逆元应用与证明

在学习逆元之前我们先来了解一下同余的概念：
简单来讲就是整数a mod(m)=b mod(m) ，写做$a\equiv b(modm)$。

再来看一下逆元的定义：
简单来说就是:$a\ast x\equiv 1(modm)$ （gcd(a,b)==1，也就是a要与b互质） 这时，我们称$a$在模$m$下的逆元为$x$，同样$x$的逆元为$a$，记作 inv($x$)=$a$。

$a$在模$m$下的逆元存在的充分必要条件是$a$与$m$互质，即gcd(a,m)=1

那么逆元有什么运用呢？
一方面是求余：
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
这时我们就需要用到逆元来解决了。
那么怎么解决呢？

$a\ast x\equiv 1(modp)$ -----------(1)
那么，在数论上$x=\frac{1}{a}(modp)$
那么$(\frac{a}{b})\%p=a\ast x\%p$这时就可以直接得出结果了。

我们来证明一下这个结论：
假设 $(\frac{a}{b})\%p=m$----------（2）

两边同时乘于$b$：$a\%p=m\ast b\%p$------------(3)

再同时乘与$x$：$a\ast x\%p=m\ast b\ast x\%p$----------(4)//注意这里的x是b（mod p）的逆元，即 $b\ast x\equiv 1(modp)$

由（1）可得：$a\ast x\%p=m\%p$---------（5）

所以我们可以得到$(\frac{a}{b})\%p=a\ast x\%p$

那么如何求一个数的逆元呢？
有两种方法：

1.快速幂(费马小定理)
当p为质数时，且a不为p的倍数(a,p一定互质)，那么可以用费马小定理来求解，费马小定理指出
当p为质数时，且a不为p的倍数时 $a^{p-1}\equiv 1(modp)$,左边变形可得
$a\ast a^{p-2}\equiv 1(modp)$等价于$a\ast x\equiv 1(modp),x=a^{p-2}$
这里$a$的逆元inv($a$)=$a^{p-2}$，可以用快速幂来求$a^{p-2}$
时间复杂度为$O(logn)$
当p不为质数，但是a,p互质时(不互质逆元不存在)，可以根据欧拉定理来求逆元，欧拉定理是对
费马小定理的扩展，用欧拉定理时需要先求欧拉数$\phi (p)$，欧拉定理是$a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$，因为质数的欧拉数为其自身-1，所以费马小定理求逆元不用求额外求欧拉数，不过一般p不为质数时，用扩展欧几里得算法来求逆元

扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法就是辗转相除法，在辗转相除时要通过回溯来找系数

费马小定理方法

费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有$a^{p-1}\equiv 1（modp）$

费马小定理要求$p$为质数，而逆元的定义要求$gcd(a,p)=1$,所以当我们用费马小定理求解逆元时，前提条件是$p$为质数，之后只需要保证$a$不是$p$的倍数（>=1）即可。
求解方法：
$a^{p-1}\equiv 1（modp）$=>

$a\ast a^{p-2}\equiv 1（modp）$

此时a的逆元$x=a^{p-2}$，我们可以利用快速幂来求出$a^{p-2}$

模板题：

给定n组ai,pi，其中pi是质数,求ai模pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回在0∼p−1之间的逆元。

乘法逆元的定义

 若整数b，m互质，并且对于任意的整数 a，如果满足b|a，则存在一个整数x，使得    						a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b−1(mod m)b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，bm−2即为b的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个数组ai,pi，数据保证pi是质数。

输出格式
输出共n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若ai模pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。

数据范围

1≤n≤1e5,
1≤ai,pi≤2∗1e9

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

分析：这是一道用费马小定理来求逆元的模板题，只需要判断ai是否是pi的倍数，然后用快速幂求出${ai}^{p-2}$即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,a,p;
int abc()
{int res=1;int b=p-2;while(b){if(b&1) res=(ll)res*a%p;b>>=1;a=(ll)a*a%p;}return res;
}
int main()
{scanf("%d",&n);while(n--){scanf("%d%d",&a,&p);if(a%p==0) printf("impossible\n");else printf("%d\n",abc());}return 0;
}

扩展欧几里得求逆元

首先了解一下扩展欧几里得算法，扩展欧几里得算法求逆元要保证$gcd(a,b)=1$，条件要比快速幂要宽一些。
$ax\equiv 1(modb)$
$ax-kb=1$这样是不是就很眼熟了（$ax+by=gcd(a,b)$）
事实上就可以写成$ax+by=1$
那么求逆元的方法就有了，就是求解 $x$。

这里给出扩展欧几里得算法的模板代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);//a,b交换位置，x,y的位置也改变y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{scanf("%d",&n);while(n--){int a,b,x,y;scanf("%d%d",&a,&b);int k=exgcd(a,b,x,y);printf("%d %d\n",x,y);}return 0;
}

可以求得$x,y$,$x$为$a$的逆元。

打表求逆元

用来求1~p-1（mod p）的逆元
递推式：

inv[i] = ( p - p / i ) * inv[p % i] % p

证明:
令 p=k*i+r，其中1<i<p,r<i
则 p $\equiv$ 0(mod p)
即 k$\ast$i+r $\equiv$ 0(mod p)，两边同时乘于inv[i]和inv[r]可得
k$\ast$inv[r]+inv[i]$\equiv$ 0(mod p)
inv[i] = -k$\ast$inv[r](mod p)，k=p/i(整除)
inv[i] = -p/i$\ast$inv[r](mod p)
要保证inv[i]为正整数，所以inv[i] =(p -p/i)$\ast$inv[r](mod p)
特殊的，inv[1]=1,i从2开始打表

逆元打表求1！~n!

递推公式：
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD
反着递推，首先用费马小定理或者扩展欧几里得求出n!的逆元，
$n{!}^{-1}\ast n=(n-1){!}^{-1}$，从大到小递推即可