文章目录
- 前言
- 正文
- 等价无穷小
- 常用积分公式
- 两个重要极限
- 求极限的几个方法
- 1.直接求
- 2.夹逼定理
- 3.转化为定积分求解
- 4.洛必达法则
- 积分的几个方法
- 1.换元
- 2.倒代
- 3.分部积分
- 4.有理化
- 5.定积分的技巧
- 定积分的应用
- 1.弧长公式
- 2.旋转体的体积
- 3.旋转体的侧面积
- 4.极坐标下图形的面积
- 5.转动惯量
- 一些定义
- 1.间断点
- 2.函数连续
- 3.导数
- 4.研究函数性质
- 一些证明
- 1.证明函数极限
- 一些定理(公式)
- 1.罗尔定理
- 2.微分中值定理(拉格朗日中值定理)
- 3.柯西中值定理
- 4.泰勒展开
- 5.两函数相乘的n阶导数
- 6.链式法则
- 7.三角函数有关
- 万能公式
- 倍角公式
- 空间解析几何
- 定义
- 平面
- 直线
- 运算
- 定理(公式)
- 1.判断两个向量是否共线
- 2.判断三个向量是否共面
- 3.两个不共线向量确定一个平面
- 4.直线的方向向量
- 多元函数
前言
好久没碰博客了
也从高中生变成了大学牲(
随便写写
权当复习
正文
等价无穷小
x→0x\to 0x→0时
arcsinx∼sinx∼arctanx∼tanx∼x1−cosx∼12x2(1+x)α−1∼αxln(1+x)∼xex−1∼x\arcsin{x} \sim \sin{x} \sim \arctan{x} \sim \tan{x} \sim x\\ 1-\cos{x} \sim \frac{1}{2} x^2\\ (1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x\\ \ln(1+x) \sim x\\ e^{x}-1 \sim x arcsinx∼sinx∼arctanx∼tanx∼x1−cosx∼21x2(1+x)α−1∼αxln(1+x)∼xex−1∼x
注意:等价无穷小的应用条件
1.里面的x(或是式子)必须趋于0
2.只能替换乘除的因子
另外,牢记无穷小*有界量=无穷小
常用积分公式
∫1xdx=ln∣x∣+C\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln{\lvert{x}\rvert}+C\\ ∫x1dx=ln∣x∣+C
∫secxtanxdx=secx+C∫cscxtanxdx=−cscx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫dx1−x2=arcsinx+C∫dx1+x2=arctanx+C=−arctan1x+C\int \sec{x} \tan{x} \mathrm{d}x=\sec{x}+C\\ \int \csc{x} \tan{x} \mathrm{d}x=-\csc{x}+C\\ \int \tan{x}\mathrm{d}x=-\ln{\lvert\cos{x}\rvert}+C\\ \int \cot{x}\mathrm{d}x=\ln{\lvert\sin{x}\rvert}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin{x}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan{x}+C=-\arctan{\frac{1}{x}}+C\\ ∫secxtanxdx=secx+C∫cscxtanxdx=−cscx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫1−x2dx=arcsinx+C∫1+x2dx=arctanx+C=−arctanx1+C
∫dxx2+a2=1aarctanxa+C∫dxx2−a2=12aln∣x−ax+a∣+C∫dxa2−x2=arcsinxa+C∫dxx2±a2=ln∣x+x2±a2∣+C∫x2±a2dx=x2x2±a2±a22ln∣x+x2±a2∣+C∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln{\lvert\frac{x-a}{x+a}\rvert}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln{\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\rvert}+C\\ \int \sqrt{x^2\pm a^2} \mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln{\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\rvert}+C\\ \int \sqrt{a^2- x^2} \mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2- x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+C\\ ∫x2+a2dx=a1arctanax+C∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C∫a2−x2dx=arcsinax+C∫x2±a2dx=ln∣x+x2±a2∣+C∫x2±a2dx=2xx2±a2±2a2ln∣x+x2±a2∣+C∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
两个重要极限
limx→0sinxx=1limn→∞(1+1n)n=e\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\\ x→0limxsinx=1n→∞lim(1+n1)n=e
求极限的几个方法
1.直接求
先代值,把非0因子直接算出
再变形(有理化、因式分解、拆项、利用等价无穷小或泰勒展开等)
再代值,把非0因子直接算出
注意要善用四则运算法则
2.夹逼定理
找到恒大于和恒小于该函数的函数,算出另外两个函数的极限(相等),得到极限
3.转化为定积分求解
limn→∞1n∑k=1nf(kn)=∫01f(x)dx\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x n→∞limn1k=1∑nf(nk)=∫01f(x)dx
将极限视为适当函数的黎曼和(上式),然后用定积分算出值
例如
求limn→∞n∑k=1n1(n+k)2\lim_{n\to \infty}n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}limn→∞n∑k=1n(n+k)21
