1.1.2 信号能量与功率

• 注意：信号在后面的表示和处理中，使用复数将会更方便，也能展现更多信息

(一)有限区间能量

对于一个连续时间信号$x(t)$来说，在$t_1\le t\le t_2$内的总能量可以定义为：
$$E_{(t_1\sim t_2)}={\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^2\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
对于一个离散时间信号$x[n]$来说，在$n_1\le n\le n_2$内的总能量可以定义为：
$$E_{(n_1\sim n_2)}=\sum _{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

(二)无穷区间能量

但很多系统中关心的是在一个无穷区间内的总能量，所以我们需要定义无穷区间下的能量情况：

• 连续时间信号下：

$$E_{\infty }\triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^2\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

• 离散时间信号下：

$$E_{\infty }\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

(三)平均功率

有了能量，其功率也会对分析信号有着很大的作用。

注意：如果信号具有有限的总能量，即$E_{\infty }<\infty$时，其平均功率必须为零。

• 连续时间信号下：

$$P_{\infty }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^2\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

• 离散时间信号下：

$$P_{\infty }=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

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通过定义可以将信号分为三种重要的信号：

1. 信号具有有限的总能量($E_{\infty }<\infty$)，其平均功率为零($P_{\infty }=0$)
2. 信号具有无限的总能量($E_{\infty }=\infty$)，其平均功率有限($P_{\infty }<\infty$)
3. 信号的总能量和平均功率都是无限的。