复数转换

如下图复数 $Z=a+bi$ ，由于 $a=rcos\Theta, b=rsin\Theta$ ，所以 $Z=r(cos\Theta +isin\Theta)$ ，这个就是复数的三角形式。

这里 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ ，是模， $\Theta=arctan(\frac{b}{a})$ ，是辅角。在讨论音频频域，即stft变换后的复数时，分别称为幅值和相位。

根据欧拉公式 $e^{ix}=cosx+isinx$ （其中i是虚数符号），可得 $Z=re^{i\Theta}$ ，这个公式可以方便地把幅值和相位还原回复数，进而做istft，将频域信息转回到时域，即wave波形。

PSF推导

参考论文：PHASE-SENSITIVE AND RECOGNITION-BOOSTED SPEECH SEPARATION USING DEEP RECURRENT NEURAL NETWORKS

记clean（论文里叫做speech）的fft结果为s，是复数域；记noisy（即clean加noise）的fft结果为y，是复数域。

则可以定义如下filter（或者叫mask）：

mask/filter	formula（指网络的输出。把网络的输出和y做点乘，得到estimated s，即 $\hat{s}$ ；或者把输出和\|y\|做点乘法，得到estimated \|s\|，即 $\|\hat{s}\|$ 。其中 $\hat{s}$ 包含相位， $\|\hat{s}\|$ 使用y的相位）
ideal amplitude filter	$a^{iaf}=\tfrac{\|s\|}{\|y\|}$
ideal complex filter	$a^{icf}=\tfrac{s}{y}$
phase sensitive filter	$a^{psf}=\tfrac{\|s\|}{\|y\|}cos(\Theta )$ ，推导过程如下

$a^{psf}$ 其实是 $a^{icf}$ 的实部（这样模型输出的就是实数，而不是复数，可以简化模型，因为当前pytorch不支持复数域的反向求导），因此用法和 $a^{psf}$ 一样，即把网络输出的filter与y的实部虚部分别点乘。

$a^{psf}$ 的推导过程： $a^{psf}=Re(a^{icf})=Re(\tfrac{s}{y})$ 。根据上文的公式 $Z=r(cos\Theta +isin\Theta)$ ，可得 $s=r_s(cos\Theta_s +isin\Theta_s),y=r_y(cos\Theta_y +isin\Theta_y)$ ，因此 $\tfrac{s}{y}=\tfrac{r_s}{r_y}\tfrac{cos\Theta_s+isin\Theta_s}{cos\Theta_y+isin\Theta_y}=\tfrac{r_s}{r_y}\tfrac{e^{i\Theta_s}}{e^{i\Theta_y}}$ 。这里r就是复数的模，因此 $\tfrac{s}{y}=\tfrac{|s|}{|y|}\tfrac{e^{i\Theta_s}}{e^{i\Theta_y}}=\tfrac{|s|}{|y|}e^{i(\Theta_s-\Theta_y)}$ ，记 $\Theta=\Theta_s-\Theta_y$ ，则 $\tfrac{s}{y}=\tfrac{|s|}{|y|}e^{i\Theta}=\tfrac{|s|}{|y|}(cos\Theta+isin\Theta)$ ，因此 $a^{psf}=Re(\tfrac{s}{y})=Re(\tfrac{|s|}{|y|}(cos\Theta+isin\Theta))=\tfrac{|s|}{|y|}cos\Theta$ 。