利用公式 （n-1)³ = n³ -3n² +3n-1

 

设 S3 = 1³ +2³ +3³ +4³ +...+n³

及 S2 = 1² +2² +3² +4² +...+n²

及 S1 = 1 +2 +3 +4+...+n 

 

得：

S3-3S2+3S1-n = (1-1)³ + (2-1)³⁺ (3-1)³ + (4-1)³ + ... + (n-1)³  = S3 -n³  

所以， 3S2 = 3S1+n³ -n

把 S1= n(n+1)/2 带入上式， 可得： 

 

S2 = n(n+1)(2n+1)/6 

 

即： 1² +2² +3² +4² +...+n²   = n(n+1)(2n+1)/6 

 

可以设想，用同样的方法，可以利用S4而得到S3即1³ +2³ +3³ +4³ +...+n³ 的公式，依次类推。