可以将上式转化为limn→∞1n∑k=1n1(1+kn)2\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}limn→∞n1∑k=1n(1+nk)21
就可以等价于∫011(1+x)2dx=12\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}∫01(1+x)21dx=21
4.洛必达法则
当极限为分式且上下极限都是000或∞\infty∞时
上下同时求导,得到新的分式极限不变
积分的几个方法
1.换元
一般就是直接换分母 (暴力出奇迹)
稍微有技巧一点就是换成三角函数,一般都是利用好
sin2x+cos2x=tan2x\sin^2x+\cos^2x=\tan^2xsin2x+cos2x=tan2x
tan2x+1=sec2x\tan^2x+1=\sec^2xtan2x+1=sec2x
这两条式子即可
2.倒代
碰到上下都是因式但是次数不同的时候
令t=1xt=\frac{1}{x}t=x1,然后再做
3.分部积分
分两类:
1.∫xmexdx\int x^me^x\mathrm{d}x∫xmexdx和∫xmsinxdx\int x^m\sin x\mathrm{d}x∫xmsinxdx
这类要把exe^xex和sinx\sin xsinx合并到dx\mathrm{d}xdx里
1.∫xmlnxdx\int x^m\ln x\mathrm{d}x∫xmlnxdx、∫xmarcsinxdx\int x^m\arcsin x\mathrm{d}x∫xmarcsinxdx和∫xmarctanxdx\int x^m\arctan x\mathrm{d}x∫xmarctanxdx
这类要把xmx^mxm合并到dx\mathrm{d}xdx里
4.有理化
将有理式拆分成若干个有理式(一般用待定系数法),再逐个积分,最后求和
5.定积分的技巧
1.若被积函数是奇函数,且上下界互为相反数,则答案是0
2.若被积函数是偶函数,且上下界互为相反数,则可以变成两倍的一半(常用于证明题)
3.若被积函数是周期函数,则可以按一段周期求
定积分的应用
1.弧长公式
一般形式:
s=∫ab1+[f′(x)]2dxs=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm{d}xs=∫ab1+[f′(x)]2dx
参数方程形式:
s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dts=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}ts=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dt
极坐标形式:
s=∫αβr2(θ)+[r′(θ)]2dθs=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\mathrm{d}\thetas=∫αβr2(θ)+[r′(θ)]2dθ
2.旋转体的体积
V=π∫abf2(x)dxV=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}xV=π∫abf2(x)dx
3.旋转体的侧面积
一般形式:
F=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dxF=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm{d}xF=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx
参数方程形式:
F=2π∫αβy(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2dtF=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}tF=2π∫αβy(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2dt
4.极坐标下图形的面积
S=12∫αβr2(θ)dθS=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\mathrm{d}\thetaS=21∫αβr2(θ)dθ
值得注意的是这里的上下界要考虑对称图形
5.转动惯量
其实是物理的知识了
一般用巴普斯(也叫古鲁丁)定理:
一个面绕一个点转一圈形成的物体的体积=其质心所走的路程*这个面的面积
一些定义
1.间断点
第一类间断点(左右极限都存在):
可去间断点:左右极限存在且相等,但是不等于函数该处值
跳跃间断点:左右极限存在且不相等
第二类间断点(至少有一边极限不存在):
无穷间断点:极限为∞\infty∞
振荡间断点:函数值不确定,如sin1x\sin\frac{1}{x}sinx1在0处
2.函数连续
在某一点连续(x0x_0x0点):limx→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)
在某个区间连续(在(a,b)(a,b)(a,b)上):在(a,b)(a,b)(a,b)上每一点都连续
3.导数
limΔx→0f(x0+Δx)−f(x)Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x_0)limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x)=f′(x0)
或者是
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)limx→x0x−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)
若极限存在,则说明函数在这一点上可导
可导和可微可以互推
4.研究函数性质
驻点(稳定点、临界点):一导为0且左右一正一负
拐点:二导为0且左右一正一负(二导小于0为凸,二导大于0为凹)
函数渐近线(除去水平渐近线和垂直渐近线):
设渐近线为y=kx+by=kx+by=kx+b
则k=limx→∞f(x)xk=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}k=limx→∞xf(x),b=limx→∞(f(x)−kx)b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-kx)b=limx→∞(f(x)−kx)
一些证明
1.证明函数极限
∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0,∃δ>0\exist\delta>0∃δ>0 使得
