专栏：数据结构
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专栏简介：这里是HaiFan.的数据结构专栏，今天的内容是二叉树。

树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，是由n个有限结点组成的具有一个层次关系的集合，把称为树是因为把它倒着看很像一颗树。

• 有一个特殊的结点，称为根节点，根节点没有前驱结点
• 除根结点之后，其余的结点都是互不相交的集合，每一个集合都是一颗结构与树类似的子树。
• 树是递归定义的

像这样，就被称为树。

子树一旦相交，就不再叫做树，而是另一种特殊的数据结构—图

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除此之外，树还有一些性质。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度，如1的度为2

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点，如4，5，6，7都是叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点 ，如1，2，3

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点 ，如1是2的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点，如2是1的孩子节点

兄弟结点：具有同一个父节点的子树，如2和3就互为兄弟结点

树的度：树最大的节点的度称为树的度，如树的度为2

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为3

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：4和6

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：1是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是1的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

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那么树是怎么表示的呢？

树的结构就有点复杂了，用线性表定义树的话呢，会面临一个问题：就是一个节点可能有n个子树，那么定义多少个接口来存储该节点和子树的关系呢？这个不太好解决。于是，有大佬相出了解决办法：孩子兄弟表示法，孩子表示法等等，在这里讲解一下孩子兄弟表示法。

struct Node
{struct Node* left_child; //左孩子struct Node* right_child;//右兄弟int data;//数据
}

就比如上图中的树，

这样存，不管有多少个子树，都可以存储，left存左二子，right存兄弟。

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二叉树概念及结构

二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树形结构，它有一个根节点以及每个节点最多有两个子节点(一个左孩子，一个右孩子)

性质：

1. 因为每个节点最多两个孩子，所以二叉树的最大的度不超过2
2. 左儿子是左儿子，右儿子是右儿子，有顺序之分
3. 叶子节点没有子节点
4. 每一层上的节点数目都不超过2的n - 1次方，根节点为第一层
5. 对于深度为k的二叉树来说，最多有2的n次方-1个节点，最少有k个节点
6. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2 + 1
7. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度**，**h= log(n + 1). (ps： 是log以2为底，n+1为对数)

特殊的二叉树

满二叉树：深度为k且有2的k次方-1个节点的二叉树称为满二叉树

完全二叉树：对于深度为k的二叉树来说，除了第k层节点从左到右连续排列外，其余层节点都连续的排列

二叉树的存储结构

提到存储结构，肯定是顺序结构和链式结构。

1. 二叉树的顺序结构就是利用数组去存储，一般使用数组只适合完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费(完全二叉树会使得数组中的每一个位置都存的有元素，而非完全二叉树会造成空间的浪费，想一想为什么)

2. 链式存储：定义一个结构体，结构体中 有两个结构体指针，一个存数据，一个指针用来指向左二子，一个指针用来指向右儿子。

   typedef char TreeDataType;
   typedef struct BinaryTreeNode
   {TreeDataType val;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
   }BTNode;
   

二叉树的顺序结构及实现

普通的二叉树不适合用数组来存储数据，因为可能会造成大量的空间浪费，而完全二叉树比较适合使用顺序结构存储。

提到完全二叉树，就不得不提到堆这一概念，堆是一个数据结构而不是管理内存的一块区域分段。

大根堆和小根堆

大根堆就是每个节点的值都大于等于父节点的值，根节点的值最大

小根堆就是每个节点的值都小于等于父节点的值，根节点的值最小

堆的实现及其各个接口

实现堆，还是结构体那一套。

typedef struct Heap
{int capacity;HeapDataType* val;int count;
}Heap;void HeapInit(Heap* ps);//初始化
void HeapDestory(Heap* ps);//销毁空间void HeapPush(Heap* ps, HeapDataType x);//入堆
void HeapPop(Heap* ps);//出堆HeapDataType HeapTop(Heap* ps);//返回堆顶元素int HeapSize(Heap* ps);//堆的大小
bool HeapEmpty(Heap* ps);//堆是否为空

堆的初始化和空间销毁

之前的链表，顺序表，双链表等数据结构会的话相信堆的初始化和销毁难不倒各位。

void HeapInit(Heap* ps)
{ps->capacity = 4;ps->count = 0;ps->val = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * ps->capacity);
}void HeapDestory(Heap* ps)
{ps->capacity = ps->count = 0;free(ps->val);ps->val = NULL;
}

入堆

入堆之前要检查数组的空间是否够用，够用则直接加入数据，不够则扩容。

void HeapPush(Heap* ps, HeapDataType x)
{assert(ps);if (ps->capacity == ps->count){ps->capacity *= 2;HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(ps->val, sizeof(HeapDataType) * ps->capacity);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}}ps->val[ps->count++] = x;HeapJustUp(ps->val, ps->count);
}

但是光加入数据可不行，要进行向上调整，把数据调整成小根堆或者大根堆，但是调整是有前提的，左右子树必须是一个堆，才不会导致堆内数据乱。所以我们每加入一个数据调整一次，即可做到堆是一个大堆或者小堆。

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void HeapJustUp(HeapDataType* a, int n)
{int parent = n - 2 >> 1;int child = n - 1;while (parent >= 0){if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]){child++;}if (a[parent] < a[child]){std::swap(a[parent], a[child]);child = parent;parent = child - 1 >> 1;}else{break;}}}

向上调整堆，要找到父亲和孩子，父亲就是元素的总个数-2之后在/2，孩子就是元素总个数-1.

