用到

万能公式

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$
$\cos 2x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$
$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

倍角公式

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
${\tan }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

空间解析几何

定义

平面

$Ax+By+Cz+D=0$（$(A,B,C)$为该平面法向量）

直线

形如$$l:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
表示为两个平面的交线
也可以写成参数方程
形如$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
其中$(a,b,c)$是该直线的方向向量，$(x_0,y_0,z_0)$是该直线上的一点
也会写成坐标形式
$$l:\{\begin{array}{l}x=ta+x_0\\ y=tb+y_0\\ z=tc+z_0\end{array}$$

运算

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos <\vec{a},\vec{b}>$
$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin <\vec{a},\vec{b}>$（方向是用右手定则判断，同时垂直于两个向量）
行列式计算：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

定理（公式）

1.判断两个向量是否共线

$\vec{a},\vec{b}共线\iff \vec{a}\times \vec{b}=0$

2.判断三个向量是否共面

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}共面\iff \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=0$

3.两个不共线向量确定一个平面

（设为$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_3)$）
令
$$\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=0$$
即可得到平面方程

4.直线的方向向量

$$l:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
则该直线的方向向量为两个平面法向量的叉乘

多元函数