∣f(x)−l∣<ε\lvert f(x)-l\rvert<\varepsilon∣f(x)−l∣<ε,只要0<∣x−x0∣<δ0<\lvert x-x_0\rvert<\delta0<∣x−x0∣<δ
则可证明limx→x0f(x)=l\lim_{x\to x_0}f(x)=llimx→x0f(x)=l
因此我们的目标是找到 δ\deltaδ 关于 ε\varepsilonε 的函数,使得上式成立
怎么找呢?
反过来想,我们最终找到一条不等式
∣f(x)−l∣<A∣x−x0∣\lvert f(x)-l\rvert<A\lvert x-x_0\rvert∣f(x)−l∣<A∣x−x0∣(当然x可以有一个事先去的范围比如(x∈B)(x\in B)(x∈B))
这时候我们就可以取δ=1Aε\delta=\frac{1}{A}\varepsilonδ=A1ε(并且要满足∣x−x0∣<δ\lvert x-x_0\rvert<\delta∣x−x0∣<δ)
然后把上面的证明正着写一遍就好了
接下来的目标是找到这条不等式,方法很多,诸如放缩,各种均值不等式等
一些定理(公式)
1.罗尔定理
设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续,并且f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)
又若y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导,则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b),使得
f′(c)=0f'(c)=0f′(c)=0
2.微分中值定理(拉格朗日中值定理)
其实是罗尔定理的推论
设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续,并且y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导,则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b)使得
f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(c)=b−af(b)−f(a)
证明的话就是构造函数g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a),然后运用罗尔定理就可以
有一些奇怪的应用,如:
证明不等式:
x1+x<ln(1+x)<x,∀x>0\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,\forall x>01+xx<ln(1+x)<x,∀x>0
我们可以对ln(1+x)\ln(1+x)ln(1+x)在[0,x][0,x][0,x]上应用微分中值定理,得到∃c∈(0,x)\exist c\in(0,x)∃c∈(0,x),使得
ln(1+x)−ln(1+0)=xf′(c)=x1+c\ln(1+x)-\ln(1+0)=xf'(c)=\frac{x}{1+c}ln(1+x)−ln(1+0)=xf′(c)=1+cx
再将000和xxx分别带入,得到上下界,可证明该结论
3.柯西中值定理
其实是微分中值定理的推论(
设y=f(x)y=f(x)y=f(x)和y=g(x)y=g(x)y=g(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续,并且在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导,且g′(x)≠0g'(x)\neq0g′(x)=0,则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b),使得
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(c)f′(c)
证明和微分中值定理很像,构造函数g(x)=f(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)[g(x)−g(a)]g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]g(x)=f(x)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)[g(x)−g(a)],然后同样运用罗尔定理
4.泰勒展开
局部泰勒公式(在x0x_0x0点,展开nnn阶),其中x→x0x\to x_0x→x0:
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)
当x0=0x_0=0x0=0时,该式称为麦克劳林公式
写几个常见的麦克劳林公式,其中x→0x\to 0x→0
ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+o(xn)e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)ex=1+1!x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn)
sinx=x−x33!+x55!−⋯+(−1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2k+1)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+1})sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)k(2k+1)!x2k+1+o(x2k+1)
cosx=1−x22!+x44!−⋯+(−1)kx2k(2k)!+o(x2k+1)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)k(2k)!x2k+o(x2k+1)
(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)(1+x)α=1+1!αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn+o(xn)
ln(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)
常见的替换
x−sinx∼16x3+o(x3)x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^3+o(x^3)x−sinx∼61x3+o(x3)
