一、定义

空间一曲线绕一固定直线旋转一周所生成的曲面

二、平面曲线绕$x$轴旋转

因为在$XOY$平面与$XOZ$平面上的曲线绕$x$轴旋转是类似的，所以此处只讲一种情况。另一种情况可以参考已写出的。

$XOZ$坐标面上的曲线$x=f(z)$,$(a<z<b)$绕$x$轴旋转一周后得到的旋转曲面的方程为：$$x=f(\pm \sqrt{y^2+z^2},x)$$
其参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=f(u)\\ y=ucos(\theta )\\ z=usin(\theta )\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

例1：曲线$x=z^2$,$(0\le z\le 10)$,绕$x$轴旋转一周所得到的图形。

解：旋转曲面的一般方程为：$$x=y^2+z^2$$参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=u^2\\ y=ucos(\theta )\\ z=usin(\theta )\end{array}$$
代码如下：

clear,clc
u=0:0.1:10;
X=u.^2;
theta=0:pi/100:2*pi;
[U,Theta]=meshgrid(X,theta); %生成二维网格
Y=U.*cos(Theta);
Z=U.*sin(Theta);
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
title('x=z^2绕x轴旋转')
%surf(X,Y,Z)

例2：曲线$z=x^2$,$(-10\le x\le 10)$绕$x$轴旋转一周所得到的图形。

解：转曲面的方程为：$$\sqrt{z^2+y^2}=x^2$$

其参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=u\\ y=u^{2}cos(\theta )\\ z=u^{2}sin(\theta )\end{array}$$
代码如下：

clear,clc
u=-10:0.1:10;
X=u;
theta=0:pi/100:2*pi;
[U,Theta]=meshgrid(X,theta); %生成二维网格
Y=u.^2.*sin(Theta);
Z=u.^2.*cos(Theta);
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
title('z=x^2绕x轴旋转')
%surf(X,Y,Z)

三、平面曲线绕$y$轴旋转

$XOY$坐标面上的曲线$y=f(x)$,$(a<x<b)$绕$y$轴旋转一周后得到的旋转曲面的方程为：$$y=f(\pm \sqrt{x^2+z^2},y)$$
其参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=f(u)sin(\theta )\\ y=u\\ z=f(u)cos(\theta )\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

例3：曲线$x^2+y^2=1$,$(-1\le y\le 1)$绕$y$轴旋转一周所得到的图形

解：旋转曲面方程为：$$y=\pm \sqrt{1-x^2}$$其参数方程为:$$\{\begin{array}{c}y=u\\ x=\sqrt{1-u^2}sin(\theta )\\ z=\sqrt{1-u^2}cos(\theta )\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

代码如下：

clear,clc
u=-1:0.01:1;
theta=0:pi/100:2*pi;
[U,Theta]=meshgrid(u,theta);   %生成二维网格序列
X=sqrt(1-u.^2).*cos(Theta);
Y=U;
Z=sqrt(1-u.^2).*sin(Theta);
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
title('x=sqrt(y*ln(y+1))绕y轴旋转')
%surf(X,Y,Z)

例4：曲线$x=\sqrt{yln(y+1)}$,$(0\le y\le 1)$绕$y$轴旋转一周所得到的图形

解：旋转曲面方程为：$$x^2+z^2=yln(y+1)$$其参数方程为：$$\{\begin{array}{c}y=u\\ x=\sqrt{uln(u+1)}sin(\theta )\\ z=\sqrt{uln(u+1)}cos(\theta )\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

代码如下：

clear,clc
u=0:0.1:1;
theta=0:pi/100:2*pi;
[U,Theta]=meshgrid(u,theta);   %生成二维网格序列
X=sqrt(u.*log(u+1)).*cos(Theta);
Y=U;
Z=sqrt(u.*log(u+1)).*sin(Theta);
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
title('x=sqrt(y*ln(y+1))绕y轴旋转')
%surf(X,Y,Z)

四、平面曲线绕$z$轴旋转

$XOZ$坐标面上的曲线$z=f(x)$,$(a<x<b)$绕$x$轴旋转一周后得到的旋转曲面的方程为：$$z=f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)$$
其参数方程为：
$$\{\begin{array}{c}x=usin(\theta ))\\ y=ucos(\theta )\\ z=f(u)\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

例5：曲线$z=sin(x)$,$(0\le x\le 2\pi )$绕$z$轴旋转一周所得到的图形

解：旋转曲面的一般方程为：$$z=sin(\pm \sqrt{x^2+y^2})$$其参数方程为:$$\{\begin{array}{c}x=usin(\theta ))\\ y=ucos(\theta )\\ z=sin(u)\end{array}$$其中$u$和$\theta$为参数

代码如下:

clear,clc
u=0:0.01:2*pi;
theta=0:pi/100:2*pi;
[U,Theta]=meshgrid(u,theta);   %生成二维网格序列
X=U.*sin(Theta);
Y=U.*cos(Theta);
Z=sin(U);
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
title('z=sin(x)绕z轴旋转')
%surf(X,Y,Z)

参考： 作者scuxuxz