一 图的基本概念

1 定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G=（V,E）；|V|表示顶点个数，|E|表示边的条数

线性表可以是空表，树可以是空树，但是图不能是空图

（1）有向图

从顶点1到顶点2，1称为弧尾，2称为弧头

（2）无向图

没有方向的边

（3）简单图，多重图

简单图：不存在重复的边，不存在顶点到自身的边，如上面两图

多重图：某两个顶点直接的边数大于1条，又允许顶点通过一条边和自身相连

（4）完全图（简单完全图）

对于无向图，有n*(n-1)/2条边的无向图称为完全图，其任意两个顶点之间都存在边

对于有向图，有==n(n-1)==条弧的有向图称为有向完全图，其任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

（5）子图

如有两个图G，G`，V’是V的子集，E‘是E的子集，则G’是G的子图

若V(G’)=V(G)的子图G’，则称其为G的生成子图

但不是任意子集都能构成子图，有些可能甚至不是图

（6）连通，连通图和连通分量

连通：无向图中，顶点v到顶点w有路径存在，则v和w连通的

连通图：图G中任意两个顶点都是连通的，否则称为非连通图

无向图中的极大连通子图称为连通分量

如果一个图有n个顶点，边数小于n-1，则必是非连通图；同理，如果图是非联通图，那么最多有n-2条边

（7）强连通图，强连通分量

强连通：有向图中，一对顶点v和w，从v到w和从w到v都有路径，称他们为强连通

强连通图：图中任何一对顶点都是强连通的

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量

一个n个顶点的强连通图最少有n+1条边

（8）生成树，生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图，若有n个顶点，则含有n-1条边

去掉一个边就是非连通图，加一个边就形成回路

非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

极大连通子图：无向图的连通分量，要求该连通子图包含所有的边

极小连通子图：既要保持图连通，又要使得边数最少的子图

（9）顶点的度，入度和出度

无向图中，顶点v的度是指依附于v的边的条数，记为TD(v)，每个顶点都要算一次，n条边就2n的度

有向图中，入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)，出度是以顶点v为起点的有向边的树，记为OD(v)，度就是两者之和，且整个图的ID=OD=n（图的边数）

（10）边的权和网

每条边标上具有某种含义的数值称为该边的权值，这种带有权值的图称为带权图也称网

（11）稠密图，稀疏图

边数多就是稠密，少就是稀疏，是相对概念

（12）路径，路径长度和回路

顶点v到w经过的顶点序列就是路径，路径上的边就是路径长度，第一个顶点和最后一个顶点相同的路径成为回路或环

n个顶点，大于n-1条边的图一定有环

（13）简单路径，简单回路

简单路径：路径序列中顶点不重复出现

简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路

（14）距离

距离：顶点v到w的最短路径长度，不存在就标记为无穷

（15）有向树

一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

二 图的存储及基本操作

1 邻接矩阵法

指用一个一维数组存储图顶点信息，用一个二维数组存储图中边的信息

邻接矩阵：存储顶点直接邻接关系的二维数组

#define maxvertexnum 100         \\顶点数目
typedef char vertextype;         \\顶点的数据类型
typedef int edgetype;            \\带权图中边上权值的数据类型
typedef struct
{vertextype Vex[maxvertexnum];               \\顶点表edgetype Edge[maxvertexnum][maxvertexnum];  \\邻接矩阵，边表int vexunm,arcnum;                          \\当前顶点数和弧数
}A[i][j]=1或0  表示从顶点i到j存在边就是1，否则是0
对带权图，A[i][j]=w 表示从i到j的权值是w，如不存在边就是0或者无穷

无向图的邻接矩阵是对称矩阵，并且唯一，可采用压缩存储；第i行非零元素的个数正好是顶点i的度

对有向图的第i行非零是i的出度，第i列非零是入度

邻接矩阵表示法的空间复杂度为O(n²)，n是顶点数

要确定边数需要按行和列进行检测，时间慢，适合稠密图

邻接矩阵A，Aⁿ的元素Aⁿ[i][j]等于从i到j的长度为n的路径数目

2 邻接表法

对图的每个顶点v_i建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于v_i的边（对于有向图就是以v_I为尾的弧），称为边表（对有向图就是出边表）

