4频率域滤波

4.1背景

4.1.1傅里叶级数和变换史

任何周期函数都可以表示为不同频率的正余弦之和。

4.2基本概念

4.2.1复数

复数C的定义（$j=\sqrt{-1}$）：$$C=R+jI$$ 极坐标下$$C=\left|C\right|(\cos \theta +j\sin \theta )$$ 使用欧拉公式$${\mathrm{e}}^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$ 则$$C=\left|C\right|{\mathrm{e}}^{j\theta }$$

4.2.2傅里叶级数

傅里叶级数形式：$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{\mathrm{e}}^{j\frac{2\pi n}{T}t}$$其中，$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t){\mathrm{e}}^{-j\frac{2\pi n}{T}t}\mathrm{d}t,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

4.2.3冲激及其取样特性

线性系统和傅里叶变换研究的核心是冲激及其取样特性。连续变量$t$在$t=0$处的单位冲激表示为$\delta (t)$,其定义是$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$它还被限制为满足等式$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1$$ 取样特性$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)\mathrm{d}t=f(0)$$ 取样特性得到函数f(t)在冲激位置(也就是，在前面的公式中为原点t =0)的值。取样特性的一种更为一般的说明涉及位于任意点t的冲激，表示为$\delta (t-t_0)$。在这种情况下，取样特性变为$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)\mathrm{d}t=f(t_0)$$ 在离散时，公式$x=x_0$离散冲击为$$\sum _{x=-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)$$

4.2.4连续变量函数的傅里叶变换

由 ℑ { f ( t ) } \Im\{f(t)\} ℑ{f(t)}表示的连续变量t的连续函数f(t)的傅里叶变换由下式定义: F ( μ ) = ℑ { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j 2 π μ t d t F(\mu)=\Im\{f(t)\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{e}^{-j2\pi\mu t}\mathrm{d}t F(μ)=ℑ{f(t)}=∫−∞∞​f(t)e−j2πμtdt傅里叶反变换可得 f ( t ) = ℑ − 1 { F ( μ ) } = ∫ − ∞ ∞ F ( μ ) e j 2 π μ t d μ f(t)=\Im^{-1}\{F(\mu)\}=\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)\mathrm e^{j2\pi\mu t}\mathrm d\mu f(t)=ℑ−1{F(μ)}=∫−∞∞​F(μ)ej2πμtdμ采用欧拉公式可得$$F(\mu )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)[\cos (2\pi \mu t)-\text{j}\sin (2\pi \mu t)]\text{d}t$$

4.2.5卷积

卷积定义：$$f(t)★h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )\text{d}\tau$$可得 $$f(t)★h(t)\iff H(\mu )F(\mu )$$ $$f(t)h(t)\iff H(\mu )★F(\mu )$$

4.3取样和取样函数的傅里叶变换

4.3.1取样

考虑一个连续函数f(t)，我们希望以独立变量t的均匀间隔取样。模拟取样的一种方法是用一个$\Delta T$单位间隔的冲激串作为取样函数去乘以$f(t)$，即$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n\Delta T)$$

4.3.2取样函数的傅里叶变换

由定义可得到卷积$$\begin{array}{rl}\tilde{F}\left(\mu \right)& =F(\mu )\star S(\mu )={\int }_{-\infty }^{\infty }F(\tau )S(\mu -\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{\Delta T}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\tau )\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(\mu -\tau -\frac{n}{\Delta T}\right)\mathrm{d}\tau =\frac{1}{\Delta T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\tau )\delta \left(\mu -\tau -\frac{n}{\Delta T}\right)\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{\Delta T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }F\left(\mu -\frac{n}{\Delta T}\right)\end{array}$$

4.4单变量的离散傅里叶变换DFT

4.4.1由取样后的函数的连续变换得到DFT

$$\begin{array}{rl}\tilde{F}\left(\mu \right)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\tilde{f}(t)e^{-j2\pi ax}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n\Delta T){\mathrm{e}}^{-j2\pi \mu \nu }\mathrm{d}t\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n\Delta T){\mathrm{e}}^{-j2\pi \mu \nu }\mathrm{d}t\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_n{\mathrm{e}}^{-j2\pi \mu n\Delta T}\end{array}$$

