矩阵求逆_高斯消元法

news/2024/11/14 17:21:11/

高斯消元法流程

首先必须要判断矩阵是不是一个方阵，其方法是对于一个矩阵 $An×nA_{n \times n}$ ，先构造一个增广矩阵 $\mid E]$ ，其中 $E$ 是一个 $\times n$ 的单位矩阵，这样 $W$ 就成了一个 $\times 2n$ 的矩阵。接下来对 $W$ 进行行变换，使之变成的形式 $\mid B]$ ，这样就可以确定 $A^{-1}=B$ 。

举个例子，以下矩阵：

$[11112111−1211−3212]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ -3 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right]$

右接一个单位矩阵：

$[1111100021110100−12110010−32120001]\left[\begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

进行行变换，得到行阶梯矩阵：

$[1111100001112−10000−1−1−53100001−22−11]\left[\begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -5 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right]$

进行单位化：

$[1000−11000100−321000107−50−10001−22−11]\left[\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7 & -5 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right]$

利用高斯消元法求矩阵的逆如Algorithm1。

由Algorithm1看出，利用高斯消元法求矩阵的逆的时间复杂度是 $2×O(n3)2\times O \left ( n^{3} \right )$ 。在 $n$ 越大的情况下，该方法消耗的计算成本远远小于伴随矩阵法。

高斯消元法代码实现

function B = gaussianElimination(A)
%用高斯消元法(伴随矩阵法)求矩阵的逆
%   A:原矩阵
%   B:逆矩阵
n = size(A,1);  %方阵的维度
B = eye(n);  %初始化B矩阵为单位矩阵
for i0 = 1 : npe = max(abs(A(i0 : n, i0)));   %寻找主元pe,max目的是通过主元判断矩阵是否可逆if pe == 0      %判断主元是否为0, 若是, 则矩阵A不是满秩矩阵,不存在逆矩阵disp("该矩阵A不存在逆矩阵")return;end%消去A的第i0列除去i0行以外的各行元素tmp1 = A(i0, i0);A(i0, :) = A(i0, :) / tmp1;   %主对角线上的元素变为1B(i0, :) = B(i0, :) / tmp1;   %伴随矩阵做相应变换for i1 = 1 : nif i1 ~= i0temp = A(i1, i0);A(i1, :) = A(i1, :) - A(i0, :) .* temp;B(i1, :) = B(i1, :) - B(i0, :) .* temp;endend
end
endclc;close;clear;
X = [8, 4, 5; 4, 8, 6; 5, 6, 8];
tic
B = gaussianElimination(X);
toc
tic
c = inv(X);
toc
disp(B);
disp(c);