行列式的性质

例题 1：

$∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21,∣a11a21a12a22∣=a11a22−a21a12.\left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},~ \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\ a_{12} &a_{22} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.$

$\quad$ 可以看到，二阶行列式的元素”行列互换“，并没有改变行列式的值！

$\quad$ 这是否是一个普遍规律呢？换言之，对于一般的 $n$ 阶行列式而言，行列互换，是否不改变行列式的值？

转置：设 $A=(a_{ij})$ 为数域 $K$ 上的一个 $n$ 级矩阵，将 $A$ 的行列互换，得到新的 $n$ 级矩阵，记作 $A^{'}$ 或 $A^{T}$ 或 $A^{t}$ ，称为 $A$ 的转置。

$\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right) \xrightarrow{\text{转置}} A' = \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1}\\ a_{12} &a_{22} &\cdots &a_{n2}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right)$

$\quad$ 思考： $∣ A ∣$ 与 $∣ A^{'} ∣$ 有什么关系？

性质 1：行列互换，行列式的值不变。即： $∣ A ∣ = ∣ A^{'} ∣$ .

证明：

$\quad$ 设 $B = A^{'}$ ，则 $∣ B ∣ = ∣ A^{'} ∣$ ，即 $bij=aji,1≤i≤n,1≤j≤nb_{ij} = a_{ji},1\le i \le n, 1\le j \le n$ .

$\quad$ 于是，

$∣B∣=∑i1i2⋯in(−1)τ(i1i2⋯in)b1i1b2i2⋯bnin=∑i1i2⋯in(−1)τ(i1i2⋯in)ai11ai22⋯ainn=∣A∣\begin{aligned} |B| &= \sum_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(-1)^{\tau(i_{1}i_{2}\cdots i_{n})}b_{1i_{1}}b_{2i_{2}}\cdots b_{ni_{n}}\\ &=\sum_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(-1)^{\tau(i_{1}i_{2}\cdots i_{n})}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}\cdots a_{i_{n}n}\\ &= |A| \end{aligned}$

注：性质 1 进一步地表明了 ”行列式中，行与列地的地位是相同的“！

$\quad$ 简单地回顾一下当前的进度：

目前为止，对于数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的的 $n$ 元线性方程组，我们只能通过 矩阵消元法 直接求解，求解完（或者快求解完）才能知晓方程组是否有解？若有解，有多少解？矩阵消元法 的本质是对矩阵作初等行变换。思考：方阵的初等行变换对于其行列式的值有什么影响？
前面说过，我们曾有这样的一个猜想：由 $n$ 个方程组构成的 $n$ 元线性方程组有唯一解当且仅当其系数矩阵 $A$ 的行列式 $∣A∣≠0|A|\ne 0$ . 这就涉及到了行列式的计算。按照上一节行列式的定义求解无疑是复杂的，是否有简便的方法？
另外，在上一节中，我们介绍的上三角行列式的求解十分简单，而其对应的矩阵恰为阶梯形方阵，再联系到矩阵的初等行变换，这就给了我们一个突破点。

性质 2：行列式 $∣ A ∣$ 的某一行乘上一个非零数 $k$ 得到一个新的行列式，则新的行列式的值为 $k⋅∣A∣k\cdot |A|$ .

证明：

$\quad$ 设行列式 $∣ A ∣$ 的第 $i$ 行乘上数 $k≠0k\ne 0$ ，得到行列式 $∣ B ∣$ .

$\left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} &a_{i2} &\cdots &a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|,~ |B| = \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ ka_{i1} &ka_{i2} &\cdots &ka_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|$

$\quad$ 由行列式的定义，

$∣B∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)aij1⋯(kaiji)⋯anjn=k(∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)aij1⋯aiji⋯anjn)=k∣A∣\begin{aligned} |B| &= \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{ij_{1}}\cdots (k a_{ij_{i}})\cdots a_{nj_{n}}\\ &= k\left(\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{ij_{1}}\cdots a_{ij_{i}}\cdots a_{nj_{n}}\right)\\ &= k|A| \end{aligned}$

注：对于性质 $2$ ，尽管我们的出发点是矩阵的初等行变换，而矩阵的初等行变换正是要求 $k≠0k\ne 0$ ，但实际上，从证明过程中可以看出，即使 $k = 0$ ，性质 $2$ 也成立。

性质 2‘：行列式 $∣ A ∣$ 的某一行乘以一个数 $k$ 得到新的行列式，则新行列式的值为 $k ∣ A ∣$ .