边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（顶点表），所以有顶点表结点和边表结点

#define maxvertexnum 100        \\顶点数目typedef struct Arcnode          \\边表结点
{int adjvex;                 \\该弧指向顶点的位置struct Arcnode *next;       \\指向下一条弧的位置\\Infotype info;            \\边权值
}Arcnode;typedef struct Vnode             \\顶点表结点
{Vertextype data;             \\顶点信息Arcnode *first;              \\指向第一条依附该顶点的弧的指针
}Vnode,Adjlist[maxvertexnum];typedef struct
{Adjlist vertices;            \\邻接表int vexnunm,arcnum;          \\图的顶点数和弧数
}Algraph;

（1）无向图的存储空间为O(|v|+|2e|)，有向图存储空间为O(|V|+|E|)

（2）适合稀疏图，极大的节省空间

（3）若要确定两个顶点间是否存在边，邻接矩阵可以直接查到，邻接表需要在相应的结点对应的边表中查找另一结点，效率较低

（4）有向图邻接表，顶点的出度只需看邻接表的结点个数，但是入度要查整个表

（5）链表次序不唯一

3 十字链表

十字链表中，对应有向图中的每条弧有一个结点，对应每个顶点也有一个结点

tailvex：指示弧尾顶点的编号

headvex：指示弧头顶点的编号

hlink：指向弧头相同的下一个弧结点

tlink：指向弧尾相同的下一个弧结点

info：存放弧的相关信息

弧头相同的就在同一个链表，弧尾相同的在同一个链表

data：顶点的数据信息

firstin：指向以该顶点为弧头的第一个弧结点

firstout：指向以该结点为弧尾的第一个弧结点

顶点结点之间顺序存储，很容易找到头和尾，即出入度

4 邻接多重表

无向图的另一种链式存储，每条边都用一个结点表示

ivex和jvex指示该边依附的两个顶点的编号；ilink指向下一条依附于顶点ivex的边，jlink指向下一条依附于顶点jvex的边；info存放边的相关信息

data：顶点信息

firstedge：指向第一条依附于该顶点的边

所有依附于同一顶点的边串联在同一链表中，每个边结点同时链接在两个链表中

5 图的基本操作

仅抽象考虑

Adjacent(G,x,y); \\判断G是否存在边<x,y>
Neighbors(G,x);  \\列出图G中与结点x邻接的边
Insertvertex(G,x);\\插入顶点x
Deletevertex(G,x);\\删除x
Addedge(G,x,y);   \\若边<x,y>不存在，则添加
Removeedge(G,x,y);\\若边<x,y>存在，则删除
Firstneighbor(G,x);\\求顶点x的第一个邻接点，有返回顶点号，没有或不存在x返回-1
Nextneighbor(G,x,y);\\y是x的一个邻接点，返回除y的下一个邻接点，没有返回-1
Get_edge_value(G,x,y);\\获取权值
Set_dege_value(G,x,y,v);\\设置边的权值为v                

三 图的遍历

1 广度优先搜索BFS

基本思想：访问起始结点v，从v出发，依次访问v的各个未访问过的邻接结点w₁….w_n，然后再依次访问w₁….w_n的所有未被访问过的邻接结点，然后再循环从结点出发，访问未被访问过的邻接结点，直到全部访问完毕

若还有没被访问的，重新选一个起始结点重复上述过程，直到全部访问完毕

dijkstra算法和prim最小生成树算法应用了这种思想

是一种分层的查找过程，类似树的层序遍历，需要借助队列，伪代码如下：

bool visited[maxvertexnum];              \\标记数组
void BFStraverse(Graph G)
{for(int i =0;i<G.vexnum;i++)         \\初始化标记数组{visited[i]=false;}Initqueue(Q);for(int i =0;i<G.vexnum;i++)        \\从0号顶点开始遍历{if(!visited[i]){BFS(G,i);                    \\每个连通分量一次BFS，没被访问过就BFS}}
}void BFS(Graph G,int v)                   \\从v出发，遍历G
{ visit(v);                             \\访问vvisited[v]=true;                      \\置为true防止多次访问Enqueue(Q,v);                          \\v入队列while(!isempty(Q))                   {Dequeue(Q,v);                     \\v出队列for(w=Firstneighbor(G,v);w>=0; w=Nextneighbor(G,v,w))   \\检测v的所有邻接接点{if(!vitited[w])                   \\w为v未访问过的邻接接点{visit(w);       visited[w]=true;Enqueue(Q,w);                \\访问w后，w再入队列}}}
}

