前言
考完蓝桥杯了以后一直在咕咕咕, 所以题解直到现在才写出来()
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第一题
题目描述
小蓝在黑板上连续写下从 1 到 2023 之间所有的整数,得到了一个数字序列:
S = 12345678910111213 . . . 20222023。
小蓝想知道 S 中有多少种子序列恰好等于 2023?
提示,以下是 3 种满足条件的子序列(用中括号标识出的数字是子序列包含的数字):
1[2]34567891[0]111[2]1[3]14151617181920212223...
1[2]34567891[0]111[2]131415161718192021222[3]...
1[2]34567891[0]111213141516171819[2]021222[3]...
注意以下是不满足条件的子序列,虽然包含了 2、0、2、3 四个数字,但是顺序不对:
1[2]345678910111[2]131415161718192[0]21222[3]...
题目思路
这个题目问的是一个字符串的字串有多少个。首先我们要先开一个可以装下这一整个序列的数组。假设我们这个串的长度是 S S S。
由于这个串由 1 , 2 , . . . , 2023 1,2, ... ,2023 1,2,...,2023 组成所以一共有 2023 个数字。每个数字最多占用 4 个字符,所以 S < 2023 ∗ 4 < 100000 S < 2023*4 < 100000 S<2023∗4<100000。由此,我们只需要开 100000 即可将下整个字符串。
到了这一步,就已经可以写出来一个暴力算法了,不过我们在实际的运行中可以看到,这个时间复杂度太高了,我们没法承担,所以我们接下来应该开始优化这个代码。
我们来看这个字符串:
2025343
里面一共有两个子串:
[2][0][2]5[3]43
[2][0][2]534[3]
我们可以发现一个特点:这两个字符串的前缀是一样的,同时,子串的数量恰好等于以第二个 2
开始,到结尾中,3 的个数!
因此我们就有了以下的优化思路:我们可以开一个数组 cnt
,这个数组记录以第 i
个字符开始,到结尾的 3
的个数。这样我们在深度优化遍历的时候,只需要遍历前 3 个字符,不需要遍历第 4 个字符。这样,时间复杂度就显著的降低了。
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;string a;
// 第i个字符开始,往后3的个数
int cnt[N];
// 一定要开long long,会爆int。我当时考试的时候忘记开了,后悔死了。
long long res = 0;// 应该遍历的字符,当前应该查找的字符的编号
void dfs(int u, int t) {if (t == 4) {// 以u个字符为前缀,符合目标串的个数res += cnt[u];return ;}for (int i = u; i < a.size(); i ++) {if (t == 1) {if (a[i] == '2') {dfs(i + 1, t + 1);}} else if (t == 2) {if (a[i] == '0') {dfs(i + 1, t + 1);}} else if (t == 3) {if (a[i] == '2') {dfs(i + 1, t + 1);}}}
}int main () {// 我们以下标1为开始,所以先用0填一下a.push_back('0');for (int i = 1; i <= 2023; i ++) {// 构造子串a += to_string(i);}// 构造cnt数组 for (int i = a.size() - 1; i; i --) {if (a[i] == '3') {cnt[i] += 1;}cnt[i] += cnt[i + 1];}dfs(1, 1);cout << res << endl;return 0;
}
答案
5484660609
第二题
这题不确定,没有找到和我同一个答案的人。
题目描述
若一个正整数 x x x 可以被表示为 p 2 × q 2 p^{2} × q^{2} p2×q2,其中 p p p、 q q q 为质数且 p p p , q q q,则 x x x 是一个 “双子数”。请计算区间 [ 2333 , 23333333333333 ] [2333, 23333333333333] [2333,23333333333333] 内有多少个 “双子数”?
题目分析
这里要用到质数,那么我们首先需要求出所以的质数。这里使用线性筛法来求质数。那么应该开到多大呢?可以知道 p p p 和 q q q 是两个不相同的质数,那么可以假设 p > q p > q p>q,则 p 2 ∗ q 2 < p 4 p^{2} * q^{2} < p^{4} p2∗q2<p4。因此,我们只需要求到 23333333333333 4 \sqrt[4]{23333333333333} 423333333333333 的下一个质数即可。
我们可以先用算法求出从 2 2 2 开始到 s q r t ( 23333333333333 ) sqrt(23333333333333) sqrt(23333333333333) 内所以的质数,然后输出其个数,可以得到:337413
。然后,由于是填空题,所以两重 for 循环就可以求出所以的对数。同时,时间复杂度也在可以接受的范围内。
这里还有两个注意的点:1. p 和 q 不相等。2. p 和 q 的顺序无关,即 (2, 3)和 (3, 2)是同一对。
代码
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;const int N = 1e7 + 10;typedef long long LL;LL primes[N];
bool st[N];
int cnt;double minv = 2333;
double maxv = 23333333333333;long long ans = 0;void get_primes(LL n) {for (int i = 2; i <= n; i++){if (!st[i]) primes[cnt++] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int main() {get_primes(sqrt(23333333333333));// pfor (int i = 0; (double)primes[i] <= maxv / primes[i] && i < cnt; i++) {// q^2的值double res = maxv / primes[i] / primes[i];// qfor (int j = 0; j < i; j++) {// 判断相乘要小于最大值if (double(primes[j]) <= res / primes[j]) {// 这样就可以确保在最大值的范围内,接下来要判断最小值。if ((double)primes[i] * primes[i] * primes[j] * primes[j] - minv > 1e-6) {// double类型的判断相等时,应该使用相减// a >= b ===> a - b >= 0 == 1e-6ans++;}}else {break;}}}cout << ans << endl;return 0;
}
答案
947293