可以用傅里叶反变换IDFT复原样本$f_n$：$$f_n=\frac{1}{M}\sum _{m=0}^{M-1}{F}_m{\mathrm{e}}^{i2\pi n/M},n=0,1,2,\cdots ,M-1$$

4.4.2取样和频率间隔间的关系

如果$f(x)$由函数$f(t)$以$\Delta T$为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合$f(x)$, $x=0,1,2,\dots ,M-1$的记录的持续时间是$$T=M\Delta T$$
离散频率域中的相应间隔$\Delta u$：$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta T}=\frac{1}{\Delta T}$$
由DFT的M个分量跨越的整个频率范围是$$\Omega =M\Delta u=\frac{1}{\Delta T}$$
这样，由上式就可以看出，DFT 的频率分辨率△u取决于连续函数$f(t)$被取样的持续时间$T$，并且 DFT 跨越的频率范围取决于取样间隔$\Delta T$。很明显，两个表达式给出了T和$\Delta T$的反转关系。

4.5两个变量的函数的扩展

4.5.1二维冲激及其取样特性

定义：$$\delta (t,z)=\{\begin{array}{cc}\infty ,& t=z=0\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}$$ 和$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}z=1$$ 取样特性$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)\delta (t,z)\text{d}t\text{d}z=f(0,0)$$

4.5.2二维连续傅里叶变换对

令$f(t,z)$是两个连续变量$t$和$z$的连续函数。则其二维连续傅里叶变换对由以下两个表达式给出：$$\begin{array}{c}F(\mu ,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+\nu z)}\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ f(t,z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\mu ,v){\mathrm{e}}^{j2\pi (\mu t+\nu z)}\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v\end{array}$$

4.5.3二维取样

类似于一维情况中的方式，二维取样可用取样函数(二维冲激串)建模：$$s_{\Delta T\Delta Z}(t,z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-m\Delta T,z-n\Delta Z)$$

4.5.5二维离散傅里叶变换及其反变换

二维傅里叶变换DFT：$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y){\mathrm{e}}^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$$ 可通过傅里叶反变换得到$f(x,y)$：$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{n=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v){\mathrm{e}}^{j2\pi (ax/M+vy/N)}$$

4.6二维离散傅里叶变换的性质

4.6.1空间和频率间隔的关系

假定对连续函数$f(t,z)$取样生成了一幅数字图像$f(x,y)$,它由分别在$t$和$z$方向所取的$MxN$个样点组成。令$\Delta T$和$\Delta Z$表示样本间的间隔。那么，相应离散频率域变量间的间隔分别由$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta T}$$和 $$\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}$$ 给出。注意,频率域样本间的间隔与空间样本间的间距和样本数成反比。

4.6.2平移和旋转

平移特性：
$$f(x,y){\mathrm{e}}^{j2\pi (u_{0}x/M+v_{a}y/N)}\iff F(u-u_0,v-v_0)$$
和
$$f(x-x_0,y-y_0)\iff F(u,v){\mathrm{e}}^{-j2\pi (x_{0}u/M+y_{0}v/N)}$$

极坐标进行旋转（$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,u=\omega \cos \phi ,v=\omega \sin \phi$）：$$f(r,\theta +{\theta }_0)\iff F(\omega ,\phi +{\phi }_0)$$

4.6.3周期性

如在一维情况中那样，二维傅里叶变换及其反变换在u方向和v方向是无限周期的,即$$F(u,v)=F(u+k_{1}M,v)=F(u,v+k_{2}N)=F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)$$
和$$f(x,y)=f(x+k_{1}M,y)=f(x,y+k_{2}N)=f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)$$ 其中，k_1和k_2是整数。

