看到群里有人出了一道ACM题，要求计算(a^0 + a^1 + a^2 + ... + a^n) % m的值
其中三个数的取值范围为  0 <= a <= 10^16, 0 <= n <= 10^9, 1 <= m <= 10^9

 

看到这样一道题，首先联想到计算(a^b)%m，后者可以通过分解幂来计算
那前者能不能通过同样的方法来计算呢

 

看下面这个分解过程：

另

FX( a, n, m ) 为公式一

FXMultiplication( a, h, m ) 为公式二，其中FXMultiplication即要返回公式的值，又要返回 a^(2h)的值，方便继续计算

 

实现代码如下：

pair<int, int> FXMultiplication( long long a, int h, int m ) { //计算 ( ( 1 + a ^ 1 + a ^ 2 + ... + a ^ ( 2 ^ h - 1 ) ) % m, ( a ^ ( 2 ^ h ) ) % m ) if( h == 0 ) { return pair<int, int>( 1, (int)(a % m) ); } else { pair<int, int> t = FXMultiplication( a, h - 1, m ); return pair<int, int>( (int)(((long long)t.second * t.first + t.first) % m), (int)(((long long)t.second * t.second ) % m )); } } int FX( long long a, int n, int m ) //计算 ( 1 + a ^ 1 + a ^ 2 + a ^ 3 + ... + a ^ n ) % m { if( m == 1 || n == -1 ) return 0; int i = 1, h = 0; for( ; n + 1 >= i * 2; i <<= 1, h++ ); pair<int, int> t = FXMultiplication( a, h, m ); return (int)(( (long long)t.second * FX( a, n - i, m ) + t.first ) % m); }

其实上面的代码中时间复杂度还有可优化的地方，您看出来了吗？