1、Basic Exact Greedy Algorithm

树学习的关键问题之一是找到最好的分割，如Eq(7)所示。

贪婪算法:分割查找算法枚举所有特征上的所有可能的分割。精确的贪婪算法如Alg. 1所示。为了高效地完成这一任务，算法必须首先根据特征值对数据进行排序，并按排序顺序访问数据，积累Eq(7)中结构得分的梯度统计量。现有的大多数单个树提升实现都支持精确贪婪算法，如scikit-learn[20]、R的gbm[21]以及XGBoost的单机版本。

Eq(7)在文章：xgboost:算法数学原理_KPer_Yang的博客-CSDN博客
$${\mathcal{L}}_{split}=\frac{1}{2}\left[\frac{({\sum }_{i\in I_L}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I_L}{h}_i+\lambda }+\frac{({\sum }_{i\in I_R}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I_R}{h}_i+\lambda }-\frac{({\sum }_{i\in I}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I}{h}_i+\lambda }\right]-\gamma$$
算法的流程如下所示：

$m$：特征的维度；

$sorted(I,by{x}_{jk})$:在特征$k$下的样本特征值进行排序，排序后按照划分点进行特征值划分，计算score。

2、 Approximate Algorithm

精确的贪婪算法非常强大，因为它贪婪地枚举了所有可能的分裂点。然而，当数据太大不能全部放入内存时，全部枚举不能做到。同样的问题也出现在分布式环境中。为了在这两种情况下支持有效的梯度树增强，需要一个近似算法。

**在Alg. 2中，首先根据特征分布的百分位数提出候选分裂点(具体标准将在第3.3节给出)。然后，该算法将连续特征映射到由这些候选点分割的桶中，汇总统计数据，并根据汇总的统计数据在分桶后的数据中找到最佳解决方案。**该算法有两种变体，这取决于给出分桶的时间。在合理的近似水平下，分位数策略可以获得与精确贪婪相同的精度。

• 全局分桶方法在树构造的初始阶段提出所有候选分割，并在所有级别上使用相同的分割查找分桶。

• 局部分桶在每次分裂后重新分桶。

Gkv←=∑j∈{j∣sk,v≥xjk>sk,v−1}gjG_{kv}\leftarrow=\sum_{j\in\{j\mid s_{k,v}\geq\mathbf{x}_{jk}>s_{k,v-1}\}}g_jGkv​←=∑j∈{j∣sk,v​≥xjk​>sk,v−1​}​gj​:按照每个桶计算$G$.

Hkv←=∑j∈{j∣sk,v≥xjk>sk,v−1}hjH_{kv}\leftarrow=\sum_{j\in\{j|s_{k,v}\geq\mathbf{x}_{jk}>s_{k,v-1}\}}h_jHkv​←=∑j∈{j∣sk,v​≥xjk​>sk,v−1​}​hj​:按照每个桶计算$H$.

注：个人理解，分桶其实相当于分裂时就按照每个桶分到左右分支，按照每个桶计算$G$和$H$，而不是一个个样本计算，遍历所有的特征值寻找分裂点。

对比：希格斯10M数据集的AUC收敛性比较。eps参数对应于近似草图的精度。这大致相当于分成1 / eps个桶。相同AUC的情况下，局部分桶需要更少的桶，因为它细化了分裂的候选数据；