目标检测任务的损失函数由 Classificition Loss 和 Bounding Box Regeression Loss 两部分构成。

本文介绍目标检测任务中近几年来Bounding Box Regression Loss Function的演进过程，其演进路线是：
Smooth L1 Loss $\to$ IoU Loss $\to$ IoU Loss $\to$ GIoU Loss $\to$ DIoU Loss $\to$ CIoU Loss

本文亦按照此路线进行讲解。

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1、Smooth L1 Loss

由微软rgb大神提出，Fast RCNN论文提出该方法

1）$x$ 表示模型的预测值，$y$ 表示真实值，$z$ 表示预测值与真实值之间的差异： $z=x-y$

常用的 L1 loss、L2 Loss 和 smooth L1 loss 定义分别为：
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\quad \quad $L_{L1}(x,y)=|x-y|=|z|$
\quad
\quad \quad $L_{L2}(x,y)=0.5(x-y{)}^2=0.5z^2$
\quad
\quad \quad $L_{smoothL1}(x,y)=\{\begin{array}{ll}0.5(x-y{)}^2=0.5z^2,& \text{if }|x-y|<1\\ |x-y|-0.5=|z|-0.5,& \text{otherwise}\end{array}$

\quad

\quad
上述的 3个损失函数对 z 的导数分别为：
\quad
\quad \quad $\frac{\partial L_{L1}(x,y)}{\partial z}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if }z\ge 1\\ -1,& \text{otherwise}\end{array}$
\quad
\quad \quad $\frac{\partial L_{L2}(x,y)}{\partial z}=z$
\quad
\quad \quad $\frac{\partial L_{smoothL1}(x,y)}{\partial z}=\{\begin{array}{ll}z,& \text{if }|x-y|<1\\ \pm 1,& \text{otherwise}\end{array}$

从损失函数对x的导数可知：

• $L1$ 损失函数对 $z$ 的导数为常数，在训练后期，$z$很小时，如果 learning rate 不变，损失函数会在稳定值附近波动，很难收敛到更高的精度。
• $L2$ 损失函数对 $z$ 的导数等于 $z$，在训练初期，$z$ 值很大时，使得导数也非常大，在训练初期不稳定。
• $smoot{h}_{L1}$ 完美的避开了 $L1$ 和 $L2$损失的缺点。

2）实际目标检测框回归任务中的损失 loss 为： $L_{loc(t,v)}={\sum }_{i\in (x,y,w,h)}smoot{h}_{L1}(t_i-v_i)$
即， 分别求 x, y, w, h 的 loss，然后相加作为 Bounding Box Regression Loss

• $v=(v_x,v_y,v_w,v_h)$ ：表示 gt_bbox 的坐标，
• $t=(t_x,t_y,t_w,t_h)$：表示 predict_bbox 的坐标

3）缺点

上面的三种Loss用于计算目标检测的Bounding Box Loss时，独立的求出x, y, w, h 的 Loss，然后进行相加得到最终的Bounding Box Loss，这种做法的假设是 x, y, w, h 是相互独立的，实际是有一定相关性的

这就引出了以下的解决方案，使用 IoU 来计算 loss 。

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2、 IoU Loss

由旷视提出，发表于2016 ACM

• 若在回归 bbox坐标时，使用4个坐标点的loss之和，而评价模型时，使用 IoU，会导致不一致性。因为 L1或者L2 Loss相同的框，IoU 很可能不一样。 如下图所示 ， 图a. L2 loss 相同，IoU不相同； 图b. L1 loss 相同，IoU不相同
• 通过4个点回归坐标框的方式是假设4个坐标点是相互独立的，没有考虑其相关性，实际4个坐标点具有一定的相关性
• 基于L1和L2的距离的loss对于尺度不具有不变性

2）基于此提出IoU Loss, 其将4个点构成的box看成一个整体进行回归：

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3、 GIoU Loss （Generalized-IoU Loss）