$\quad$ 作为 性质 2' 的推论，我们有 性质 3。

性质 3：若行列式 $∣ A ∣$ 的某行元素全为零，则行列式的值为 $0$ .

性质 4：若行列式 $∣ A ∣$ 的某一行是两组数的和，则 $∣ A ∣$ 等于两个行列式的和，其中，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余行与原来行列式的对应各行相同。即

$∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮b1+c1b2+c2⋯bn+cn⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮b1b2⋯bn⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣+∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮c1c2⋯cn⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣\left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} + c_{1} & b_{2} + c_{2} &\cdots &b_{n}+c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} & b_{2}&\cdots &b_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ c_{1} & c_{2} &\cdots &c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|$

证明：

$∣A∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯(bji+cji)⋯anjn=(∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯bji⋯anjn)+(∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯cji⋯anjn)=∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮b1b2⋯bn⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣+∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮c1c2⋯cn⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣\begin{aligned} |A| &= \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots (b_{j_{i}}+c_{j_{i}})\cdots a_{nj_{n}}\\ &=\left(\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\cdots a_{nj_{n}}\right) + \left(\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots c_{j_{i}}\cdots a_{nj_{n}}\right)\\ &= \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ b_{1} & b_{2}&\cdots &b_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ c_{1} & c_{2} &\cdots &c_{n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| \end{aligned}$

性质 5：行列式 $∣ A ∣$ 的任意两行互换得到新的行列式，则新的行列式的值为 $- ∣ A ∣$ .

证明：

$\quad$ 设

$\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} &a_{i2} & \cdots &a_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{j1} &a_{j2} &\cdots &a_{jn}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|$

$\quad$ 互换 $∣ A ∣$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行，得到

$\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{j1} &a_{j2} & \cdots &a_{jn}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} &a_{i2} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right|$

$\quad$ 由行列式的定义，

$∣B∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)b1j1⋯biji⋯bjjj⋯bnjn=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯ajji⋯aijj⋯anjn=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯ajji⋯aijj⋯anjn\begin{aligned} |B| & = \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} b_{1j_{1}}\cdots b_{ij_{i}} \cdots b_{jj_{j}}\cdots b_{nj_{n}}\\ & = \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}\cdots a_{jj_{i}}\cdots a_{ij_{j}}\cdots a_{nj_{n}}\\ & = \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}\cdots a_{jj_{i}}\cdots a_{ij_{j}}\cdots a_{nj_{n}}\\ \end{aligned}$

$\quad$ 由第一节末的讨论可知，

$∣A∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(1⋯j⋯i⋯n)+τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯ajji⋯aijj⋯anjn=∑j1j2⋯jn(−1)⋅(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1⋯ajji⋯aijj⋯anjn=−∣B∣\begin{aligned} |A| &= \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(1\cdots j \cdots i \cdots n) + \tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}\cdots a_{jj_{i}}\cdots a_{ij_{j}}\cdots a_{nj_{n}} \\ &=\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)\cdot (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}\cdots a_{jj_{i}}\cdots a_{ij_{j}}\cdots a_{nj_{n}}\\ &=-|B| \end{aligned}$

即 $∣ B ∣ = - ∣ A ∣$ .

$\quad$ 由 性质 5 很容易退出 性质 6。

性质 6：行列式中若存在两行成比例，则行列式的值为 $0$ .

$\quad$ 从 性质 1~ 性质 6 的证明过程中，可以体会到行列式的定义是多么重要！

$\quad$ 下面，介绍行列式的最后一个性质，也是最重要的一个性质。

性质 7 ：将行列式某一行的某个倍数，加至另一行上，行列式的值不变。

证明：

$\quad$ 性质 4 与性质 6 的推论。

$\quad$ 说明很重要的一点：由性质 1，性质 2 ~ 7 均可推广到”列“的情形，具体不再赘述。

$\quad$ 行列式的性质，最直接的一个应用就是：简化行列式的求解。

$\quad$ 一般的做法是：将行列式变换为上三角行列式。再利用上三角行列式的求解方法进行求解。

例题 2：求解行列式

$∣kλ⋯λλk⋯λ⋮⋮⋮λλ⋯k∣\left|\begin{matrix} k & \lambda &\cdots & \lambda\\ \lambda & k &\cdots &\lambda\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ \lambda &\lambda &\cdots &k \end{matrix}\right|$

参考：

邱维声. 高等代数课程.

（邱维声）高等代数课程笔记：行列式的性质

行列式的性质

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