图的广度优先搜索和二叉树的层序遍历基本一致

BFS的算法性能分析

空间复杂度为O(|V|)

时间复杂度：（1）邻接表：O(|V|+|E|)

（2）邻接矩阵：O(|V|²)

BFS算法求解单源最短路径的问题

非带权图的最短路径d（u，v）：从u到v的任何路径中最少的边数，没有则置为无穷

void BFSmindistance(Graph G,int u)
{\\d[i]表示u到i的最短路径for(int i =0;i<G.vextun;i++){d[i]=∞;}visited[u]=true;d[u]=0;Enqueue(Q,u);while(!isempty(Q)){Dequeue(Q,u);                        \\队头元素u出队for(w =Firstneighbor(G,u); w>=0; w=Nextnrighbor(G,u,w)){if(!visited[w])                    \\w为u未访问的邻接结点{visited[w]=true;d[w]=d[u]+1;                  \\路径长度加1Enqueue(Q,w);}}}
}

广度优先生成树

遍历过程中可以得到一颗遍历树

邻接矩阵的树唯一，但是邻接表的不唯一

2 深度优先搜索DFS

类似树的先序遍历，尽可能“深”的搜索一个树

基本思想：访问起始顶点v，从v出发，访问与c邻接且未被访问的任意一个顶点w1，再访问与w1邻接且未被访问的任意一个顶点w2，重复这个过程，不能向下访问的时候，依次退回最近被访问的顶点， 若它还有未被访问的邻接顶点，则再从这个顶点开始搜索，直到图访问完毕

递归算法：

bool visited[maxvertexnum];
void DFStraverse(Graph G)
{for(int v=0 ;v<G.vextum;v++){visited[v]=false;}for(int v = 0;v<G.vextum;v++){if(!visited[v]){DFS(G,v);}}
}void DFS(Graph G,int v)
{visit(v);visited[v]=true;for(w=Firstneighbor(G,v); w>=0; w=Nextneighbor(G,v,w)){if(!visited[w]){DFS(G,w);}}
}

DFS遍历的序列，邻接矩阵唯一，邻接表不唯一

DFS算法的性能分析

需要一个递归工作栈，空间复杂度为O(|V|)

时间复杂度：（1）邻接矩阵：O(|v|²)

（2）邻接表：O(|V|+|E|)

深度优先的生成树和生成森林

连通图调用DFS才能产生深度优先生成树，否则产生的是深度优先生成森林

3 图的遍历与连通性

无向图调用DFS，BFS的次数等于图的连通分量数

连通有向图分为强连通个非强连通，连通子图也分为强连通分量和非强连通分量

非强联分量一次调用BFS（G，i）或DFS无法访问到该连通分量的所有顶点

四 图的应用

1 最小生成树

一个带权连通无向图G，生成树不同，每棵树的权也可能不同，若T为权值之和最小的那颗生成树，则T为G的最小生成树MST

性质：

（1）最小生成树不唯一

（2）最小生成树的边的权值之和唯一

（3）最小生成树的边数为顶点数减1

根据性质从最小权值的边开始，基于贪心算法的有Prim和Kruskal算法

1.1 Prim（普里姆）算法

基本思想：任取一个顶点，找权值最小边并且不是重复顶点的边加入，直到所有顶点加入

n个顶点，T必有n-1条边

void Prim(G,T)
{T=空;                           \\初始化空树U={w};                          \\添加任意一个顶点wwhile((V-U)!=空){设(u,v)是使得u属于U与v属于(V-U),且权值最小的边；T=T∪{(u,v)};                \\边归入树U=U∪{v};                    \\顶点归入树}
}

时间复杂度：O(|V|²)

1.2 Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

是一种按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树的方法

void Kruskal(G,T)
{T=V;                           \\初始化T，仅含顶点numS=n;                        \\连通分量数,初始就是顶点总数while(numS>1){从E中取权值最小的边(v,u)if((v,u)属于不同连通分量){T=T∪{(u,v)};                \\边归入树numS--; }}
}

时间复杂度：O(log₂|E|)

