1.O(n²)算法

定义dp[i]：以ai为结尾的最长上升子序列的长度

以ai结尾的上升子序列是：

①只包含ai的子序列

②在满足j<i并且a_j<a_i的以a_j为结尾的上升子列末尾，追加上a_i后得到的子序列

综合以上两种情况，便可以得到递推关系式：

dp[i] = max{1, dp[j]+1| j<i且aj<ai}

 

2.O(nlogn)算法

定义dp[i]：长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值（不存在就是INF）

最开始全部dp[i]的值都初始化为INF。然后由前到后逐个考虑数列的元素，对于每个a_j，如果i=0或者dp[i-1]<a_j的话，就用dp[i]=min(dp[i],a_j)进行更新。最终找出使得dp[i]<INF的最大的i+1就是结果了。

 

 

 

STL二分查找

 

lower_bound():

 

头文件： #include<algorithm>

函数模板： 如 binary_search()

函数功能：  函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。如果所有元素都小于val，则返回last的位置

 

举例如下：

一个数组number序列为：4,10,11,30,69,70,96,100.设要插入数字3,9,111.pos为要插入的位置的下标

则

pos = lower_bound( number, number + 8, 3) -number，pos = 0.即number数组的下标为0的位置。

 

pos = lower_bound( number, number + 8, 9) -number， pos = 1，即number数组的下标为1的位置（即10所在的位置）。

 

pos = lower_bound( number, number + 8, 111)- number， pos = 8，即number数组的下标为8的位置（但下标上限为7，所以返回最后一个元素的下一个元素）。

 

所以，要记住：函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。如果所有元素都小于val，则返回last的位置，且last的位置是越界的！！~

返回查找元素的第一个可安插位置，也就是“元素值>=查找值”的第一个元素的位置

 

 

upper_bound():

 

头文件：#include<algorithm>

函数模板： 如binary_search()

函数功能：函数upper_bound()返回的在前闭后开区间查找的关键字的上界，返回大于val的第一个元素位置

 

例如：一个数组number序列1,2,2,4.upper_bound(2)后，返回的位置是3（下标）也就是4所在的位置,同样，如果插入元素大于数组中全部元素，返回的是last。(注意：数组下标越界)

返回查找元素的最后一个可安插位置，也就是“元素值>查找值”的第一个元素的位置

 

注意：

         lower_bound(val):返回容器中第一个值【大于或等于】val的元素的iterator位置。

        upper_bound(val): 返回容器中第一个值【大于】val的元素的iterator位置。

 

附：两种算法代码

第一种：复杂度为O(n^2)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int MAX=1e6+10;int num[MAX];
int dp[MAX];int main(){int n;while(cin>>n){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&num[i]);int ans=0;for(int i=0;i<n;i++){dp[i]=1;for(int j=0;j<i;j++){if(num[i]>num[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}ans=max(ans,dp[i]);}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

第二种：复杂度为O(nlogn)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX=1e5+10;
int num[MAX] ;
int dp[MAX];
int main(){int n;while(cin>>n){int m,cnt;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&num[i]);fill(dp,dp+n,INF);for(int i=0;i<n;i++)*lower_bound(dp,dp+n,num[i])=num[i];cout<<lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp<<endl;}	return 0;
}