由斯坦福学者提出，发表于CVPR2019

1） IoU Loss 有2个缺点：

• 当预测框和目标框不相交时，$IoU(A,B)=0$ 时，不能反映 A, B 距离的远近，此时损失函数不可导，IoU Loss 无法优化两个框不相交的情况。 $$Loss=-l{n}^{IoU},\frac{\partial loss}{\partial IoU}=(-l{n}^{IoU}{)}^{\prime }=-\frac{1}{IoU}$$
• IoU值不能反映两个框是如何相交的：即使两个框的 $IoU$ 值是相同的，其相交方式也可能很不一样。

2） GIoU ：Generalized-IoU Loss

最后，损失可以用下面的公式来计算：$L_{GIoU}=1-GIoU$

\quad

3）C 的面积的求解
假设有两个任意的 bbox A和B，我们要找到一个最小的封闭形状C，让C可以将A和B包围在里面。

$$A=(x_{min}^A,x_{max}^A,y_{min}^A,y_{max}^A)$$

$$B=(x_{min}^B,x_{max}^B,y_{min}^B,y_{max}^B)$$

则， C 的坐标为：

$$x_{min}^C=min(x_{min}^A,x_{min}^B),x_{max}^C=max(x_{max}^A,x_{max}^B)$$

$$y_{min}^C=min(y_{min}^A,y_{min}^B),y_{max}^C=max(y_{max}^A,y_{max}^B)$$

C 的面积为：
$$Are{a}^C=(x_{max}^C-x_{min}^C)\ast (y_{max}^C-y_{min}^C)$$

\quad

4）GIoU 相比于 IoU 有如下性质：

• 和原始的 loU 类似，GIoU具有尺度不变性 （ GloU 对物体的尺度大小不敏感，因为使用的是比值的原因）
• $0\le =IoU<=1，0<=\frac{C-(A\cup B)}{C}<1$， $L_{GIoU}=1-GIoU$， 所以 $-1<GIOU<=1$
  • 当 A 和 B 完全重合时：IoU = GIoU = 1
  • 当 A，B 不重合时，$IoU=0，GIoU$ 趋近于 -1， 或者说 当A，B 不重合且 距离无限远时，$GIoU=-1$

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GIoU Loss 仍然存在不足：当目标框 完全包裹 预测框的时候，IoU 和 GIoU 的值一样，此情况下 GIoU 退化为 IoU, 无法区分其相对位置关系。

基于IoU和GIoU存在的问题，有两个方向 值得思考：

• 第一：直接最小化预测框与目标框之间的归一化距离是否可行，以达到更快的收敛速度。
• 第二：如何使回归在与目标框有重叠甚至包含时更准确、更快。

好的目标框回归损失应该考虑三个重要的几何因素：重叠面积，中心点距离，长宽比。

• DIoU Loss：考虑了重叠面积和中心点距离，相对于GIoU Loss收敛速度更快，但没有考虑到长宽比；
• CIoU Loss，以上三个因素都考虑到了， 其收敛的精度更高。

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4、 DIoU Loss （Distance-IoU Loss）

发表在AAAI 2020

• 通常基于 IoU-based 的 loss 可以定义为 $L=1-IoU+R(B,B^{gt})$，其中 $R(B,B^{gt})$ 定义为预测框 $B$ 和目标框 $B^{gt}$ 的惩罚项。
• $DIoU$ 中的惩罚项表示为 $R_{DIoU}=\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}$，其中 $b$ 和 $b^{gt}$分别表示 B$ 和 $B^{gt}$ 的中心点，$\rho$ 表示欧式距离，C表示 $B$和 $B^{gt}$ 的最小外界矩形的对角线距离，如下图所示。可以将DIoU替换 IoU 用于 NMS算法当中，也即论文提出的DIoU-NMS,实验结果表明有一定的提升。
  • DloU Loss function 定义为：$L_{DIoU}=1-IoU+\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}$

DIoU的性质：

• 尺度不变性
• 当两个框完全重合时，$L_{IoU}=L_{GIoU}=L_{DIoU}=0$
  当两个框不相交时
• DIoU Loss 可以直接优化 2个框直接的距离，比 GIoU Loss 收敛速度更快
• 对于目标框包裹预测框的这种情况，DIoU Loss 可以收敛的很快，而 GIoU Loss此时退化为IoU Loss收敛速度较慢

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5、 CIoU Loss （Complete-IoU Loss）