2 最短路径

一个顶点到另一个顶点的路径的权值之和最短称为最短路径；两点直接的最短路径也包含了路径上其他顶点间的最短路径

单源最短路径：求图中某一顶点到其他各顶点的最短路径，可通过Dijkstra算法

每对顶点间的最短路径：Floyd算法求解

2.1 Dijkstra算法求单源最短路径问题

设置一个集合S记录已求得的最短路径的顶点，初始时把源点v₀放入S，集合S每并入一个新顶点v_i，都要修改源点v₀到集合V-S中顶点当前的最短路径长度值。

设置两个辅助数组：

dist[]：记录源点v₀到其他各顶点当前的最短路径长度，初态为：若从v₀到v_i有弧，则dist[i]为弧上的权值，否则置为无穷

path[]：path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱结点

初始S只包含顶点0；邻接矩阵arcs表示带权有向图，arcs[i] [j]表示边<i，j>的权值，不存在就置为无穷

算法步骤：

（1）初始化：S初始为{0}，dist[i]=arcs[0] [i]，i=1,2,3,……n-1

（2）从顶点集合V-S中选出v_j，满足dist[j]=Min{dist[i]|v_i$\in$V-S}，v_j就是当前求得的一条从v₀出发的最短路径的终点，S=S$\bigcup${j}

（3） 修改从v₀出发到集合V-S上任意一个顶点V_k可达的最短路径长度，若dist[j]+arcs[j] [k]<dist[k]，则更新dist[k]=dist[j]+arcs[j] [k]

（4）重复2-3的操作n-1次，直到所有顶点都包含在S中，基于贪心策略

举例：

（1）初始化S，v₁可达v₂和v₅，不可达v₃和v₄；故dist[2]=0,dist[3]=∞,dist[4]=∞;dist[5]=5

（2）选出最小值dist[5]，将顶点v₅并入集合S，此时找到1-5的最短路径；5加入后，1到集合V-S中可达顶点的最短路径长度可能会产生变化，更新dist[]数组，5可达2，1-5-2的距离8比dist[2]=10小，更新dist[2]=8；5可达3，1-5-3的距离14，更新dist[3]=14；5可达4,1-5-4的距离是7，更新dist[4]=7

（3）再选出最小值，dist[4]，顶点4并入S，再更新dist[]数组；4不可达2，不变；4可达3，1-5-4-3距离是13比dist[3]小，更新dist[3]=13

（4）再选出最小的dist[2]，顶点2并入S；更新dist[]；2可达3,1-5-2-3的距离是9，比dist[3]小，更新dist[3]=9

（5）选出唯一的最小值dist[3]，并入S，此时全部顶点并入完毕

无论是邻接矩阵还是邻接表的时间复杂度都是O(|V|²)

但是当边有负权值时，Dijkstra算法失效

例如图a，0到1和2的距离分别是7和5，那么就会首先并入顶点2，距离为5，再并入顶点1，但是并入顶点1时，从0到2的距离最小实际是2，不是5，但由于已经并入了2，无法更新

2.2 Floyd算法求各顶点直接最短路径问题

求出任意两个顶点i和j之间的最短路径和最短路径长度

基本思想：递推产生一个n阶方阵序列A^(-1)，A⁽⁰⁾，A⁽¹⁾……A^(n-1)，其中A^(k)[i][j]表示从顶点i到顶点j的路径长度，k表示绕行第k个顶点的运算步骤。

初始时，任意两个顶点i和j直接存在边，则在边上的权值作为它们之间的最短路径长度；不存在有向边就用∞作为长度。

然后逐步尝试在原路径中加入顶点k作为中间顶点，若增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，新路径就代替原路径

算法描述：

定义一个n阶方阵序列A^(-1)，A⁽⁰⁾，A⁽¹⁾……A^(n-1)，其中A^(k)[i][j]=arcs[i] [j]

A^(k)[i][j]=Min{A^(k-1)[i][j]，A^(k-1)[i][k]+A^(k-1)[k][j]}，k=0,1……n-1

A⁽⁰⁾[i][j]是从顶点i到j，中间顶点是0的最短路径的长度；A^(k)[i][j]是从顶点i到j，中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度

这是一个迭代的过程，每迭代一次多考虑一个顶点；A^(n-1)[i][j]就保存了任意一对顶点之间的最短路径长度

举例：

（1）初始化：方阵A^(-1)[i][j]=arcs[i] [j]

（2）把0作为中间顶点，对所有顶点有A^(-1)[i][j]>A^(-1)[i][0]+A^(-1)[0][j]，把A^(-1)[i][j]更新为A^(-1)[i][0]+A^(-1)[0][j]；更新后方阵记为A⁰