4.6.4对称性

函数分析得到的一个重要结果是，任意实函数或虚函数w(x,y)可表示为一个奇数部分和一个偶数部分(其中每一个都可以是实部或虚部)的和：$$w(x,y)=w_e(x,y)+w_o(x,y)$$
其中,偶数部分和奇数部分定义如下：
$$w_e(x,y)\triangleq \frac{w(x,y)+w(-x,-y)}{2}$$ 和 $$w_o(x,y)\triangleq \frac{w(x,y)-w(-x,-y)}{2}$$
这样，就证明了后一公式的正确性。由前面的定义有
$$w_e(x,y)=w_e(-x,-y)$$ 和 $$w_o(x,y)=-w_o(-x,-y)$$
也就是说，偶函数是对称的，奇函数是反对称的。因为DFT 和IDFT 中的所有指数都是正的，当我们谈论对称(反对称)时，我们指的是关于序列中点的对称(反对称)。

4.6.5傅里叶谱和相角

因为通常二维DFT一般是复函数，因此可使用极坐标形式来表示：$$F(u,v)=|F(u,v)|{\mathrm{e}}^{j\varphi (u,v)}$$
其中，幅度$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+F^2(u,v){]}^{1/2}$$
称为傅里叶谱(或频谱)，而$$\varphi (u,v)=\arctan \left[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right]$$
称为相角。arctan必须使用一个四象限反正切来计算。
最后,功率谱定义为$$F(u,v)={\left|F(u,v)\right|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

4.6.6二维卷积定理

将式(4.4-10)扩展至两个变量可得到下面的二维循环卷积的表达式：$$f(x,y)\star h(x,y)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$$
其中，$x=0,1,2,\dots ,M-1,y=0.,1,2\dots ,N-1$。二维卷积定理由下面的表达式给出：$$f(x,y)\star h(x,y)\iff F(u,v)H(u,v)$$
反之，$$f(x,y)h(x,y)\iff F(u,v)\star H(u,v)$$

4.7频率域滤波基础

4.7.3频率域滤波步骤小结

1. 给定一幅大小为MxN的输入图像$f(x,y)$，得到填充参数$P$和$Q$，典型地，我们选择$P=2M$和$Q=2N$。
2. 对$f(x,y)$添加必要数量的$0$，形成大小为$P\times Q$的填充后的图像$f_p(x,y)$。
3. 用$(-1{)}^{x+y}$乘以$f_p(x,y)$移到其变换的中心。
4. 计算来自步骤3的图像的DFT，得到$F(u,v)$。
5. 生成一个实的、对称的滤波函数$H(u,v)$，其大小为$PxQ$、中心在$(P/2,Q/2)$处。用阵列相乘形成乘积$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$；即$G（i,k)=H(i,k)F(i,k)$。
6. 得到处理后的图像：$$g_p(x,y)=\left\{\text{real}\right[{\Im }^{-1}[G(u,v)]\left]\right\}(-1{)}^{x+y}$$其中，为忽略由于计算不准确导致的寄生复分量，选择了实部，下标p指出我们处理的是填充后的阵列。
7. 通过从$g_p(x,y)$的左上象限提取$M\times N$区域,得到最终处理结果$g(x,y)$。

4.8使用频率域滤波器平滑图像

4.8.1理想低通滤波器

在以原点为圆心、以$D_0$为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在该圆外“切断”所有频率的二维低通滤波器,称为理想低通滤波器(ILPF)；它由下面的函数确定：$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}1,& D(u,v)⩽D_0\\ 0,& D(u,v)>D_0\end{array}$$
其中，$D_0$是一个正常数，$D(u,v)$是频率域中点$(u,v)$与频率矩形中心的距离，即$$D(u,v)=[(u-P/2{)}^2+(v-Q/2{)}^2{]}^{1/2}$$

4.8.2布特沃斯低通滤波器

截止频率位于距原点D。处的n阶布特沃斯低通滤波器(BLPF)的传递函数定义为$$H(u,v)=\frac{1}{1+{\left[D(u,v)/D_0\right]}^{2n}}$$

4.8.3高斯低通滤波器

高斯低通滤波器的二维形式由下式给出$$H(u,v)={\mathrm{e}}^{-D^2(u,v)/2{\sigma }^2}$$