tanx−x∼13x3+o(x3)\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx−x∼31x3+o(x3)
5.两函数相乘的n阶导数
[f(x)⋅g(x)]n=∑k=0nCnkf(k)(x)g(n−k)(x)[f(x)\cdot g(x)]^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)[f(x)⋅g(x)]n=k=0∑nCnkf(k)(x)g(n−k)(x)
写几个n阶导数
sinnx=sin(x+nπ2)\sin^nx=\sin(x+\frac{n\pi}{2})sinnx=sin(x+2nπ)
cosnx=cos(x+nπ2)\cos^nx=\cos(x+\frac{n\pi}{2})cosnx=cos(x+2nπ)
lnn(1+x)=(−1)n−1(1+x)−n(n−1)!\ln^n(1+x)=(-1)^{n-1}(1+x)^{-n}(n-1)!lnn(1+x)=(−1)n−1(1+x)−n(n−1)!
6.链式法则
看起来很没用实际上很有用的东西
dxdz=dxdy⋅dydz\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}dzdx=dydx⋅dzdy
中间可以添若干项
7.三角函数有关
积分的时候经常用到
万能公式
sin2x=2tanx1+tan2x\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}sin2x=1+tan2x2tanx
cos2x=1−tan2x1+tan2x\cos 2x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}cos2x=1+tan2x1−tan2x
tan2x=2tanx1−tan2x\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}tan2x=1−tan2x2tanx
倍角公式
sin2x=1−cos2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}sin2x=21−cos2x
cos2x=1+cos2x2\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}cos2x=21+cos2x
tan2x=1−cos2x1+cos2x\tan^2x=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}tan2x=1+cos2x1−cos2x
空间解析几何
定义
平面
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0((A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)为该平面法向量)
直线
形如l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0l:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
表示为两个平面的交线
也可以写成参数方程
形如x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} ax−x0=by−y0=cz−z0
其中(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)是该直线的方向向量,(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)是该直线上的一点
也会写成坐标形式
l:{x=ta+x0y=tb+y0z=tc+z0l:\begin{cases} x=ta+x_0\\ y=tb+y_0\\ z=tc+z_0 \end{cases} l:⎩⎨⎧x=ta+x0y=tb+y0z=tc+z0
运算
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos<a⃗,b⃗>\vec{a}\cdot \vec{b}=\lvert \vec{a}\rvert\lvert \vec{b}\rvert\cos<\vec{a},\vec{b}>a⋅b=∣a∣∣b∣cos<a,b>
∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin<a⃗,b⃗>\lvert\vec{a}\times \vec{b}\rvert=\lvert \vec{a}\rvert\lvert \vec{b}\rvert\sin<\vec{a},\vec{b}>∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b>(方向是用右手定则判断,同时垂直于两个向量)
行列式计算:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33
定理(公式)
1.判断两个向量是否共线
a⃗,b⃗共线⇔a⃗×b⃗=0\vec{a},\vec{b}共线\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0a,b共线⇔a×b=0
2.判断三个向量是否共面
a⃗,b⃗,c⃗共面⇔a⃗⋅(b⃗×c⃗)=0\vec{a},\vec{b},\vec{c}共面\Leftrightarrow\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0a,b,c共面⇔a⋅(b×c)=0
3.两个不共线向量确定一个平面
(设为a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z3)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_3)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z3))
令
∣xyzx1y1z1x2y2z2∣=0\begin{vmatrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{vmatrix}=0 xx1x2yy1y2zz1z2=0
即可得到平面方程
4.直线的方向向量
l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0l:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
则该直线的方向向量为两个平面法向量的叉乘