（3）把1作为中间顶点，继续检测所有顶点，例如有A⁽⁰⁾[0][2]>A⁽⁰⁾[0][1]+A⁽⁰⁾[1][2]=10，更新，新方阵记为A¹

（4）把2作为中间顶点，继续，更新方阵为A²，A²就是保存的任意顶点对的最短路径长度

时间复杂度：O(|V|³)，但代码紧凑，对中等规模的输入来说仍然有效

允许图中有带负权值的边，但不允许与包含带负权值的边组成的回路；也适用于带权无向图

也可以用单源最短路径算法解决每对顶点之间的最短路径问题，轮流将每个顶点作为源点，在所有边权值均非负时，运行一次Dijkstra算法，时间复杂度为O(|V|³)

2.3 有向无环图描述表达式

若一个有向图不存在环，就成为有向无环图，简称为DAG图

例如((a+b)*(b*(c+d)+(c+d)*e))*((c+d)*e)

2.4 拓扑排序

AOV网：若用DAG图表示一个工程，其顶点表示工地，边表示活动i必须先于活动j进行的一种关系，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，边没有权值

拓扑排序：在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足以下条件时称为一个图的拓扑排序：

（1）每个顶点只出现一次

（2）若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从B到A的路径

拓扑排序是对有向无环图的的顶点的一种排序，使得若存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中顶点B出现在顶点A的后面，每个AOV网都有一个或多个拓扑排序序列

常见算法步骤：

（1）从AOV网中厕一个没有前驱的顶点输出

（2）删除该顶点和它为起点的有向边

（3）重复1,2直到没有顶点为止

bool Topologicalsort{Graph G}
{Initstack(S);int i ;for(i=0;i<G.vextum;i++){if(indegree[i]==0)        \\所有入度为0的顶点入栈{Push(S,i);}}int count =0;                 \\记录当前输出的顶点数while(!isempty(S)){Pop(S,i);print[count++]=i;              \\输出顶点ifor(p=G.vertices[i].firstarc; p ; p=p->nextarc) \\所有i执行的顶点的入度减1，并把入度为0的入栈{v=p->adjvex;if(!(--indegree[v])){Push(S,v);             }}}if(count<G.vexnum)return false;                 \\有环路 失败elsereturn true;
}

邻接表：O(|V|+|E|)

邻接矩阵：O(|V|²)

逆拓扑排序：

（1）选一个出度为0 的顶点输出

（2）删除顶点和它以它为终点的有向边

（3）重复1，2直到AOV网空

2.5 关键路径

AOE网：顶点表示事件，有向边表示活动，边的权值表示完成活动的开销，是有向无环图

性质：（1）只有某顶点的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始

（2）进入某顶点的各有向边的活动都结束时，该顶点代表的事件才发生

（3）仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点）；仅有一个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点）

（4）有些活动可以并行进行

（3）源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，关键路径的长度就是完成工程的最短时间

寻找关键活动的参量：

（1）事件v_k的最早发生时间ve(k)

（2）事件v_k的最迟发生时间vl(k)

（3）活动a_i的最早开始时间e(i)

（4）活动a_i的最迟开始时间l(i)

（5）一个活动a_i的最迟开始时间l(i)和最早开始时间e(i)的差额d(i)=l(i)-e(i)

l(i)-e(i)=0，即活动a_I是关键活动

算法步骤：

（1）从源点出发，ve(源点)=0，按拓扑有序求其余顶点的最早发生时间ve()

（2）从汇点出发，令vl(汇点)=ve(汇点)，按逆拓扑有序求其余顶点的最迟发生时间vl()

（3）根据各顶点的ve()值求所有弧的最早开始时间e()

（4）根据各顶点的vl()值求所有弧的最迟开始时间l()

（5）求AOE网中的所有活动的差额d，找出所有d=0的活动构成关键路径

怎么求ve，ve就是从源点到这个点的耗时最长的数值

怎么求vl，从汇点倒着来，用汇点的值减去汇点到这个点的最小的值(尽量小的到达这个)，所以vl$⩾$ve

e就是弧起点的顶点的ve

l(i)等于该弧的终点的顶点的vl()减去弧的持续时间

关键路径上的所有活动都是关键活动

网中的关键路径并不唯一，只有加快所有关键路径上的关键活动才能缩短工期