模型描述

经济模型描述

1. 符号说明

符号	意义
$k$	表示第k个时段（把时间离散化为时段,1个时段相当于商品的1个生产周期）
$x_k$	第 $k$时段商品的数量为$x_k$
$y_k$	第 $k$时段商品的价格为$y_k$
$f$	需求曲线
$h$	供应曲线

2. 模型假设

• 商品的本期产量决定于前一期的价格。
• 商品本期的需求量决定于本期的价格。
• 商品生产周期较长，供给变动存在时滞，而需求不存在时滞。

3. 模型建立
     同一时段商品的价格$y$取决于数量$x_p$,设$y_k=f(x_k)$它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。因为商品的数量越多价格越低,所以用一条下降曲线$f$表示,称需求曲线。
     下一时段商品的数量$x$,由上一时段价格$y$决定,设$x_{k+1}=h(y_k)$或$y_k=g(x_{k+1})$这里$g$是$h$的反函数,$h$或$g$反映生产者的供应关系,称供应函数。因为价格越高,生产量(即下一时段的商品数量)越大,所以在图中供应曲线$g$是一条上升曲线。
     图中两条曲线相交于$P(x_0,y_0)$,即点$P$是平衡点,意味着一旦在某一时段$k$有$x=x_0$,则$y_k=y_0$,$x_{k+1}=x_0$,$Y_{k+1}=y_0$…即$k$以后各时段商品的数量和价格将永远保持在$P$点。但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在$P$点,不妨设$x$,偏离$x_0$。我们下面分三种情况分析随着$h$的增加,$x$和$y_k$的变化。
   情形一：收敛型蛛网
   
   供给弹性小于需求弹性，波动趋于稳定，靠近P点。
   情形二：发散型蛛网
   
   供给弹性大于需求弹性。
   情形三：封闭型蛛网
   
   供给弹性等于需求弹性。
     差分方程模型：
   差分方程模型在$P_0$点附近可以用直线来近似曲线$f$和$h$,

$$\{\begin{array}{c}{y}_k-y_0=-\alpha (x_k-x_0)\\ x_{k+1}-x_0=-\beta (y_k-y_0)\end{array}$$
$$\begin{array}{c}\Rightarrow x_{k+1}-x_0=-\alpha \beta (x_1-x_0)\end{array}$$

对k递推得到

$$x_{k+1}-x_0=(-\alpha \beta {)}^k(x_1-x_0)$$

容易看出,当$$k\to \infty$$$P_0$点稳定的条件是$a\beta <1$;不稳定条件是$a\beta >1$。
该模型可以看做是两条相交曲线斜率绝对值比较的可视化。该模型可以拓展为辅助证明数列的单调有界、收敛性。

画图代码

#示例
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pynverse import inversefunc
import math
x=np.linspace(0.05,2.6,100)
h=x**2
hh=lambda x:x**2
d=inversefunc(hh)
f=pow(x,-0.7)
ff=lambda x:pow(x,-5)
xx=[]
yy=[]
a=6
for i in range(4):yy.append(a)b=d(a)xx.append(b)a=pow(b,-0.7)
xx.insert(0,xx[0])
xx.insert(2,xx[2])
xx.insert(4,xx[4])
yy.insert(1,yy[1])
yy.insert(3,yy[3])
yy.insert(5,yy[5])
print(xx,yy)plt.figure()
plt.plot(x,h,'b')
plt.plot(x,f,'c')
plt.plot(xx,yy,"--")
plt.annotate('start',xy=(xx[0],yy[0]))
plt.quiver(xx[0],yy[0],0,-1,color='c')
plt.annotate('end',xy=(xx[-1],yy[-1]))
plt.xlabel("number")
plt.ylabel("price")
plt.show()