因为是向上调整，父亲节点的下标会慢慢变小，所以循环条件可以设置成parent>=0，有了循环条件，还要比较左右孩子哪个大，然后在让孩子和父亲比较，最后更新父亲下标和孩子下标即可。

删除堆顶元素

删除堆顶元素就是让堆顶元素和堆底元素进行一个交换，然后元素个数-1.交换完成之后，要进行向下调整，向下调整要求左右子树是大根堆或者小根堆，在入堆这一步，我们已经完成了这个操作，所以可以直接调整。

void HeapPop(Heap* ps)
{assert(ps);assert(ps->count);std::swap(ps->val[0], ps->val[ps->count--]);HeapJustDown(ps->val, 0, ps->count);
}

那么向下调整是怎么调的呢？

因为要把堆顶元素调到下面，所以从下标为0的位置开始向下调整。

0的位置就是父亲节点，然后要找到儿子节点child = parent * 2 + 1，然后判断左右孩子哪个大，在判断父亲节点和孩子节点的大小关系，更新下标即可。

void HeapJustDown(HeapDataType* a, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;while (child <= n){if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[parent] < a[child]){std::swap(a[parent], a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

返回堆顶元素

HeapDataType HeapTop(Heap* ps)
{assert(ps);return ps->val[0];
}

返回堆的大小

int HeapSize(Heap* ps)
{assert(ps);return ps->count;
}

判断堆是否为空

bool HeapEmpty(Heap* ps)
{assert(ps);return ps->count == 0;
}

二叉树的链式实现

typedef char TreeDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{TreeDataType val;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* TreeInit();//初始化BTNode* BinaryTreeCreate();//创建二叉树void BinaryTreeDestory(BTNode* root);//销毁二叉树int BinaryTreeSize(BTNode* root);//二叉树的大小int BinaryTreeLeveKSize(BTNode* root, int k);//第k层有多少个元素BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, TreeDataType x);//查找数据void PrevOrder(BTNode* root);//前序遍历void InOrder(BTNode* root);//中序遍历void PosOrder(BTNode* root);//后序遍历

二叉树的初始化

BTNode* TreeInit()
{BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));root->val = 0;root->left = NULL;root->right = NULL;return root;
}

二叉树的创建

BTNode* Creat(BTNode* t)
{TreeDataType ch;cin >> ch;if (ch == '-1'){t = NULL;}else{t->val = ch;Creat(t->left);Creat(t->right);}
}
----------------------------------------------------------BTNode* BuyNode(TreeDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}newnode->val = x;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;return newnode;
}BTNode* BinaryTreeCreate()
{BTNode* newnode1 = BuyNode('A');BTNode* newnode2 = BuyNode('B');BTNode* newnode3 = BuyNode('C');BTNode* newnode4 = BuyNode('D');BTNode* newnode5 = BuyNode('E');BTNode* newnode6 = BuyNode('F');BTNode* newnode7 = BuyNode('G');newnode1->left = newnode2;newnode1->right = newnode3;newnode2->left = newnode4;newnode4->left = newnode7;newnode3->left = newnode5;newnode3->right = newnode6;return newnode1;
}

两种方法创建二叉树，第一种方法是用前序遍历的方法创建二叉树，第二种是自己手动创建一个二叉树。

前序遍历

二叉树的前序遍历是先访问根节点，在访问左子树，在访问右子树，是以递归的形式进行的

void PrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){cout << "NULL ";return;}cout << root->val << ' ';PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}

中序遍历

二叉树的中序遍历是先访问左子树，在访问根节点，然后右子树，同样是以递归的形式进行的。

void PrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){cout << "NULL ";return;}cout << root->val << ' ';PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}

后序遍历

先左子树，在右子树，最后根节点

void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){cout << "NULL ";return;}InOrder(root->left);cout << root->val << ' ';InOrder(root->right);
}

二叉树的销毁

二叉树的创建是用的先序遍历，而二叉树的销毁则用的是后续遍历

void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (!root){return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

二叉树的大小

二叉树的大小很好判断，想一想一个树很深，很多叶子，每个子树上都有一个小领导，小领导来查他管理的地区的叶子，然后层层向上汇报，直到汇报给最大的领导，就可以完成了。

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int l = BinaryTreeSize(root->left);int r = BinaryTreeSize(root->right);return l + r + 1;}

二叉树第k层的大小

第k层的大小该怎么判断呢，还是用上面的办法，找到第k层的小领导，让他把第k层的情况汇报给你即可

int BinaryTreeLeveKSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}int l = BinaryTreeLeveKSize(root->left, k - 1);int r = BinaryTreeLeveKSize(root->right, k - 1);return l + r;}

二叉树查找数据

查找数据，从左子树找，从右子树找，依次递归即可

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, TreeDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->val == x){return root;}BTNode* l = BinaryTreeFind(root->left, x);if (l){return l;}BTNode* r = BinaryTreeFind(root->right, x);if (r){return r;}return NULL;}