1）CIoU的惩罚项是在DIoU的惩罚项基础上加了一个影响因子 $\alpha v$, 这个因子把预测框长宽比拟合目标框的长宽比考虑进去。

$R_{CIoU}=\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}+\alpha v$， 其中：

• $\alpha$ 是用于做 trade-off 的参数， $\alpha =\frac{v}{(1-IoU)+v}$

• $v$是用来衡量长宽比一致性的参数，$v=\frac{4}{{\pi }^2}(arctan\frac{w^{gt}}{h^{gt}}-arctan\frac{w}{h}{)}^2$

CIoU Loss function的定义为: $L_{DIoU}=1-IoU+\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}+\alpha v$

2）DIoU和CIoU的提升效果

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6、总结

（1）Smooth L1 Loss

$L_{smoothL1}(x,y)=\{\begin{array}{ll}0.5(\hat{y}-y{)}^2,& \text{if }|\hat{y}-y|<1\\ |\hat{y}-y|-0.5,& \text{otherwise}\end{array}$

（2）loU Loss : $Loss=-l{n}^{IoU}$

（3）GloU Loss : $L_{GIoU}=1-IoU+\frac{C-(A\cap B)}{|C|}$

（4）DloU Loss：$L_{DIoU}=1-IoU+\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}$

（5）CIoU Loss ： $L_{DIoU}=1-IoU+\frac{{\rho }^2(b,b^{gt})}{c^2}+\alpha v$

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7、代码

def bbox_iou(box1, box2, x1y1x2y2=True, GIoU=False, DIoU=False, CIoU=False):# Returns the IoU of box1 to box2. box1 is 4, box2 is nx4box2 = box2.t()# Get the coordinates of bounding boxesif x1y1x2y2:  # x1, y1, x2, y2 = box1b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1[0], box1[1], box1[2], box1[3]b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2[0], box2[1], box2[2], box2[3]else:  # transform from xywh to xyxyb1_x1, b1_x2 = box1[0] - box1[2] / 2, box1[0] + box1[2] / 2b1_y1, b1_y2 = box1[1] - box1[3] / 2, box1[1] + box1[3] / 2b2_x1, b2_x2 = box2[0] - box2[2] / 2, box2[0] + box2[2] / 2b2_y1, b2_y2 = box2[1] - box2[3] / 2, box2[1] + box2[3] / 2# Intersection areainter = (torch.min(b1_x2, b2_x2) - torch.max(b1_x1, b2_x1)).clamp(0) * \(torch.min(b1_y2, b2_y2) - torch.max(b1_y1, b2_y1)).clamp(0)# Union Areaw1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1union = (w1 * h1 + 1e-16) + w2 * h2 - interiou = inter / union  # iouif GIoU or DIoU or CIoU:cw = torch.max(b1_x2, b2_x2) - torch.min(b1_x1, b2_x1)  # convex (smallest enclosing box) widthch = torch.max(b1_y2, b2_y2) - torch.min(b1_y1, b2_y1)  # convex heightif GIoU:  # Generalized IoU https://arxiv.org/pdf/1902.09630.pdfc_area = cw * ch + 1e-16  # convex areareturn iou - (c_area - union) / c_area  # GIoUif DIoU or CIoU:  # Distance or Complete IoU https://arxiv.org/abs/1911.08287v1# convex diagonal squaredc2 = cw ** 2 + ch ** 2 + 1e-16# centerpoint distance squaredrho2 = ((b2_x1 + b2_x2) - (b1_x1 + b1_x2)) ** 2 / 4 + ((b2_y1 + b2_y2) - (b1_y1 + b1_y2)) ** 2 / 4if DIoU:return iou - rho2 / c2  # DIoUelif CIoU:  # https://github.com/Zzh-tju/DIoU-SSD-pytorch/blob/master/utils/box/box_utils.py#L47v = (4 / math.pi ** 2) * torch.pow(torch.atan(w2 / h2) - torch.atan(w1 / h1), 2)with torch.no_grad():alpha = v / (1 - iou + v)return iou - (rho2 / c2 + v * alpha)  # CIoUreturn iou

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参考文章：
1、目标检测回归损失函数简介
2、目标检测算法之CVPR2019 GIoU Loss