行列式按一行（列）展开

例题 1：一般地，设 $∣ A ∣$ 是一个三阶行列式，则有

$∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32=a11(a22a23−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22)=a11∣a22a23a32a33∣−a21∣a12a13a32a33∣+a31∣a12a13a22a23∣\begin{aligned} |A| &= \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right|\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\\ &- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}\\ &=a_{11}(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{32}) - a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}) + a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}) \\ &= a_{11} \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right| - a_{21} \left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{31} \left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix}\right| \end{aligned}$

$\quad$ 通过 例题 1 可以看到，三阶行列式的计算可以归结为二阶行列式的计算。这种“降阶” 的操作无疑简化了行列式的计算！

$\quad$ 另外，如果我们引入两个概念 余子式 与 代数余子式：

$∣a22a23a32a33∣\left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right|$ 称为 $a_{11}$ 的 余子式，记作 $M_{11}$ ；
$(−1)1+1⋅M11(-1)^{1+1}\cdot M_{11}$ 称为 $a_{11}$ 的 代数余子式，记作 $A_{11}$ ；
$∣a12a13a32a33∣\left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right|$ 称为 $a_{21}$ 的 余子式，记作 $M_{21}$ ；
$(−1)2+1⋅M21(-1)^{2+1}\cdot M_{21}$ 称为 $a_{21}$ 的 代数余子式，记作 $A_{21}$ ；
$∣a12a13a22a23∣\left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix}\right|$ 称为 $a_{31}$ 的 代数余子式，记作 $M_{31}$ ；
$(−1)3+1⋅M31(-1)^{3+1} \cdot M_{31}$ 称为 $a_{31}$ 的 代数余子式，记作 $A_{31}$ .

则显然有：

$∣A∣=a11M11−a21M21+a31M31=a11⋅(−1)1+1⋅M11+a21⋅(−1)2+1⋅M21+a31⋅(−1)3+1⋅M31=a11A11+a21A21+a31A31.\begin{aligned} |A| &= a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + a_{31} M_{31}\\ &= a_{11} \cdot (-1)^{1+1}\cdot M_{11} + a_{21} \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{21} + a_{31} \cdot (-1)^{3+1}\cdot M_{31}\\ &= a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}. \end{aligned}$

$\quad$ 可以看到，引入 余子式 以及 代数余子式 之后，进一步简化了行列式的计算公式！

$\quad$ 自然而然地会想：能够将这种操作推广到一般的 $n$ 阶行列式呢？

$\quad$ 这种由 “特殊到一般” 的思想，就是 演绎。

定义 1. 余子式与代数余子式：一般地，设 $A = (a_{ij})$ 是一个 $n$ 级矩阵， $∣ A ∣$ 是其行列式，若划去 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，则剩下的元素按照原顺序可以构成一个 $n - 1$ 阶行列式，称为 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元的 余子式，记作 $M_{ij}$ 。

$\quad$ 令 $Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ ，则称 $A_{ij}$ 为 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元的 代数余子式。

$\quad$ 由前面的讨论可知，当 $n = 3$ 时，

$A| = a_{11}A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31}A_{31}$

自然会猜测：对于一般的 $n$ 阶行列式，是否成立

$\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}$

更一般地，对于给定的 $i$ （ $i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,n$ ），是否成立

$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

定理 1： $n$ 级矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式 $∣ A ∣$ 满足

$∣A∣=∑j=1naijAij=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin\begin{aligned} |A| &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \\ &=a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \end{aligned}$

其中， $\in \{1,2,\cdots,n\}$ .

证明：

$\quad$ 取定 $A$ 的第 $i$ 行，将 $a_{ij}$ 排在第一位，即：

$\sum_{j k_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}}(-1)^{\tau(i1\cdots (i-1)(i+1)\cdots n) + \tau(jk_{1}\cdots k_{j-1}k_{j+1}\cdots k_{n})}a_{ij}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}}$

其中， $K1,k2⋯,ki−1,ki+1,⋯,kn∈{1,2,⋯,n}−{j}K_{1},k_{2}\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,k_{n} \in \{1,2,\cdots,n\}-\{j\}$ .

$\quad$ 注意，

$τ(i1⋯(i−1)(i+1)⋯n)=i−1\tau(i1\cdots (i-1)(i+1)\cdots n) = i-1$

$τ(jk1⋯ki−1ki+1⋯kn)=j−1+τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)\tau(jk_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}) = j-1 + \tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})$

于是，

$∣A∣=∑jk1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)i+j⋅(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)aija1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1n(−1)i+j⋅aij∑k1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)a1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1naij⋅(−1)i+j⋅Mij=∑j=1naijAij\begin{aligned} |A| &= \sum_{j k_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}}(-1)^{i+j} \cdot (-1)^{\tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})} a_{ij}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}}\\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij} \sum_{k_{1\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n}}} (-1)^{\tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}}\\ &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\\ &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \end{aligned}$

$\quad$ 由于行列式的行与列具有对称性，因此，不难得到 定理 2。

定理 2： $n$ 级矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式 $∣ A ∣$ 满足

$∣A∣=∑l=1naljAlj=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj\begin{aligned} |A| &= \sum_{l=1}^{n}a_{lj}A_{lj}\\ &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \end{aligned}$

其中， $\in \{1,2,\cdots,n\}$ .

证明：

$\quad$ 由行列式的性质 1， $∣ A ∣ = ∣ A^{'} ∣$ .

$\quad$ 对行列式 $∣ A^{'} ∣$ 按第 $j$ 行展开，相当于对 $∣ A ∣$ 按第 $j$ 列展开，于是

$a_{1j}A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj}$

$\quad$ 之后，介绍 定理 1、定理 2 相关的一些应用。

定理 3：设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 级矩阵。当 $k≠ik\ne i$ 时，

$ai1Ak1+ai2Ak2+⋯ainAkn=0a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots a_{in}A_{kn} = 0$

证明：

$\quad$ 对于等式左边，可以构造一个行列式

$\left|\begin{matrix} a_{11} &\cdots &a_{n1}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|$

其中， $∣ B ∣$ 的第 $i$ 行与第 $k$ 行的元素对应相等。由行列式的性质 5 可知， $∣ B ∣ = 0$ .

$\quad$ 同理可证 定理 4.

定理 4：设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 级矩阵。当 $l≠jl\ne j$ 时，

$a1lA1j+a2lA2j+⋯anlAnj=0a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots a_{nl}A_{nj} = 0$

$\quad$ 最后，介绍一个重要的概念 VanderMonder 行列式。

$∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)\left|\begin{matrix} 1 & 1 &\cdots &1\\ a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n}\\ a_{1}^{2} &a_{2}^{2} &\cdots &a_{n}^{2}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{1}^{n-1} &a_{2}^{n-1} &\cdots &a_{n}^{n-1} \end{matrix}\right| = \prod_{1\le j<i\le n}{\left( a_i-a_j \right)}$